משפט האפסים של הילברט

במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה ובגאומטריה אלגברית, משפט האפסים של הילברט (בגרמנית: Nullstellensatz – "משפט האפסים") הוא משפט המקשר בין יריעות אלגבריות לבין אידאלים בשדות סגורים אלגברית. הוא הוכח לראשונה על ידי דויד הילברט.

נניח כי K הוא שדה סגור אלגברית (למשל, שדה המספרים המרוכבים), ונניח כי I הוא אידאל בחוג הפולינומים ב-n משתנים מעל K – $\,K[x_{1},\dots ,x_{n}]$. היריעה האפינית (V(I מוגדרת להיות אוסף כל הנקודות $\,\mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})\in K^{n}$ כך שלכל f ב-I מתקיים $\,f(\mathbf {x} )=0$.

משפט האפסים של הילברט קובע כי אם p הוא פולינום כלשהו המקיים שלכל $x\in V(I)$ מתקיים $\,p(x)=0$ (כלומר p מתאפס על היריעה (V(I) אז קיים מספר טבעי r כך ש $p^{r}\in I$.

מסקנה מיידית ממשפט זה היא משפט האפסים החלש הקובע כי אם I הוא אידאל ממש (כלומר אינו שווה לחוג כולו), אז הקבוצה $\,V(I)$ אינה ריקה, כלומר קיימת נקודה x שהיא אפס משותף לכל הפולינומים בI. מסקנה זו היא במובן מסוים הכללה של המשפט היסודי של האלגברה: בשדה סגור אלגברית, לא זו בלבד שלכל פולינום יש לפחות שורש אחד, אלא גם לכל קבוצת פולינומים שאינה יוצרת (כאידאל) את החוג כולו יש לפחות אפס משותף אחד.

בסימונים המקובלים בגאומטריה האלגברית, נהוג לכתוב את משפט האפסים של הילברט כך: $\,I(V(J))={\sqrt {J}}$ לכל אידאל J. הסימון $\,{\sqrt {J}}$ הוא הרדיקל של J המוגדר להיות אוסף האיברים בחוג שחזקה חיובית כלשהי שלהם שייכת ל-J, ו-(I(U הוא אידאל כל הפולינומים שמתאפסים על הקבוצה $U\subset K$ .

גרסאות שונות של המשפט

הניסוח הנפוץ למשפט האפסים של הילברט הוא זה המופיע בהקדמה. יחד עם זאת, יש למשפט גרסאות נוספות אשר שימושיות בהקשרים שונים. ניתן לחלק את הגרסאות השונות לגרסאות "שקולות" ולגרסאות "חלשות". את הסוג הראשון ניתן להסיק יחסית בקלות מהנוסח המקורי של המשפט, וניתן גם להסיק את המשפט המקורי מהניסוח - ולכן מכונות שקולות. את הגרסאות החלשות, לעומת זאת, ניתן להסיק מהנוסח המקורי, אך יחסית קשה יותר להסיק את המשפט מהן. אחת מהדרכים להסיק את הגרסה המקורית של המשפט מתוך הגרסאות החלשות היא הטריק של רבינוביץ', אשר מנוסח בהמשך.

גרסה שקולה

מערכת שיוויונות ואי-שיוויון

גרסה שקולה למשפט האפסים של הילברט היא כלהלן. נניח כי K הוא שדה סגור אלגברית ויהיו $f_{1},\ldots ,f_{m}\in K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ פולינומים כך שמערכת המשוואות $f_{1}(\mathbf {x} )=\ldots =f_{m}(\mathbf {x} )=0$ פתירה מעל K. יהיה g פולינום כך שלמערכת הבאה אין פתרון ב-K:

$$.~{\begin{cases}f_{1}(\mathbf {x} )=\ldots =f_{m}(\mathbf {x} )=0\\g(\mathbf {x} )\neq 0\end{cases}}$$

אזי, קיימים פולינומים $h_{1},\ldots ,h_{m}\in \,K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ ומספר טבעי r, כך ש-$h_{1}f_{1}+\ldots +h_{m}f_{m}=g^{r}$. זאת אומרת, קיים עד לכך שהמערכת הנתונה אינה פתירה.

ניתן להראות כי גרסה זו שקולה לניסוח המקורי של המשפט בצורה הבאה: נשים לב שהתנאי על הפולינום g שקול לכך שלכל $x\in V(\langle f_{1},\ldots ,f_{m}\rangle )$ מתקיים $\,g(x)=0$. בנוסף, קיים מספר טבעי r כך ש $g^{r}\in I$ אם ורק אם קיימים פולינומים $h_{1},\ldots ,h_{m}\in \,K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$, כך ש-$h_{1}f_{1}+\ldots +h_{m}f_{m}=g^{r}$. לכן, גרסה זו שקולה למשפט האפסים עבור אידאלים מהצורה $I=\langle f_{1},\ldots ,f_{m}\rangle$. ממשפט הבסיס של הילברט, לכל אידאל $I\triangleleft K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ קיימים פולינומים $f_{1},\ldots ,f_{m}\in K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ כך ש-$I=\langle f_{1},\ldots ,f_{m}\rangle$ ולכן הגרסאות שקולות.

גרסאות חלשות

הגרסאות הבאות מכונות "חלשות" כיוון שניתן להסיק אותן בקלות מהנוסח המקורי של המשפט, אך לא להפך. אף על פי כן, גרסאות אלו מספיקות לשימושים רבים.

שורת סתירה

גרסה חלשה למשפט האפסים של הילברט, המוכרת גם כמשפט האפסים החלש היא כלהלן:

משפט- יהיה K שדה סגור אלגברית, ויהי $J\triangleleft K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ כך ש-$V(J)=\phi$. אזי, $J=K[x_{1},...,x_{n}]$.

כלומר, בשדה סגור אלגברית, לכל מערכת משוואות פולינומית בכל כמות סופית של משתנים יש פתרון כאשר אין שורת סתירה (כאשר $1$ איננו צירוף של איברי $J$). כאמור לעיל, זוהי הכללה של המשפט היסודי של האלגברה.

ניתן להסיק גרסה זו מהנוסח המקורי באופן הבא: יהי אידאל J כך שמתקיים $V(J)=\phi$, אזי מתקיים גם כי $I(V(J))=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$. ממשפט האפסים, ${\sqrt {J}}=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$, ובפרט קיים r טבעי כך ש-$1=1^{r}\in J$, ולכן $J=K[x_{1},...,x_{n}]$.

אידאלים מקסימליים

גרסה חלשה נוספת מאפיינת את האידאלים המקסימליים בשדות סגורים אלגברית.

משפט - נניח כי K הוא שדה סגור אלגברית, אזי האידאלים המקסימלים של החוג $\,K[x_{1},\dots ,x_{n}]$ הם בדיוק האידאלים: $\,\langle x_{1}-a_{1},x_{2}-a_{2},\dots ,x_{n}-a_{n}\rangle$.

במילים אחרות, ישנה התאמה חד-חד-ערכית ועל בין קבוצת האידאלים המקסימליים של חוג זה לבין קבוצות הנקודות של המרחב האפיני ה-n-ממדי.

ניסוח זה נובע מהניסוח הקודם. אכן, יהיה J אידאל מקסימלי ובפרט $J\neq K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$. מהניסוח הקודם קיים $\mathbf {a} =(a_{1},\ldots ,a_{n})\in V(J)$. נגדיר הומומורפיזם $\varphi _{a}:K[x_{1},\ldots ,x_{n}]\rightarrow K$ על ידי הצבה בנקודה a, זאת אומרת $\varphi _{a}(f)=f({\mathbf {a} })$. מתקיים כי ${\text{Im}}(\varphi _{a})=K$, ולכן, ממשפט האיזומורפיזם, $K[x_{1},\ldots ,x_{n}]/\ker(\varphi _{a})\cong K$. כיוון ש-K הוא שדה, אזי $\ker(\varphi _{a})$ הוא אידאל מקסימלי, וממקסימליות J נסיק כי $J=\ker(\varphi _{a})=\langle x-a_{1},\ldots ,x-a_{n}\rangle$.

הניסוח שורת סתירה נובע מניסוח זה באופן הבא: יהי $J\neq K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ אידאל ויהי $I\supset J$ אידאל מקסימלי המכיל אותו. מהניסוח עבור אידאלים מקסימליים נסיק כי $I=\langle x-a_{1},\ldots ,x-a_{n}\rangle$ ולכן $(a_{1},\ldots ,a_{n})\in V(I)\subset V(J)$, ובפרט $V(J)\neq \phi$.

פתרון למערכות פולינומים בהרחבת שדות

ניסוח חלש נוסף הוא הניסוח הבא, אשר מאפיין פתרונות למערכות פולינומים:

משפט - יהיה K שדה ויהיו $f_{1},\ldots ,f_{m}\in K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ פולינומים. נניח כי קיימת הרחבת שדות L/K , כך שקיימים איברים $y_{1},\ldots ,y_{n}\in L$, עבורם $f_{i}(y_{1},\ldots ,y_{n})=0$ לכל $1\leq i\leq m$. אזי קיימת הרחבת שדות סופית K'/K ואיברים $x_{1},\ldots ,x_{n}\in K'$ כך ש-$f_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})=0$ לכל $1\leq i\leq m$.

במילים אחרות, אם קיים פתרון למערכת בהרחבת שדות כלשהי, אז קיים פתרון בהרחבה סופית. בפרט, אם השדה K סגור אלגברית, נקבל כי קיום פתרון בהרחבה כלשהי גורר קיום פתרון בשדה K.

ניסוח זה נובע משורת סתירה, נראה זאת עבור המקרה בו השדה K סגור אלגברית: נניח כי לא קיים שורש משותף למערכת הפולינומים $f_{1},\ldots ,f_{m}$. משורת סתירה, נקבל כי $1$ הוא צירוף של הפולינומים $f_{1},\ldots ,f_{m}$, ולכן לא קיים פתרון באף הרחבת שדות.

ניתן גם להסיק את שורת סתירה ממשפט זה: יהי J אידאל ויהיו $f_{1},\ldots ,f_{m}\in K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ פולינומים כך ש-$J=\langle f_{1},\ldots ,f_{m}\rangle$. באופן מידי נקבל שקיים פתרון למערכת הפולינומים באלגברה $\,K[x_{1},\dots ,x_{n}]$. יהיה $m\triangleleft K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ אידאל מקסימלי, אז קיים גם פתרון במנה $F=R[x_{1},\ldots ,x_{n}]/m$. ממקסימליות m נקבל כי F שדה, ובנוסף הוא נוצר סופית כאלגברה, כיוון שממשפט הבסיס של הילברט $\,K[x_{1},\dots ,x_{n}]$ מקיים תכונה זו. מהמשפט, כיוון ש-K סגור אלגברית, נקבל כי קיים פתרון למערכת הפולינומים בשדה K.

הלמה של זריצקי

הלמה הבאה, הידועה כלמה של זריצקי, שקולה לגרסאות החלשות למשפט האפסים.

למה - יהיה $K$ שדה, לא בהכרח סגור אלגברית, ותהי $F/K$ הרחבת שדות של K. נניח כי $F$ נוצר סופית כאלגברה מעל K, אזי F נוצר סופית כשדה הרחבה של K.

הטריק של רבינוביץ'

הטריק של רבינוביץ' הוא הוכחה עבור הגרסה המקורית של משפט האפסים של הילברט מתוך הגרסה החלשה - שורת סתירה.

יהי K שדה סגור אלגברית, יהי $I\triangleleft K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ אידאל ויהי g פולינום המתאפס בכל $x\in V(I)$. ממשפט הבסיס של הילברט, קיימים $f_{1},\ldots ,f_{m}\in K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ כך ש-$I=\langle f_{1},\ldots ,f_{m}\rangle$. נרצה להראות כי $g\in {\sqrt {I}}$. אם g = 0, אזי התנאי מתקיים. אחרת, נוסיף משתנה חדש y, ונשים לב שלפולינומים $f_{1},\ldots ,f_{m},1-y\cdot g$, אין שורש משותף. זאת אומרת, $V(\langle f_{1},\ldots ,f_{m},1-y\cdot g\rangle )=\phi$. ממשפט האפסים החלש, נקבל כי $\langle f_{1},\ldots ,f_{m},1-y\cdot g\rangle =K[x_{1},\ldots ,x_{n},y]$, ובפרט,

$$,~1=h_{0}(x_{1},\ldots ,x_{n},y)\cdot (y\cdot g(x_{1},\ldots ,x_{n})-1)+\sum _{i=1}^{n}h_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n},y)\cdot f_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})$$

עבור פולינומים $h_{0},\ldots ,h_{m}\in K[x_{1},\ldots ,x_{n},y]$ כלשהם. נתבונן בשיוויון המתקבל בחוג המנה $R=K[x_{1},\ldots ,x_{n},y]/\langle 1-y\cdot g\rangle$. כיוון שבחוג זה y = 1/g, נקבל כי

$$.~1=\sum _{i=1}^{n}h_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n},1/g)\cdot f_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})$$

כיוון שבביטוי שבאגף ימין רק g מופיע במכנה, אזי עבור r טבעי ופולינומים $p_{1},\ldots ,p_{m}\in K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ כלשהם מתקיים

$$,~1={\frac {\sum _{i=1}^{m}p_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})\cdot f_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})}{g(x_{1},\ldots ,x_{n})^{r}}}$$

ולכן בחוג R, $g(x_{1},\ldots ,x_{n})^{r}=\sum _{i=1}^{m}p_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})\cdot f_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})$. זאת אומרת, קיים פולינום $q\in K[x_{1},\ldots ,x_{n},y]$, כך שמתקיים השיוויון

$$.~g(x_{1},\ldots ,x_{n})^{r}=\sum _{i=1}^{m}p_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})\cdot f_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})+q(x_{1},\ldots ,x_{n},y)\cdot (1-y\cdot g(x_{1},\ldots ,x_{n}))$$

כיוון שבאגף שמאל, המקדם של המשתנה y הוא אפס, אזי q = 0, ולכן ${\textstyle g^{r}=\sum _{i=1}^{m}p_{i}\cdot f_{i}}$. זאת אומרת, $g\in {\sqrt {I}}$, כרצוי.

מסקנות

שיוויון רדיקלים

אחת מהמסקנות הנובעות ממשפט האפסים של הליברט היא כי רדיקל ג'ייקובסון של אלגברה נוצרת סופית שווה לרדיקל הנילפוטנטי. רדיקל ג'ייקובסון של אלגברה A, אשר מסומן על ידי $J(A)$, או לעיתים $radJ(A)$, מוגדר להיות החיתוך של כל האידיאליים המקסימליים ב-A. לעומת זאת, הרדיקל הנילפוטנטי, אשר מסומן על ידי $nil(A)$, או $radN(A)$, מוגדר כחיתוך של כל האידיאליים הראשוניים ב-A. כיוון שכל אידיאל מקסימלי הוא גם אידיאל ראשוני, אזי רדיקל ג'ייקובסון תמיד מוכל ברדיקל הנילפוטנטי. המסקנה מראה כי אם האלגברה A נוצרת סופית, אזי למעשה יש שיוויון.

שדות סופיים

על אף שמשפט האפסים של הילברט מנוסח עבור שדות סגורים אלגברית, ובפרט אינסופיים, ניתן להסיק ממנו את הגרסה הבאה עבור שדות סופיים:

משפט - יהיו $f_{1},\ldots ,f_{m}\in \mathbb {Z} [x_{1},\ldots ,x_{n}]$ פולינומים, אזי קיים להם שורש משותף בשדה $\mathbb {C}$, אם ורק אם קיים פתרון בשדה סופי $\mathbb {F}$ ממאפיין p, עבור כמעט כל ראשוני p.

המשפט מקשר, בצורה אשר אינה משתמעת באופן מידי, בין שדות ממאפיין אפס לכאלו עם מאפיין חיובי.

קישור בין משפחות של אידיאלים לעצמים גאומטריים

ממשפט זה אפשר להסיק את ההתאמות הבאות, בין משפחות אידאלים של חוגי פולינומים לבין עצמים גאומטריים:

• אידאל רדיקלי $\leftrightarrow$ יריעה אלגברית אפינית (קבוצה סגורה בטופולוגית זריצקי)
• אידאל ראשוני $\leftrightarrow$ יריעה אלגברית אפינית אי-פריקה
• אידאל מקסימלי $\leftrightarrow$ נקודה במרחב האפיני

התאמות אלו הן הבסיס לגאומטריה האלגברית הקלאסית. בגאומטריה האלגברית המודרנית, התאמות אלו מוכללות להתאמה החשובה הבאה:

אידאל $\leftrightarrow$ סכמה אפינית

כלומר, יש התאמה מלאה בין אידאלים של חוג הפולינומים לבין סכמות אפיניות.

הוכחה

למשפט האפסים יש הוכחות רבות, מתוכן נציין שתי הוכחות. הראשונה היא עבור שדות גדולים, והיא קצרה יחסית; השנייה מוכיחה את המקרה הכללי ומופיעה בהמשך. בשתי ההוכחות, נוכיח את משפט האפסים של הילברט על ידי כך שנוכיח את הגרסה החלשה - פתרון למערכות פולינומים בהרחבת שדות. ניתן להסיק את הגרסה המלאה בהינתן החלשה על ידי הטריק של רבינוביץ' אשר מנוסח למעלה. שתי ההוכחות מתבססות הטיעון הבא:

יהיה K שדה ויהיו $f_{1},\ldots ,f_{m}\in K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ פולינומים. נניח כי קיימת הרחבת שדות L/K , כך שקיימים איברים $y_{1},\ldots ,y_{n}\in L$, עבורם $f_{i}(y_{1},\ldots ,y_{n})=0$ לכל $1\leq i\leq m$. נסמן ב-${\overline {K}}$ את הסגור האלגברי של K. מספיק להראות שקיים פתרון $x_{1},\ldots ,x_{n}\in {\overline {K}}$, כך ש-$f_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})=0$ לכל $1\leq i\leq m$. אכן, אם ישנו כזה פתרון, אזי קיים פתרון בשדה $K'=K\langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle$, ובנוסף ההרחבה K'/K סופית, כיוון שהאיברים $x_{1},\ldots ,x_{n}$ אלגבריים מעל K. לכן, נניח מעתה שהשדה K סגור אלגברית.

הוכחה עבור שדות גדולים

נוכיח תחילה עבור המקרה $\left|K\right|>\aleph _{0}$, שלו יש הוכחות קצרות רבות. נציג כאן את אחת מהן: נסמן ב-$a_{i,1},\ldots ,a_{i,\ell _{i}}\in K$ את מקדמי הפולינום $f_{i}$ לכל $1\leq i\leq m$. מתקיים שישנו פתרון למערכת המשוואות בשדה $L':=\mathbb {Q} \langle a_{1,1},\ldots ,a_{n,\ell _{n}},y_{1},\ldots ,y_{n}\rangle \subset L$. כיוון ש-$|K|>|L'|$, וכיוון שהשדה K סגור אלגברית, ניתן לשכן את 'L ב-K ולכן קיים פתרון ב-K.

הוכחה עבור המקרה הכללי

נוכיח עתה את המקרה הכללי. נניח, בלי הגבלת הכלליות, כי ההרחבה L/K היא נוצרת סופית, אחרת נבחר את ההרחבה הנוצרת סופית ${\widetilde {L}}:=K\langle y_{1},\ldots ,y_{n}\rangle /K$, אשר מכילה גם היא פתרון. נסדר את איברי הפתרון $y_{1},\ldots ,y_{n}$ כך שיתקיים התנאי הבא: האיבר $y_{1}$ טרנסצנדנטי מעל $K$, האיבר $y_{2}$ טרנסצנדנטי מעל $K\langle y_{1}\rangle$, ובאופן כללי האיבר $y_{i}$ טרנסצנדנטי מעל $K\langle y_{1},\ldots ,y_{i-1}\rangle$ לכל $1\leq i\leq k$, עבור $1\leq k\leq n$. יתר האיברים, $y_{k+1},\ldots ,y_{n}$, הם אלגבריים מעל $K\langle y_{1},\ldots ,y_{k}\rangle$. נסמן $L':=K\langle y_{1},\ldots ,y_{k}\rangle$ ונשים לב כי ההרחבה $L/L'$ היא סופית, מאופן בחירת k. כיוון ש-$y_{i}$ טרנסצנדנטי מעל $K\langle y_{1},\ldots ,y_{i-1}\rangle$ לכל $1\leq i\leq k$, אזי מתקיים כי $L'=K\left(y_{1},\ldots ,y_{k}\right)$, זאת אומרת, 'L הוא שדה הפונקציות הרציונליות עם k איברים ומקדמים ב-K.

יהי $e_{1},\ldots ,e_{\ell }\in L$ בסיס ל-$L/L'$ ונניח נניח כי $e_{1}=1$, אחרת נוסיף אותו לבסיס. יהיו $\{a_{i,j,h}\}_{i,j,h=1}^{\ell ,\ell ,\ell },\{b_{i,h}\}_{i,h=1}^{n,\ell }\subset L'$ איברים כך ש-$e_{i}\cdot e_{j}=\sum _{h=1}^{\ell }a_{i,j,h}\cdot e_{h}$ לכל $1\leq i,j\leq \ell$, ו-$y_{i}=\sum _{h=1}^{\ell }b_{i,h}\cdot e_{h}$ לכל $1\leq i\leq n$.בחירה זאת מאפשרת לנו להציג את המשוואות $f_{i}(y_{1},\ldots ,y_{n})=0$ כמנה של פונקציות לינאריות באיברי הבסיס עם מקדמים ב-$K\langle \{a_{i,j,h}\}_{i,j,h=1}^{\ell ,\ell ,\ell },\{b_{i,h}\}_{i,h=1}^{n,\ell }\rangle$. נרצה למצוא איברים $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}\in K$ אשר לא יאפסו את המכנה. כדי לעשות זאת, נבחר $0\neq p\in K[x_{1},\ldots ,x_{k}]$ ככה שכל האפסים של המכנה יהיו אפסים של הפולינום $p$ ונבחר $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}\in K$ כך ש-$p(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k})\neq 0$. בצורה פורמלית, נבחר $0\neq p\in K[x_{1},\ldots ,x_{k}]$ כך ש-$p\cdot a_{i,j,h}\in K[x_{1},\ldots ,x_{k}]$ לכל $1\leq i,j,h\leq \ell$ ו-$p\cdot b_{i,h}\in K[x_{1},\ldots ,x_{k}]$ לכל $1\leq i\leq n$ ולכל $1\leq h\leq \ell$. כיוון ש-$p\neq 0$, אזי קיים $\alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k})\in K^{k}$ כך ש-$p(\alpha )\neq 0$. מתקבל כי $y_{i}(\alpha )\in K$, ובפרט $f_{i}(y_{1}(\alpha ),\ldots ,y_{n}(\alpha ))=0$, לכל $1\leq i\leq m$.

נגדיר K-אלגברה A באופן הבא: $A=K^{\ell }$מוגדרת על ידי הבסיס $g_{1},\ldots ,g_{\ell }\in A$ כך שמתקיים $g_{i}\cdot g_{j}=\sum _{h=1}^{\ell }a_{i,j,k}(\alpha )\cdot g_{k}$ לכל $1\leq i,j\leq \ell$. במילים אחרות, A היא האלגברה הנוצרת על ידי הצבת $\alpha$ בבסיס e. נגדיר $z_{1},\ldots ,z_{n}\in A$ על ידי $z_{i}=\sum _{h=1}^{\ell }b_{i,h}(\alpha )\cdot g_{h}$. באופן זה מתקיים כי $f_{i}(z_{1},\ldots ,z_{n})=0\in A$ לכל $1\leq i\leq m$. לבסוף, יהיה ${\mathfrak {m}}\triangleleft A$ אידיאל מקסימלי ולכן $A/{\mathfrak {m}}$ הוא שדה. בנוסף הוא הרחבה סופית של K. כיוון ש-K סגור אלגברית, אזי $A/{\mathfrak {m}}=K$. נסמן $x_{i}={\bar {z}}_{i}\in K$ ההטלה לשדה המנה, לכל $1\leq i\leq n$, ונקבל כי $f_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})=0$ לכל $1\leq i\leq m$. זאת אומרת, $x_{1},\ldots ,x_{n}\in K$ הוא פתרון למערכת הפולינומים $f_{1},\ldots ,f_{m}$, כרצוי.

גרסה פרויקטיבית

בגאומטריה פרויקטיבית ניתן לנסח משפט מקביל אך מעט שונה.

ראשית, במקרה הפרויקטיבי יריעה פרויקטיבית היא אוסף פתרונות של פולינומים מאידאל הומוגני $J$ (אידאל שלכל איבר בו, גם החלקים המונומיים שלו שייכים אליו), אותה נסמן גם כן $V(J)$.

בכיוון ההפוך, כל תת-קבוצה $X$ במרחב פרויקטיבי שולחים לאידאל שנוצר על ידי הפולינום ההומוגניים שמאפסים את כל הנקודות בה, אותו נסמן $I(X)$.

נקבל טענה דומה לגרסה החלשה על שורת סתירה כלעיל:

משפט - עבור אידאל הומוגני $J$, מתקיים $V(J)=\phi$ אם ורק אם $J$ מכיל אידאל הומוגני $J_{s}$, בו כל מונום של כל פולינום הוא ממעלה $s$ לפחות.

וכעת נקבל את ההתאמה:

משפט האפסים בגרסה הפרויקטיבית- לכל אידאל $J$ עבורו מתקיים $V(J)\neq \phi$ (כלומר הוא לא מכיל אידאל $J_{s}$ כנ"ל), מתקיים $I(V(J))=Rad(J)$.

תוצאות קשורות

למשפט האפסים של הילברט יש מספר תוצאות דומות מתחומים שונים במתמטיקה. נציין כאן כמה מהן.

משפט האפסים הקומבינטורי

משפט בקומבינטוריקה, המוכר בשם "משפט האפסים הקומבינטורי", משמש להוכחת תוצאות שונות מתורת המספרים האדיטיבית, תורת הגרפים וקומבינטוריקה, ומנוסח כלהלן: יהיה K שדה ויהי $f\in K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ פולינום ממעלה d. יהיו $t_{1},\ldots ,t_{n}>0$ שלמים כך שהמקדם של המונום $\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{t_{i}}$ ב-f אינו אפס, וכן כי $\sum _{i=1}^{d}t_{i}=d$. אזי, לכל תתי קבוצות $S_{1},\ldots ,S_{n}\subset K$ המקיימות $\left|S_{i}\right|>t_{i}$, לכל $1\leq i\leq n$, קיימים $s_{1}\in S_{1},s_{2}\in S_{2},\ldots ,s_{n}\in S_{n}$, כך ש-$f(s_{1},\ldots ,s_{n})\neq 0$.

השימוש במשפט מוכר לעיתים גם כשיטה הפולינומית שמקורה במאמר של נוגה אלון ומיכאל טרסי. השיטה פותחה לאחר מכן על ידי אלון, נתנסון ורוזה בשנים 1996-1995 ונוסחה מחדש על ידי אלון בשנת 1999. המשפט קיבל את שמו כיוון שניתן לראות בו כמקרה פרטי של משפט האפסים של הילברט. דוגמאות לשימושים של המשפט הן הוכחות פשוטות למשפט שבלי-וורנינג על אפסים של מערכות של פולינומים, ומשפט קושי-דוונפורט בקומבינטוריקה אדיטיבית.

משפט גלפנד מזור

באנליזה פונקציונלית, משפט גלפנד מנזור, הקרוי על שם המתמטיקאיים ישראל גלפנד וסטניסלב מזור, הוא המשפט הבא: תהי A אלגברת בנך מרוכבת עם יחידה וחלוקה. אזי A איזומטרית לשדה המספרים המרוכבים. במילים אחרות, שדה המספרים המרוכבים הוא האלגברת בנך המרוכבת היחידה בה כל איבר לא אפס הוא הפיך, כאשר היחידות היא עד כדי איזומטריה.

שלמות של שדות סגורים אלגברית

ניתן לראות במשפט האפסים של הילברט כמקרה פרטי של המשפט הטוען כי תורת השדות הסגורים אלגברית ממאפיין נתון, היא שלמה. במילים אחרות, כל טענה ספיקה בלוגיקה מסדר ראשון הנוגעת בשדות סגורים אלגברית, ממאפיין נתון, בפרט, ניתן להסיק מכך את הניסוח של משפט האפסים ביחס לפתרון למערכות פולינומים בהרחבת שדות.