גאומטריה לא אוקלידית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

גאומטריה לא־אוקלידית היא תורה גאומטרית, שבה מתקבלות תוצאות שונות מהגאומטריה של אוקלידס, על ידי שינוי חלק מהאקסיומות שבבסיסה.

גאומטריות לא־אוקלידיות נוצרו כפתרון לבעיה שהעסיקה את המתמטיקאים במשך מאות שנים: הנסיון להוכיח את אקסיומת המקבילים. לאקסיומה זו, שהיא החמישית בין אקסיומות הגאומטריה שבספרו של אוקלידס, "יסודות", מבנה מורכב באופן חריג לעומת שאר האקסיומות. לפיכך נעשו מאמצים רבים להוכיח שאקסיומה זו נובעת מהאקסיומות האחרות, כלומר אינה אקסיומה אלא משפט. מאמצים אלה עלו בתוהו במשך מאות שנים, עד שבראשית המאה ה-19 נעשתה פריצת דרך בנושא, כאשר מתמטיקאים אחדים הבינו שנדרש כיוון שונה.

התנהגותם של קווים בעלי אנך משותף בגאומטריות שונות

לרעיון שניתן להחליף את אקסיומת המקבילים באקסיומה אחרת, ובכך לקבל גאומטריה שונה מהגאומטריה האוקלידית אך תקפה באותה מידה, הגיע לראשונה גאוס, שחשש לפרסם רעיון כה חדשני. אחריו הגיעו לרעיון, באופן בלתי תלוי, המתמטיקאי הרוסי ניקולאי איוונוביץ' לובצ'בסקי וקצין הצבא ההונגרי יאנוש בולאי. אחת הגרסאות הלא־אוקלידיות, הגאומטריה ההיפרבולית, אומרת שדרך נקודה מחוץ לישר עוברים אינסוף ישרים מקבילים לישר זה (ולא אחד בלבד כבגאומטריה האוקלידית). בגרסה אחרת של גאומטריה לא־אוקלידית, הגאומטריה הפרויקטיבית, שאותה פיתח ברנרד רימן, תלמידו של גאוס, אומרת האקסיומה שכל שני קווים ישרים - נפגשים. בגאומטריה זו לא קיימים ישרים מקבילים.

באורח פלא התברר כעבור שנים לא רבות שהגאומטריות הלא־אוקלידיות אינן רק תרגיל ביסודות האקסיומטיים של הגאומטריה: כשם שהגאומטריה האוקלידית מהווה בסיס למכניקה של אייזק ניוטון, כך מהווה גאומטריה לא־אוקלידית (בגרסתו של רימן) בסיס לתורת היחסות הכללית, והיא הגאומטריה שמתארת נאמנה את המרחב.

[עריכה] עקביות הגאומטריה הלא-אוקלידית

הדרך הטובה ביותר להשתכנע שהתורה החדשה עקבית, כלומר, שאין בה סתירות, היא לבנות מודל שלה במסגרת תאוריה אחרת, מקובלת יותר. פירושו של דבר הוא שבמסגרת התאוריה הוותיקה, בוחרים קבוצה שתייצג את המישור בגאומטריה הלא-אוקלידית, ומאפיינים את הנקודות ואת הקווים הישרים במישור זה. כל שנדרש מן המודל הוא שהקווים והנקודות שלו יקיימו את האקסיומות של התורה החדשה. אם קיים מודל כזה, אז העקביות של התאוריה החדשה נובעת מזו של התאוריה הישנה.

באופן צפוי (אך אירוני משהו), המודלים המקובלים לגאומטריה לא-אוקלידית הם במסגרת הגאומטריה האוקלידית. יש להבין שקיומם של מודלים כאלה מוכיח כי אם הגאומטריה האוקלידית עקבית, הרי שבהכרח תכונה זו חלה על הגאומטריה הלא-אוקלידית. זו כשלעצמה הוכחה שאקסיומת המקבילים (האוקלידית) בלתי תלויה באקסיומות הגאומטריות האחרות. (העקביות של הגאומטריה האוקלידית עצמה נשענת על העקביות של תורת הקבוצות, דרך המודל הסטנדרטי של המרחב האוקלידי).

ניתן לפרש חלק מהגאומטריות הלא־אוקלידיות כגאומטריה של פני משטח עקום במרחב אוקלידי תלת־ממדי. בפירושים אלה הגאומטריה ההיפרבולית היא הגאומטריה של אוכף של סוס ואילו הגאומטריה של רימן היא גאומטריה של פני כדור.