גאומטריה היפרבולית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
משולש על משטח היפרבולי

גאומטריה היפרבולית היא גאומטריה לא אוקלידית שבה האקסיומה החמישית של אוקלידס, אקסיומת המקבילים, מוחלפת באקסיומה הבאה:

דרך כל נקודה שמחוץ לישר עוברים לפחות שני ישרים מקבילים לישר זה.

במהלך השנים שאחרי פרסום "יסודות" של אוקלידס, הייתה מקובלת התחושה שאקסיומת המקבילים (הקובעת שדרך נקודה שמחוץ לישר עובר קו מקביל אחד ויחיד) אינה 'טבעית' ומובנת מאליה כמו שאר האקסיומות של הגאומטריה. תחושה זו הביאה לניסיונות חוזרים ונשנים להוכיח את האקסיומה החמישית כמשפט גאומטרי. כל הניסיונות מסוג זה נכשלו, עד שבמאה ה-19, המתמטיקאים גאוס, בולאי ולובצ'בסקי הגיעו במקביל למסקנה שהאקסיומה החמישית אינה נובעת מן האקסיומות האחרות. הם הבינו שניתן להחליף את האקסיומה המקובלת בזו המצוינת לעיל, ולקבל מבנה גאומטרי עשיר ומעניין, גם אם שונה מהגאומטריה האוקלידית. אחד ההבדלים הבולטים הוא שבגאומטריה היפרבולית, סכום הזוויות במשולש הינו קטן מ-180 מעלות.

עקביות הגאומטריה ההיפרבולית[עריכת קוד מקור | עריכה]

הדרך הטובה ביותר להשתכנע שהתורה החדשה עקבית, כלומר, שאין בה סתירות, היא לבנות מודל שלה במסגרת תאוריה אחרת, מקובלת יותר. פירושו של דבר הוא שבמסגרת התאוריה הוותיקה, בוחרים קבוצה שתייצג את המישור ההיפרבולי, ומאפיינים את הנקודות ואת הקוים הישרים במישור זה. כל שנדרש מן המודל הוא שהקוים והנקודות שלו יקיימו את האקסיומות של התורה החדשה. אם קיים מודל כזה, אז העקביות של התאוריה החדשה נובעת מזו של התאוריה הישנה.

באופן צפוי (אך אירוני), המודלים המקובלים לגאומטריה ההיפרבולית הם במסגרת הגאומטריה האוקלידית. יש להבין שקיומם של מודלים כאלה מוכיח כי אם הגאומטריה האוקלידית עקבית, הרי שבהכרח תכונה זו חלה על הגאומטריה ההיפרבולית. זו כשלעצמה הוכחה שאקסיומת המקבילים (האוקלידית) בלתי תלויה באקסיומות הגאומטריות האחרות. (העקביות של הגאומטריה האוקלידית עצמה נשענת על העקביות של תורת הקבוצות, דרך המודל הסטנדרטי של המרחב האוקלידי).

מודלים של המישור ההיפרבולי[עריכת קוד מקור | עריכה]

את המישור ההיפרבולי ניתן לאפיין, כמרחב עם תבנית דיפרנציאלית, כמשטח רימן שלם פשוט קשר בעל עקמומיות \ -1 בכל נקודה. מבחינה טופולוגית, הוא מהווה כיסוי אוניברסלי לכל משטח רימן בעל עקמומיות קבועה ושלילית.

למישור ההיפרבולי יש כמה מודלים מקובלים, שכולם ניתנים לתאור ובניה במסגרת הגאומטריה האוקלידית. במודל הראשון, מודל הדיסק של פואנקרה (שהתגלה ב-1868 על ידי בלטרמי, (אנ')), המישור ההיפרבולי הוא עיגול, ששפתו היא מעגל מסוים. הקווים הישרים במודל זה הם כל הקשתות של מעגלים שהם מאונכים למעגל השפה, וכן הקטרים של העיגול.

במודל של הנדריק לורנץ המישור ההיפרבולי הוא המחצית העליונה של היריעה \ x^2+y^2-z^2=1, כאשר כל קו ישר הוא חיתוך של היריעה עם מישור (אוקלידי) העובר דרך ראשית הצירים. מגרסה תלת-ממדית של מודל זה אפשר לגזור את מודל הדיסק של קליין.

המודל הרביעי, גם הוא מיוחס לפואנקרה, הוא החשוב ביותר. זהו מודל חצי המישור העליון, שבו המישור ההיפרבולי מזוהה עם החצי \ \{z : \Im(z)>0\} של המישור המרוכב, והקוים הישרים הם חצאי מעגלים המאונכים לציר ה- x, והישרים המקבילים לציר ה- y. במודל זה מוגדרת מטריקה היפרבולית לפי התבנית הדיפרנציאלית \ ds=\frac{\sqrt{dx^2+dy^2}}{y}.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]