עקרון המקסימום של האוסדורף

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, עקרון המקסימום של האוסדורף הוא ניסוח אלטרנטיבי ומוקדם יותר ללמה של צורן, אשר הוכח על ידי פליקס האוסדורף בשנת 1914. על-פי עקרון זה, בכל קבוצה סדורה חלקית, כל שרשרת מוכלת בשרשרת מקסימלית.

עקרון המקסימום של האוסדורף הוא אחת מתוך טענות רבות השקולות לאקסיומת הבחירה במסגרת מערכת האקסיומות של צרמלו-פרנקל בתורת הקבוצות.

ניסוח שקול[עריכת קוד מקור | עריכה]

בכל קבוצה סדורה חלקית קיימת שרשרת מקסימלית.

על מנת להוכיח שניסוח זה נובע מעקרון המקסימום, נניח כי A היא קבוצה סדורה חלקית. אזי \varnothing מהווה שרשרת ב-A, כלומר קיימת שרשרת מקסימלית ב-A המכילה את \varnothing, ובפרט ב-A קיימת שרשרת מקסימלית.

בכוון השני, תהא A קבוצה סדורה חלקית, ותהא T \subseteq A שרשרת. נתבונן באוסף השרשראות S המקיימות T \subseteq S \subseteq A. אוסף זה מהווה קבוצה סדורה חלקית עם יחס סדר של הכלה, מכאן שהוא מכיל שרשרת מקסימלית C. הקבוצה M=\bigcup C, אם כן, היא שרשרת מקסימלית המכילה את T, כנדרש.

באופן דומה ניתן להוכיח כי עקרון המקסימום של האוסדורף שקול ללמה של צורן.


נושאים בתורת הקבוצות

תורת הקבוצות הנאיביתתורת הקבוצות האקסיומטיתקבוצהיחידוןהקבוצה הריקהאיחודחיתוךמשליםהפרש סימטריקבוצת החזקהמכפלה קרטזיתיחסיחס שקילותפונקציהעוצמהקבוצה בת מנייההאלכסון של קנטורמשפט קנטור שרדר ברנשטייןהשערת הרצףהפרדוקס של ראסלסדר חלקימספר סודרהלמה של צורןאקסיומת הבחירה