ארכימדס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
ארכימדס
Άρχιμήδης
287 לפנה"ס –‏ 212 לפנה"ס
Domenico-Fetti Archimedes 1620.jpg

"ארכימדס מהורהר", ציור של דומניקו פטי
תרומות עיקריות
נחשב לאחד מהמדענים המובילים של העת העתיקה. בנוסף לתגליות בתחומי המתמטיקה והגאומטריה, תכנן מכונות רבות. הוא הוביל את הבנת יסודות ההידרוסטטיקה, ותיאר את החוק עליו מבוסס המנוף. הפיתוחים בחשבון אינפיניטסימלי

ארכימדסיוונית: Άρχιμήδης;‏ ‏287‏‏‏‏‏212 לפנה"ס) היה מתמטיקאי, פיזיקאי, מהנדס, ממציא ואסטרונום יווני. אף על פי שמעט ידוע על חייו, הוא נחשב לאחד המדענים המובילים של העת העתיקה. בנוסף לתגליות בתחומי המתמטיקה והגאומטריה, תכנן מכונות רבות שהיו חדשניות מאוד. הוא הוביל את הבנת יסודות ההידרוסטטיקה, ותיאר את החוק עליו מבוסס המנוף, המכשיר עליו מבוססת המכניקה. הפיתוחים המוקדמים שלו בחשבון אינפיניטסימלי כללו את הסיכום הידוע הראשון של טור אינסופי בשיטה שעדיין בשימוש כיום. ההיסטוריונים של רומא העתיקה הראו עניין רב בארכימדס וכתבו חיבורים רבים על חייו ועבודתו. העתקים ספורים של חיבוריו שרדו במהלך ימי הביניים, והיוו מקור משפיע של רעיונות עבור מדענים במהלך הרנסאנס, במהלך המהפכה המדעית ועד לימנו.

במהלך המצור על סירקוסאי חייל רומאי הרג את ארכימדס בניגוד לפקודות לפיהן אסור היה לפגוע בו. היסטוריון המתמטיקה אריק טמפל בל מנה את ארכימדס כאחד משלושת המתמטיקאים הגדולים בכל הזמנים, יחד עם סר אייזק ניוטון וקרל פרידריך גאוס, ורבים נוספים מחשיבים את עבודתו המתמטית לחשובה ביותר.

ביוגרפיה[עריכת קוד מקור | עריכה]

ארכימדס נולד בשנת 287 לפנה"ס בעיר הנמל סירקוסאי, סיציליה. תאריך מותו המשוער בשנת 212 לפנה"ס מבוסס על טיעוניהם של היסטוריונים כי חי 75 שנה. בחיבורו מחשב החול, מזכיר ארכימדס את שם אביו פידיאס, אסטרונום עליו לא ידוע דבר. פלוטארכוס כתב בחיבורו שארכימדס היה קרוב משפחה של המלך היירון השני, טיראן סירקוסאי. הביוגרפיה של ארכימדס נכתבה על ידי חברו היריקלידס אבל עבודה זו אבדה, והשאירה את פרטי חייו מעורפלים. לא ידוע אם הוא נישא אי פעם או אם היו לו ילדים. ארכימדס בילה חלק משנות חייו המוקדמות באלכסנדריה שבמצרים, שהייתה אז מרכז חשוב של התרבות הלניסטית, שם הוא למד אצל ממשיכיו של אוקלידס.

ממצרים שב לסירקוסאי ופעל בה במשך שנים רבות, בה גם מצא את מותו, בעת כיבוש העיר על ידי הרומאים. על־פי המסופר הורה מרקוס קלאודיוס מרקלוס, מפקד כוחות הרומאים, שלא לפגוע בארכימדס. אחד מחייליו של מרקלוס נתקל בארכימדס, שהיה עסוק בפתרון בעיה גאומטרית ששירטט בחול. "אל תמחק את המעגלים שלי" (ביוונית: μή μου τούς κύκλους τάραττε; בלטינית: nuli turbare circulos meos), אמר ארכימדס לחייל, שלא ידע בפני מי הוא עומד, וזה הרגו בכעסו. על פי תיאורו של קיקרו, שביקר בקברו כ-150 שנה לאחר מותו, על מצבתו של ארכימדס היה חרות הישגו המתמטי המועדף של ארכימדס - כדור החסום בגליל בעל גובה וקוטר זהים [1]. ארכימדס הוכיח שנפחו ושטח פניו של הכדור מהווים 2/3 מאלו של הגליל (כולל הבסיסים שלו).

עם מותו נשכח גאון המתמטיקה היווני, ורק בתקופת המאה ה-16 שב לתודעת העולם המדעי.

אאורקה[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – אאורקה
קריקטורה על קריאת אאוריקה של ארכימדס

על פי אנקדוטה מפורסמת שסופרה על ידי ויטרוביוס בכרך התשיעי של הספר "על אודות האדריכלות", נתבקש ארכימדס לקבוע האם הכתר של המלך היירון השני עשוי מזהב טהור. כדי למצוא את הרכב הכתר היה צריך להשוות את נפחו לנפח של כתר זהב באותו משקל, אולם אז לא ידעו איך למדוד את נפח הכתר. בעת שארכימדס רחץ באמבט ציבורי הוא הבין שגופו השקוע באמבט דוחה כמות מים השווה לנפח גופו. בדרך זו הוא למד כיצד למדוד נפח של גוף כלשהו. מרוב התלהבות יצא בריצה לרחוב כשהוא עירום וצועק "אאורקה!" (מצאתי). הסיפור ככל הנראה לא מדויק משום שהבדלי הנפח בין כתר זהב לכתר מזויף באותו משקל, יגרמו לעליית פני המים בהפרש קטן מדי מכדי שיבחינו בו במכשירי המדידה של אותם ימים.

תגליות והמצאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

בורג ארכימדס – אמצעי יעיל לשאיבת מים
"קרני החום" של ארכימדס

הסיפור הזה על הכתר המוזהב אינו מופיע בעבודותיו הידועות של ארכימדס, אבל בחיבורו "על גופים צפים" הוא תיאר את החוק הידוע בהידרוסטטיקה כחוק ארכימדס. חוק זה קובע שעל גוף השקוע בנוזל פועל כוח ציפה השווה למשקל הנוזל הנדחה על ידי הגוף.

אף על פי שארכימדס לא המציא את המנוף, הוא רשם את ההסבר הידוע המוקדם ביותר של החוק המעורב בתהליכי מנוף, כמו גם את התיאור המוקדם ביותר של המושג מרכז כובד. לפי פאפוס מאלכסנדריה, עבודתו על מנופים גרמה לו לקבוע: "תנו לי נקודת משען ואניף את העולם". פלוטארכוס מתאר כיצד ארכימדס תיכנן מערכות משיכה המורכבות מגלגלות, אשר איפשרו למלחים להיעזר בעוצמתם של מנופים כדי להרים דברים שהיו כבדים מדי להרמה.

חלק נכבד מיצירותיו ההנדסיות של ארכימדס מוקדש היה לצרכיה של עיר הולדתו סירקוסאי. הסופר היווני אתנוס תיאר איך הפקיד הירון השני בידי ארכימדס את תכנונה של הספינה סירקוסיה, שיעשה בה שימוש לטיולי מותרות, הובלת אספקות של צרכים שונים, וכספינת מלחמה ימית. ארכימדס נענה לבקשתו, וזו הפכה לספינה הגדולה ביותר שנבנתה בתקופת העת העתיקה. לפי אתנוס, הספינה הייתה מסוגלת להוביל 600 אנשים וכללה קישוטי גינה, גימנסיון ומקדש שהוקדש לאלילה אפרודיטה. לתחזוקת הספינה תכנן אמצעי לשאיבת מים שהמציא: בורג ארכימדס שמטרתו הייתה לשאוב את המים הרבים שדלפו לתוך ספינה בגודל כזה. מתקנים על בסיס בורג ארכימדס משמשים עד היום להובלת נוזלים, גרעינים ואבקות.

כושר ההמצאה של ארכימדס ויכולתו ההנדסית באו לידי ביטוי באופן מיוחד בפעולותיו לשם הגנת סירקוסאי מפני הרומאים במלחמה הפונית השנייה. פלוטארכוס העיד, שהמצאותיו הצבאיות של ארכימדס מנעו את נחיתת הצי הרומי, בפיקודו של מרקלוס. ארכימדס שיפר את העוצמה והדיוק של הקטפולטה, המציא בליסטראות שהמטירו על הרומאים סלעים שמשקלם רבע טון לפחות, ומכונות אימתניות ששלחו "מקלות וציפורניים" מברזל אל מעבר לחומות העיר, תפסו את הספינות וסחררו אותן אל הסלעים. הסופר בן המאה ה-2 לספירה לוציאן כתב כי במהלך המצור על סירקוסאי ארכימדס הרס ספינות אויב באש. מספר מאות מאוחר יותר יש אזכור בספרות כי ארכימדס השתמש במראות קעורות ענקיות כדי למקד את קרני השמש על ספינות בים כדי להביא להתחממותן עד לנקודת שריפה. האמינות ההיסטורית של קיום המכשיר היוותה נושא לדיון מתמשך מאז ימי הרנסאנס, ובניסויים בני ימינו הוכח כי כפי הנראה המראות שימשו יותר כדי לסנוור ולהרתיע את צוותי ספינות האויב. אחרי כשלונו הראשון לכבוש את סירקוסאי כינה מרקלוס את ארכימדס: "בריארוס (מפלצת מיתולוגית בעלת 100 זרועות) הנדסי, המשתמש בספינותיו כתרווד לשאיבת מי הים".

ארכימדס גם המציא "מד מרחק" (odometer) המבוסס על נפילת כדור בכל מיל נסיעה של עגלה. מד המרחק של ארכימדס תואר כמכניזם גלגלי שיניים מורכב המפיל כדור לתוך מיכל בכל מיל נסיעה של עגלה. בהקשר זה ראוי לציין כי ארכימדס גם המציא שעון מים מתוחכם - המבוסס על מנגנון מורכב לרגולציה של זרימת המים לצורך מדידה מדויקת של זמן. ארכימדס כתב חיבור שכותרתו על שעוני מים (On Water Clocks) על הבנייה של מנגנונים כאלה.

ישנם המייחסים היום לארכימדס את תכנון, או אף בניית מנגנון אנטיקיתרה - מחשב מכני שהקדים את זמנו ב-1,500 שנה לערך. הראיות ההיסטוריות לכך מתבססות על דבריו של קיקרו אשר מזכיר את ארכימדס בדיאלוג שלו הרפובליקה. לפי קיקרו, הגנרל מרקוס קלאודיוס מרקלוס הביא איתו לרומא שתי מכונות שנבנו על ידי ארכימדס, שנעשה בהם שימוש לצורך הדגמות אסטרונומיות, ואשר הראו את תנועת השמש, הירח וחמש פלנטות נוספות. המכונה שהביא איתו מרקלוס, הודגמה, לפי דבריו של קיקרו, בידי גאיוס סולפיציוס גאלוס ללוציוס פוריוס פילוס, אשר תיאר אותה כך:

Hanc sphaeram Gallus cum moveret, fiebat ut soli luna totidem conversionibus in aere illo quot diebus in ipso" caelo succederet, ex quo et in caelo sphaera solis fieret eadem illa defectio, et incideret luna tum in eam metam quae esset umbra terrae, cum sol e regione. — כאשר גאלוס הניע את הגלובוס, התרחשה תנועה של השמש והירח על ההתקן מברונזה שתאמה במדויק את תנועותיהם בשמיים, כך שכאשר בשמיים היה אמור להתרחש ליקוי חמה, הירח נע כך שיעמוד במקום שבו הוא יעמוד בקו אחד עם השמש וכדור הארץ, וכך הטיל את צילו על הארץ."

זהו תיאור של פלנטריום. לפי פאפוס מאלכסנדריה, ארכימדס כתב חיבור (שכעת אבוד) על הבנייה של מכניזמים כאלה תחת הכותרת על הכנת כדור (On Sphere-Making). קיקרו אף מוסיף ומציין כי מכונות דומות נבנו בעבר על ידי תאלס איש מילטוס ואאודקסוס מקנידוס, אך לפי קיקרו, מכונתו של ארכימדס הצטיינה בכך שהוא תכנן דרך להניע את הפלנטות במדויק, ועל ידי מכשיר יחיד, בהתאם למסלוליהם השונים וקצבי המהירות המשתנים שלהם, ובכך זכתה להערכה מיוחדת.

מתמטיקה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נוסף לפרסומו כמתכנן של מכשירים מכניים, נודע ארכימדס גם בזכות הישגיו במתמטיקה. השגים אלה מעידים על יצירתיות וחזון. פלוטארכוס כתב עליו: "הוא הפנה את מלוא החיבה והשאיפה שלו לתחומים הטהורים הללו אשר אין להם קשר לצרכים הרגילים של החיים".

ארכימדס היה הראשון שהשתמש בגדלים אינפיניטסימלים באמצעות חלוקת קבוצה לאינסוף תת-קבוצות השואפות בגודלן לאפס, הוא הגיע לדיוק המרבי האפשרי לגבי גודל הקבוצה. שיטה זו ידועה בשם "שיטת המיצוי", והיא מהווה צעד ראשון לקראת החשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי. ארכימדס נעזר בשיטה זו כדי לחשב את שטחו של עיגול, בכך גילה את הנוסחה המפורסמת לשטח מעגל המיוחסת לו  S = \pi\cdot R^2 כאשר S הוא שטח המעגל, \pi הוא היחס בין היקף המעגל לקוטרו ו-R הוא רדיוס המעגל. הוא אף הציג שיטה לחישוב \pi בכל דיוק רצוי, וחישב את ערכו בין הסכום 1/7 + 3 לסכום 10/71 + 3. ב-"על הכדור והגליל", ארכימדס קובע שכל גודל כאשר הוא מתווסף לעצמו מספיק פעמים יעבור כל גודל נתון. זה ידוע כתכונה הארכימדית של המספרים הממשיים.

ארכימדס השתמש בשיטת המיצוי כדי לאמוד את ערכו של \pi

ארכימדס לא הסתפק בחישוב שטחו של עיגול. הוא נעזר שוב בשיטת המיצוי והמציא שיטות לחישוב שטחים ונפחים, חישב שטחים החסומים בפרבולות ובספירלות, נפחי גלילים, פרבולואידים ומקטעים כדוריים. הוא מצא את מרכזי הכובד של ההמיספירה (חצי ספירה), ושל טריז גלילי, ובכך חזה שוב את החשבון האינטגרלי. הוא הוכיח ששטחו ונפחו של כדור הוא ביחס של 2:3 לשטחו ונפחו של גליל החוסם כדור זה. כיוון שנוסחאות לחישוב שטח ונפח של גליל היו ידועות, הוכחתו של ארכימדס סיפקה לראשונה נוסחאות לחישוב שטח ונפח של כדור.

ארכימדס היה הראשון, ואולי אף היחיד, מבין המתמטיקאים היוונים שעסק בעקומים מכניים (כאלה שנוצרים על ידי נקודה נעה), בראותו עקומים אלה כנושא ראוי לחקירה, בניגוד לדבקותם של המתמטיקאים היוונים בבנייה בסרגל ומחוגה בלבד. במסגרת חקירתו זו השתמש בספירלת ארכימדס לשם תרבוע העיגול, ולשם שילוש הזווית (ב-"על ספירלות").

בחיבורו "המדידה של המעגל", מצא ארכימדס את השורש הריבועי של 3 כגדול מ-265/153 וקטן מ-1351/780. הערך המחושב של גודל זה הוא 1.7320508076, ולכן אומדן זה מדויק מאוד. ככל הנראה הוא הגיע להערכה זאת באמצעות שיטות חדשות למציאת שורשים שהמציא, אך הוא לא תיאר ולא הסביר את שיטותיו.

בחיבורו "תרבוע הפרבולה", הוכיח ארכימדס שהשטח הכלוא על ידי פרבולה וקו ישר שווה ל-4/3 כפול שטחו של המשולש בעל גובה ובסיס שווים. במהלך הפתרון הוא סיכם לראשונה את הטור הגאומטרי האינסופי בעל מנה 1/4:

 \sum_{n=0}^\infty 4^{-n} = 1 + 4^{-1} + 4^{-2} + 4^{-3} + \cdots = {4\over 3} \; . .

ב"מחשב החול", ניסה ארכימדס לחשב את מספר גרגירי החול שהיקום עשוי להכיל. במטרה להראות שמספר גרגירי החול ביקום אמנם גדול מאוד אבל סופי. כדי לספור את גרגירי החול, ארכימדס המציא שיטה חדשה שהתבססה על הסמל היווני לרבבה (10,000) לרישום מספרים גדולים עד ‏ 10^{8\cdot 10^{16}}.

כתבים חדשים שנכתבו על ידי ארכימדס ונחשפו בזמננו גרמו להרמת קרנו בעיני היסטוריוני המתמטיקה. בכתבים הללו נתגלו תובנות עמוקות של מושג האינסוף, תובנות אשר לא הושגו עד לזמנו של גאורג קנטור, שחי כ-2,000 שנה אחרי ארכימדס. כמו כן, בעקבות עבודות שחזור ומחקר שנעשו על הפלימפססט של ארכימדס הועלתה ההשערה, שארכימדס עסק בשאלות קומבינטוריות, יותר מאלפיים שנה לפני המצאת מדע הקומבינטוריקה.

חיבורים[עריכת קוד מקור | עריכה]

כיכר ארכימדס בסירקוזה

ארכימדס כתב חיבורים רבים על תוצאות מחקריו, אשר אותם הוא שלח כמכתבים לבני דורו. מעטים מכתביו המקוריים ביוונית השתמרו, ורובם אבדו במהלך אירועים כמו שריפת הספרייה הגדולה של אלכסנדריה בשנת 391, או בזיזת קונסטנטינופול במהלך מסע הצלב הרביעי בשנת 1203. בקטלוג מהמאה הרביעית מצוין שבין כתביו של האפיפיור היו שני אוספים של ספרי ארכימדס, הנקראים 'קודקס A' ו'קודקס B'. ספרים אלו היוו מקור השראה לרבים מהמדענים של תקופת הרנסאנס, כמו לאונרדו דה וינצ'י או גלילאו גלילאי, ובהמשך - אייזק ניוטון שהושפע ישירות מעבודתו. הקודקסים הללו אבדו, אך תרגומים של חלק מספריו לערבית השתמרו. אוסף שלישי של כתבי ארכימדס, הידוע היום כהפלימפססט של ארכימדס התגלה בשנת 1907.

בין ספריו של ארכימדס ניתן למצוא את:

חיבורים אבודים של ארכימדס[עריכת קוד מקור | עריכה]

פאפוס מאלכסנדריה מציין עבודה על פאונים (פאונים ארכימדיים) שנכתבה על ידי ארכימדס ואבדה. פאפוס מציין כי ארכימדס מנה 13 פאונים כאלה, אך לא ידוע אם הוכיח כי אלו היחידים (יוהנס קפלר היה הראשון להוכיח כי יש רק 13 פאונים ארכימדיים). תיאון מאלכסנדריה מצטט הערה על שבירה של אור מהעבודה הכעת אבודה Catoptrica. ספר הלמות מיוחס לארכימדס על פי ת'אבת אבן קורה אף כי האותנטיות שלו מוטלת בספק. ארכימדס אף גילה והוכיח את נוסחת הירון לחישוב שטח משולש מאורכי צלעותיו.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]