משתמש:Saar.god/מתמטיקה טהורה

מתמטיקה טהורה

באופן כללי, מתמטיקה טהורה היא ענף של המתמטיקה שעוסק בחקר ישויות ערטילאיות. מן המאה השמונה-עשרה ואילך, התחום הוכר כפעילות מתמטית אשר אופיינה תדירות כספקולטיבית, ולחילופין שויכה למגמות מתחלפות במטרה לשרת צרכים קונקרטיים של ניווט, אסטרונומיה, פיזיקה, הנדסה ועוד. השקפה נוספת גורסת שניתן לראות במתמטיקה הטהורה כ"מתמטיקה לא בהכרח שימושית", כלומר זה אפשרי לחקור ישויות ערטילאיות בכפיפה לאופיין המושרש, מבלי להתייחס לצורה בה הן מובעות בעולם האמיתי. אף על פי שההשקפה הטהורה וההשקפה השימושית הן שתי עמדות פילוסופיות שונות, בפועל ישנה חפיפה רבתי בפעילות של המתמטיקה הטהורה והמתמטיקה השימושית: על-מנת לפתח מודלים מדויקים לתיאור העולם החיצוני, רבים מן המתמטיקאים של הזרם השימושי שואלים כלים וטכניקות הנחשבים ל"טהורים", ומאידך רבים מן המתמטיקאים הטהורים נשענים בעבודותיהם על מושגים טבעיים וחברתיים כגון השראה בשביל מחקרם המופשט.

היסטוריה

יוון העתיקה

מתמטיקאים יוונים מהעת העתיקה היו מהראשונים להבחין בין מתמטיקה טהורה לשימושית. אפלטון סייע ליצור את ההבחנה בין "אריתמטי", שנקרא תורת המספרים כיום, לבין "לוגיסטי" שבימינו נודע כאריתמטיקה. אפלטון התייחס לפן הלוגיסטי כיאה לאנשי עסקים ומלחמה אשר "חייבים ללמוד את אמנות המספרים שמא לא יידעו לארגן את חייליהם" ולפן האריתמטי (תורת המספרים) כיאה לפילוסופים "כי עליהם לעלות ממימי השינוי ולהשיג אחיזה בהוויה אמיתית". כאשר נשאל אאוקלידס מאלכסנדריה על-ידי אחד מתלמידיו מהו השימוש ללימוד הגיאומטריה, ביקש הלה באירוניה מעבדו לשלם מטבע כסף לתלמיד "כי הוא חייב ליצור רווח מידיעותיו". המתמטיקאי היווני אפולוניוס מפרגה שנשאל לגבי השימושיות של חלק מהתיאורמות בספרו הרביעי לחתכים חרוטיים הצהיר: "הן ראויות מעצם ההוכחה עצמה, באותו אופן שאנו מקבלים דברים רבים אחרים במתמטיקה - מסיבה זו ולא אחרת". ומכיוון שרבות מתוצאותיו לא היו ברות יישום למדע או ההנדסה של ימיו, המשיך לדרוש בחשיבותן בהקדמה לספרו החמישי לחתכים חרוטיים בטוענו שהנושא הוא מאותם ה"ראויים ללמידה מעצם היותם ברי קיימא"

המאה התשע-עשרה

המונח הונצח אחת ולתמיד עם הקמת כסא הפרופסור למתמטיקה טהורה (Sadleirian Chair) שיוסד באמצע המאה ה-19. ייתכן והרעיון לדיסציפלינה נפרדת למתמטיקה טהורה עלה באותה תקופה. דורו של המתמטיקאי גאוס לא עשה הבחנה בולטת בין המתמטיקה השימושית למתמטיקה טהורה. מאוחר יותר, גם התמחות ופרופסורה בענף הטהור (במיוחד לאור גישתו של קארל ויירשטראס לאנליזה מתמטית), נתנו משנה תוקף ללגיטימיות של המתמטיקה הטהורה.

המאה העשרים

עם תחילת המאה העשרים אימצו מתמטיקאים את המתודה האקסיומטית במיוחד לאחר ניסיון האקסיומטיזציה של הגאומטריה אוקלידית על-ידי דויד הילברט. הניסוח הלוגי של המתמטיקה הטהורה שהוצע ע"י ברטראנד ראסל באמצעים של מבנה כימות של טענות לוגיות נראה יותר ויותר בר תוקף, שכן חלקים נרחבים של המתמטיקה יוצגו בעזרת המערכת האקסיומטית מה שהקל את המשימה למציאת קריטריונים להוכחה ריגורוזית. למעשה, במערכת אקסיומטית, הריגורוזיות לא תורמת במאומה לרעיון ההוכחה. לפי השקפתם של חברי ניקולא בורבאקי, המתמטיקה הטהורה היא בפני עצמה ההוכחה.

כלליות וערטילאיות

אחת התפישות המרכזיות במתמטיקה הטהורה היא רעיון הכלליות; לעיתים יחולו מגמות הקוראות להגברת הכלליות:

• הכללת תיאורמה או מבנה מתמטי יכולה להוביל להבנה עמוקה יותר של התיאורמה או המבנה המתמטי
• כלליות יכולה לפשט את הצגת החומר, הפשטה שתובע על-ידי הוכחות קצרות יותר או טיעונים קלים יותר למעקב
• ניתן להשתמש בכלליות על-מנת להימנע מכפל מאמצים, על-ידי הוכחת תוצאה כללית במקום להוכיח מקרים נפרדים באופן פרטני, או על-ידי שימוש בתוצאות מתחומים אחרים במתמטיקה
• כלליות יכולה לגשר בין ענפים שונים של המתמטיקה. תורת הקטגוריות היא תחום אחד במתמטיקה המוקדש לחקר הידמות מבנים בין ענפי מתמטיקה שונים.

השפעתה של הכלליות על האינטואיציה תלויה הן בסובייקט והן בהעדפה אישית או סגנון הלימוד. לעיתים, כלליות נתפשת כמכשול לאינטואיציה, על אף שהיא יכולה לשמש כעזר, במיוחד במקרים בהם היא תספק אנלוגיה לנושא אחר בו כבר פותחה אינטואיציה. עוד דוגמא נבחרת לכלליות ניתן למצוא בעבודתו של פליקס קליין בשם תוכנית ארלנגן בה עמל קליין על הרחבה של מושג הגאומטריה כך שיכיל גם גאומטריות לא-אוקלידיות, את ענף הטופולוגיה, וצורות אחרות של גאומטריה על-ידי השקפה של גאומטריה כמחקר של חלל בצוותא עם חבורה של טרנספורמציות. חקר המספרים, הקרוי אלגברה בשלבי הלימודים התיכוניים, מתרחב לאלגברה מופשטת בשלב מתקדם יותר; וחקר הפונקציות הקרוי חשבון אינפיניטסימלי, הופך לאנליזה מתמטית ואנליזה פונקציונלית בשלב מתקדם יותר. לכל אחד מהענפים האבסטרקטיים הללו ישנם תתי-תחומי התמחות כך שישנם בפועל קשרים רבים בין הדיסציפלינות הטהורה והשימושית. עלייה חדה בזרם האבסטרקציה נרשמה באמצע המאה ה-20 והיא מתבטאת במגוון תחומי חיים ולא רק במתמטיקה. עם זאת בפועל, התפתחויות אלה הובילו לסטייה חדה מתחום הפיזיקה, במיוחד בין השנים 1950-1980. מאוחר יותר, המגמה הזאת זכתה לביקורתו של ולדימיר ארנולד כ"יותר מדי הילברט, ולא מספיק פואנקרה". עושה רושם שהמחלוקת טרם נפתרה שכן תורת המיתרים מושכת לכיוון אחד, בעוד מתמטיקה בדידה מושכת לכיוון המנוגד אל עבר ההוכחה כמרכז.

פוריזם

אחד הביטויים המובהקים למחלוקת המתמדת בין המתמטיקה הטהורה לזו השימושית ניתן למצוא במסתו השנויה במחלוקת של המתמטיקאי ג. ה. הארדי "התנצלותו של מתמטיקאי". נהוג לחשוב שהארדי החשיב את המתמטיקה השימושית כמכוערת ומשעממת. אולם, גם אם אין עוררין שהארדי העדיף את המתמטיקה הטהורה, שתדירות הוא השווה לציור או שירה, הוא פשוט ראה את ההבדל בין שתי הגישות בכך שמתמטיקה שימושית ביקשה להביע אמת פיזית באמצעות מתווה מתמטי, בעוד שמתמטיקאים טהורים הביעו אמיתות בלתי תלויות בעולם האמיתי. הארדי ניסח דיכוטומיה בין מה שהוא קרא מתמטיקה "אמיתית" דהיינו כזאת ש"יש לה ערך אסתטי קבוע" לבין "החלקים הבנאליים והמשעממים של המתמטיקה" להם שימושים פרקטיים בחיי היומיום. הארדי התייחס גם לפיזיקאים מסויימים, כגון איינשטיין ודיראק, כמתמטיקאים "אמיתיים", אך בזמן כתיבתו את "ההתנצלות" הוא החשיב את תורת היחסות הכללית ומכניקת הקוואנטים כחסרי תועלת, מה שהתיר לו להמשיך להחזיק בדעה שרק מתמטיקה "בנאלית" הינה שימושית. יתר על כן, כאשר החל במפתיע יישומן של תורת המטריקס ותורת הקבוצות לענפי פיזיקה שונים, הודה הארדי שיום יבוא בו תיתכן מתמטיקה יפה ו"אמיתית" שתוכל להיות מיושמת. תובנה מעניינת נוספת על הנושא הוצעה ע"י אנדי מאגיד: "תמיד חשבתי שמודל מוצלח לאנלוגיה כאן יכול להילקח מתורת החוגים. בנושא זה, תת-שדות קומוטטיבים (חילופיים) ולא-קומוטטביים יפורשו על-ידי צופה הדיוט כדיכוטומיה בעוד שלמעשה האחרון מכיל את הראשון: חוג לא קומוטטיבי הוא חוג-לא-בהכרח-קומוטטיבי. אם נרחיב את מוסכמה זו לנושא המתמטיקה השימושית וה"לא-שימושית", נוכל להגדיר את המתמטיקה הטהורה כ"מתמטיקה לא-בהכרח-שימושית.

תחומים במתמטיקה הטהורה

אנליזה עוסקת בתכונות הפונקציה. היא כוללת מושגים כגון רציפות, גבול של פונקציה, נגזרת, אינטגרלים, ובכך מספקת יסוד קפדני לחשבון אינפיטסימלי (נקרא גם קלקולוס או חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי) כפי שהוצג על-יד אייזק ניוטון וגוטפריד לייבניץ במאה ה-17. אנליזה ממשית חוקרת פונקציות של מספרים ממשיים, בעוד שאנליזה מורכבת מרחיבה את המחקר גם לתחום המספרים המורכבים. אנליזה פונקציונלית היא ענף של האנליזה שחוקרת מרחבים וקטוריים ממימד אינסופי, ושרואה בפונקציות כנקודות במרחבים הללו. אלגברה מופשטתחוקרת קבוצות בצוותא עם הפעולות הבינאריות שהן מגדירות. קבוצות ופעולותיהן הבינאריות ניתנות לסיווג על-פי תכונותיהן: לדוגמא, אם מופעלת פעולה אסוציאטיבית על קבוצה שמכילה איבר יחידה ואיברים הופכיים עבור כל יחס של הקבוצה, אז הקבוצה והפעולה נחשבים להיות חבורה. מבנים נוספים כוללים חוגים, שדות, ומרחבים וקטוריים. גאומטריה היא חקר צורות ומרחב, ובפרט חקר קבוצות של טרנספורמציות של המרחב. לדוגמא, גאומטריה פרויקטיבית עוסקת בטרנספורמציות היטליות שפועלות על המישור ההיטלי האמיתי בעוד שאינוורסיה עוסקת בקבוצה של טרנספורמציות היפוכיות הפועלות על המישור המורכב. הגאומטריה התרחבה וכיום כוללת גם את ענף הטופולוגיה אשר עוסק באובייקטים הקרויים מרחבים טופולוגיים ומפות רציפות ביניהם. עיקר עניינה של הטופולוגיה הוא באופן בו מרחבים מתחברים ומתעלמת מחישובים מדוקדקים של מרחק וזוויות. תורת המספרים הינה התאוריה של המספרים השלמים החיוביים. היא מבוססת על רעיונות דוגמאת התחלקות וקונגרואנציה (יחס שקילות). המשפט היסודי של האריתמטיקה מציין שכל שלם חיובי ניתן לפירוק לגורמיו הראשוניים ושאותה פקטוריזציה ראשונית הינה ייחודית רק לו. מבחינות מסויימות, תורת המספרים הוא הענף הכי נגיש מבין תחומי המתמטיקה הטהורה: לדוגמא, השערת גולדבך ניתנת להבנה בקלות (גם אם טרם הוכחה או הופרכה). מאידך, במובנים מסויימים תורת המספרים היא הדיסציפלינה הכי פחות נגישה לציבור הרחב; לדוגמא הוכחתו של אנדרו וויילס (שאורכה כמאה עמודים) שלמשוואתו של פרמה אין פתרונות לא-טריוויאלים דורשת הבנה בתבניות אוטומורפיות, שעל-אף זיקתן לטבע, טרם נמצא להן יישום בפיזיקה.