תלות ליניארית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
(הופנה מהדף תלות לינארית)
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באלגברה ליניארית, קבוצת וקטורים במרחב וקטורי תלויה ליניארית אם אפשר להציג אחד מן הווקטורים שלה כצירוף ליניארי של וקטורים אחרים בקבוצה.

לדוגמה, שלושת הווקטורים (1, 0, 0), (0,1,0) ו-(0, 0, 1) ב- בלתי תלויים ליניארית, אולם (2, 1-, 1), (1, 0, 1) ו-(3, 1-,2) הם וקטורים תלויים ליניארית (מפני שהווקטור השלישי הוא סכום שני הווקטורים הראשונים).

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהא תת מרחב ליניארי מעל שדה . אם הם וקטורים ב , נאמר שהם תלויים ליניארית מעל אם ישנם סקלרים ב-, לא כולם אפסים, כך ש- או בכתיבה מקוצרת, .

האפס שבאגף ימין הוא וקטור האפס של ולא סקלר האפס של . אם לא קיימים סקלרים כאלה אומרים כי בלתי תלויים ליניארית, או בקיצור בת"ל.

מכאן נובע כי הווקטורים הם בלתי תלויים ליניארית אם ורק אם מן השוויון נובע בהכרח כי לכל .

המרחב המוקרן על ידי תלות ליניארית[עריכת קוד מקור | עריכה]

תלות ליניארית בין וקטורים היא וקטור עם סקלרים, לא כולם אפס, כך שמתקיים

אם קיימת תלות כזו, הווקטורים הם תלויים ליניארית. כיוון שמכפלה בסקלר של מקדמי התלות נותנת מקדמים של תלות ליניארית, ומכיוון שסכום של מקדמי תלויות נותן גם הוא מקדמים של תלות ליניארית, הרי נובע שקבוצת כל התלויות הליניאריות בין הווקטורים יחד עם וקטור האפס היא מרחב וקטורי, שהוא תת-מרחב של .

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הנה מספר דוגמאות שנועדו להבהיר את רעיון התלות הליניארית:

דוגמה א'[עריכת קוד מקור | עריכה]

הווקטורים (1, 1), (2, 3-) ב הם בלתי תלויים ליניארית

הוכחה: יהיו ו שני מספרים ממשיים כך שמתקיים

וכן

ו אם נפתור עבור ועבור נמצא כי ו .

דוגמה ב'[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי נסתכל על הווקטורים הבאים ב

אז e1,e2,...,en הם בלתי תלויים ליניארית.

הוכחה:

נתבונן בקבוצת סקלרים שעבורם מתקיים

מכיוון ש

מתקיים עבור כל i מ 1 עד n.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]