קבוצות זרות

דיאגרמת ון של שתי קבוצות זרות: A ו-B

במתמטיקה, זוג קבוצות הן זרות אם אין להן איבר משותף. לדוגמה, $\left\{1,2,3\right\}$ ו-$\left\{4,5,6\right\}$ הן קבוצות זרות.

הסבר

על פי ההגדרה, זוג קבוצות $A$ ו-$B$ הן זרות אם החיתוך שלהן הוא הקבוצה הריקה, כלומר אם מתקיים:

$A\cap B=\varnothing \,$

עבור כל אוסף של קבוצות מוגדר כי הקבוצות באוסף הן זרות בזוגות אם כל זוג קבוצות (שונות) באוסף הוא זר, כלומר לכל זוג אינדקסים שונים, $i$ ו-$j$, מתקיים:

$A_{i}\cap A_{j}=\varnothing \,$

לדוגמה, הקבוצות באוסף הקבוצות הבא $\{\dots ,\{3\},\{2\},\{1\}\}$ הן זרות בזוגות. לעיתים משתמשים פשוט במונח זרות במשמעות זאת.

אם $\{A_{i}\}$ הוא אוסף קבוצות זרות בזוגות אז החיתוך שלו הוא ריק,

$\bigcap _{i\in I}A_{i}=\varnothing$

לעומת זאת, הכיוון ההפוך אינו נכון: החיתוך של האוסף $\{\{1,3\},\{3,2\},\{2,1\}\}$ הוא ריק, אך הקבוצות בו אינן זרות בזוגות, למעשה אין שום זוג קבוצות זרות באוסף.

חלוקה

ערך מורחב – חלוקה (תורת הקבוצות)

חלוקה של קבוצה היא פירוק של הקבוצה לאוסף של תת-קבוצות זרות שאיחודן הוא הקבוצה עצמה.

במילים אחרות, בהינתן קבוצה $X$, הקבוצות $A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}\subset X$ הן חלוקה של $X$, אם הן זרות בזוגות וכן: $\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=X$.

ראו גם

• תורת הקבוצות - מונחים

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא קבוצות זרות בוויקישיתוף

• קבוצות זרות, באתר MathWorld (באנגלית)