זהות אוילר

במתמטיקה זהות אוילר היא השוויון הבא:

$e^{i \pi} + 1 = 0 \,\!$

השוויון פורסם על ידי לאונרד אוילר בשנת 1748. בעזרת הזהות הוכח כי פאי הוא מספר טרנסצנדנטי תוך שימוש במשפט לינדמן.

יופי מתמטי

השוויון מקשר בין חמישה קבועים מתמטיים בסיסיים:

• e, בסיס הלוגריתם הטבעי.
• π, היחס בין היקף מעגל לבין קוטרו.
• i, היחידה המדומה, מקיים: $i^2 = -1 \;\!$.
• 1, איבר היחידה של כפל מספרים.
• 0, איבר האפס של חיבור מספרים.

עדות ליופי שרבים מייחסים לזהות ניתן לראות בכך שבמשאל קוראים שערך כתב העת "Physics World" בין קוראיו היא הגיעה למקום הראשון, יחד עם משוואות מקסוול‏.

הוכחה

אפשר להוכיח את הזהות על ידי הצבת $\ x=\pi$ בנוסחת אוילר $e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!$ (משום ש- $\ \cos(\pi)=-1$ ו- $\ \sin(\pi)=0$). משמעות ההוכחה היא שהפונקציה האנליטית המרוכבת היחידה $\ f(z)$, המקבלת את הערכים $\ e^z$ כאשר הארגומנט ממשי, מקבלת את הערך $\ -1$ בנקודה $\ z=i \pi$.

קישורים חיצוניים

• גדי אלכסנדרוביץ', נוסחת אוילר, ואיך היא קשורה למתנד הרמוני, באתר "לא מדויק"

הערות שוליים

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.