זהות אוילר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באנליזה מתמטית, זהות אוילר, הקרויה על שמו של המתמטיקאי השווייצרי הידוע לאונרד אוילר, היא השוויון הבא:

e^{i \pi} + 1 = 0 \,\!

כל איברי הזהות הם מספרים קבועים:

יופי מתמטי[עריכת קוד מקור | עריכה]

זהות אוילר נחשבת בעיני רבים כזהות יוצאת דופן בשל יופיה המתמטי. יופיה המתמטי נובע מהפעולות הבסיסיות שהיא משלבת בתוכה (חיבור, כפל והעלאה בחזקה) ומהקבועים המתמטיים הבסיסיים שהיא מקשרת ביניהם:

עדות ליופי שרבים מייחסים לזהות ניתן לראות בכך שבמשאל קוראים שערך כתב העת "Physics World" בין קוראיו היא הגיעה למקום הראשון, יחד עם משוואות מקסוול.‏[1]

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן להוכיח את הזהות על ידי הצבת \ x=\pi בנוסחת אוילר:

 e^{i\pi} = \cos \pi + i\sin \pi
e^{i\pi} = 0 -1
e^{i\pi}+1=0

כלומר, לאחר ההבנה כי הסינוס של פאי שווה לאפס, וכי הקוסינוס של פאי שווה למינוס אחת, מתקבלת זהות אוילר.

הכללות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מנוסחת אוילר נובע ששורשי היחידה מסדר n הם המספרים מהצורה e^{2\pi ik/n} לכל k=0,\ldots,n-1. סכום שורשי היחידה הוא תמיד 0:

\sum_{k=0}^{n-1} e^{2 \pi i k/n} = 0

טענה זו ניתן להוכיח בדרכים רבות, למשל דרך ההבחנה שסכום שורשי היחידה הוא המקדם של x^{n-1} בפולינום:

x^n-1=\prod_{k=0}^{n-1}(x-e^{2\pi ik/n})

הצבה של n=2 בסכום נותנת את זהות אוילר.

את נוסחת אוילר ניתן להכליל גם לקווטרניונים, אז מקבלים זהות אוילר מוכללת:

e^{(a_1i+a_2j+a_3k)\pi} + 1 = 0

לכל a_1,a_2,a_3 ממשיים המקיימים {a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2 = 1.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ גרדיאן, ובמקום השמיני: 2=1+1, באתר וואלה!, 11 באוקטובר 2004
P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.