זהות אוילר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה זהות אוילר היא המשוואה הבאה:

$e^{i \pi} + 1 = 0 \,\!$

המשוואה פורסמה על ידי לאונרד אוילר בשנת 1748. המשוואה מקשרת בין חמישה קבועים מתמטיים בסיסיים: המספרים 0 ו-1, e, שהוא בסיס הלוגריתם הטבעי, את i שהוא יחידה מרוכבת (מספר מרוכב המקיים את השוויון $i^2 = -1 \,\!$ ) את הקבוע פאי ( $π$ , היחס הקבוע בין היקף מעגל לבין קוטרו). עדות ליופי שרבים מייחסים למשוואה ניתן לראות בכך שבמשאל קוראים שערך כתב העת "Physics World" בין קוראיו היא הגיעה למקום הראשון, יחד עם משוואות מקסוול [1]. בעזרת המשפט הוכח כי פאי הוא מספר טרנסצנדנטי (ראו אי תלות אלגברית).

[עריכה] הוכחה

אפשר להוכיח את הזהות על ידי הצבת $\ x=\pi$ בנוסחת אוילר $e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!$ (משום ש- $\ \cos(\pi)=-1$ ו- $\ \sin(\pi)=0$ ). משמעות ההוכחה היא שהפונקציה האנליטית המרוכבת היחידה $\ f(z)$ , המקבלת את הערכים $\ e^z$ כאשר הארגומנט ממשי, מקבלת את הערך $\ -1$ בנקודה $\ z=i \pi$ .