משוואת ברנולי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

משוואת ברנולי היא משוואה בהידרודינמיקה ובאווירודינמיקה המתארת את צורת הזרימה של נוזל או גז ניוטוניים. המשוואה פותחה על ידי המתמטיקאי השווייצרי דניאל ברנולי.

בפשטות, העיקרון מאחורי הנוסחה, הידוע בשם עקרון ברנולי, קובע כי ככל שמהירות זרימתו של זורם (נוזל או גז) על גבי משטח גבוה יותר, הזורם יפעיל פחות לחץ על המשטח. העיקרון נובע למעשה מחוק שימור האנרגיה, מאחר שסכום האנרגיה הקינטית (שהיא פונקציה של מהירות הזרימה) והאנרגיה הפוטנציאלית הינו קבוע.

משוואת ברנולי קובעת כי

P+\rho gh+{{1 \over 2}}\rho v^2=\mbox{constant}.

כאשר:

  • P - הלחץ בנקודה,
  • \rho - צפיפות הזורם בנקודה,
  • g - תאוצת הכובד, ערכו בכדור הארץ הוא כ-9.81 מטר לשנייה בריבוע,
  • v - מהירות הזורם בנקודה,
  • h - גובה הזורם בנקודה (ביחס למישור ייחוס שנקבע מראש).

משמעותה של המשוואה היא כי בכל נקודה בזורם, סכום ערכי הפרמטרים P+\rho gh+{{1 \over 2}}\rho v^2 הוא קבוע. לצורך העניין, לו נבצע שתי מדידות בין הנקודות שהאינדקסים שלהן "1" ו-"2", אזי יתקבל:

P_1+\rho gh_1+{{1 \over 2}}\rho v_1^2=P_2+\rho gh_2+{{1 \over 2}}\rho v_2^2.

תוקף[עריכת קוד מקור | עריכה]

נוסחה זו נכונה במסגרת ההנחות הבאות:

  • הזורם איננו צמיג, כלומר: אין חיכוך פנימי ואין איבוד אנרגיה עקב חיכוך פנימי בין שכבות הנוזל.
  • הזרימה הנה זרימה לוחית יציבה.
  • הנוזל הנו אי-דחיס, כלומר: צפיפותו קבועה, אך לא בהכרח. כאשר הזורם המדובר הוא כן דחיס, ניתן להכליל את משוואת ברנולי באמצעות שימוש באנתלפיה תרמודינמית.
  • המשוואה תקפה לגבי קו הזרימה של הנוזל.

שימושים[עריכת קוד מקור | עריכה]

בתעופה[עריכת קוד מקור | עריכה]

עקרון ברנולי הוא למעשה העיקרון החשוב ביותר בהנדסה אווירונאוטית, מאחר שהוא העיקרון שמאפשר למטוס להתרומם מעל פני הקרקע: זרימת האוויר מעל כנף המטוס מהירה יותר מהזרימה מתחת לכנף, ובגלל הפרש המהירויות פועל על כנף המטוס יותר כוח בכיוון מעלה (שמפעיל האוויר מתחת לכנף) מאשר בכיוון מטה (שמפעיל האוויר מעל הכנף), ולכן המטוס מתרומם מהקרקע.

בשיט[עריכת קוד מקור | עריכה]

עקרון ברנולי הוא הבסיס לתפעול המפרשים המשולשים. על ידי יצירת זרם אוויר מהיר בין שני מפרשים משולשים, ניתן לנצל את עקרון ברנולי ולהניע ספינות מפרש בכיוונים שונים. השימוש במפרשים משולשים שיפר בצורה משמעותית את יכולת הניווט של ספינות, ואיפשר להן לשוט קרוב יותר לכיוון הרוח. החוק התאורטי קובע גבול של עד 45 מעלות אל הרוח, אם כי בעזרת חוקים נוספים ניתן לחדד אל הרוח גם יותר מכך.

הוכחת הנוסחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

משוואת ברנולי היא ביטוי לחוק שימור האנרגיה בנוזל אי-צמיג. ניתן להסיקה באמצעות חישוב האנרגיה והעבודה של הנוזל בכל נקודה בקו הזרימה (ראו הוכחה בהמשך). כמו כן, ניתן להסיק את הנוסחה באמצעות פורמליזם של מכניקה אנליטית על משוואות אוילר של זורם.

הוכחת הנוסחה אשר תובא להלן מתבססת על חוק שימור עבודה-אנרגיה הקובע כי עבודת הכוחות הלא משמרים שווה לשינוי בסכום האנרגיה הכוללת. בניסוח מתמטי:

\ W= \Delta E

כלומר:

\ W= \Delta E_k+ \Delta E_p.

במכניקה הניוטונית מוצג קשר זה בצורה הבאה:

 \vec F \cdot \Delta X= \Delta \left( {{1 \over 2}}mv^2 \right) +mg \Delta h

כאשר, בהקשר של זורמים שנפחם  \mathcal{V} הנעים מתנאי לחץ P1 לתנאי לחץ P2, העבודה היא W=(P_1-P_2) \mathcal{V}.

שרטוט המדגמים כמה מן הגדלים המופיעים בנוסחה.

הסבר לטענה האחרונה: לפי השרטוט נתן לראות כי הכח הפועל בכל נקודה הוא P \cdot A כאשר A הוא שטח החתך ו-P הוא הלחץ באותה הנקודה. האלמנט עובר בזמן נתון העתק של v \cdot \Delta t= \Delta S. כמוזכר למעלה, המכפלה של הכח בהעתק נותנת לנו את העבודה. במקרה זה: P \cdot A \cdot \Delta S. היות שמתקיים עבור כל אלמנט A \cdot \Delta S = \mathcal{V} והיות והעבודה נעשית במעבר מתנאי לחץ P1 לתנאי לחץ P2 ובניגוד לוקטור הזרימה, שווה העבודה ל- W=-(P_2-P_1) \mathcal{V}=(P_1-P_2) \mathcal{V}. כאשר לצינור אין צורה המתחלקת בבירור לצורות מנסריות (או בפרט: גליל), ניתן להגיע להצגה זו על ידי מיצוי: חלוקת הצינור לחלקים אינפיניטסימליים אשר צורת כל אחד מהם, בקירוב טוב מאוד, דמוית מנסרה.

ניתן לעשות שימוש בהגדרת הצפיפות כיחס בין מסת הגוף לנפחו – \rho = {{m \over \mathcal{V}}} – כדי להציג את השינויים האנרגטיים לפי הצורה \Delta E=\Delta E_k+ \Delta E_p ={{1 \over 2}}m(v_2^2-v_1^2)+mg(h_2-h_1)= {{1 \over 2}} \rho \mathcal{V}(v_2^2-v_1^2)+ \rho \mathcal{V}g \Delta h.
מכאן, מתקבלת הנוסחה: (P_1-P_2) \mathcal{V} = {{1 \over 2}} \rho \mathcal{V}(v_2^2-v_1^2)+ \rho \mathcal{V}g \Delta h.

אחרי צמצום ב-\mathcal{V} נקבל:

(P_1-P_2)  = {{1 \over 2}} \rho (v_2^2-v_1^2)+ \rho g \Delta h.

ניתן להציג נוסחה זו בצורה

P_1+\rho gh_1+{{1 \over 2}}\rho v_1^2=P_2+\rho gh_2+{{1 \over 2}}\rho v_2^2

או, באופן כללי:

P+\rho gh+{{1 \over 2}}\rho v^2=\mbox{constant}.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]