עקרון האיסור של פאולי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Gnome-edit-clear.svg ערך זה זקוק לעריכה: ייתכן שהערך סובל מפגמים טכניים כגון מיעוט קישורים פנימיים, סגנון טעון שיפור או צורך בהגהה, או שיש לעצב אותו.
אתם מוזמנים לסייע ולתקן את הבעיות, אך אנא אל תורידו את ההודעה כל עוד לא תוקן הדף. אם אתם סבורים כי אין בדף בעיה, ניתן לציין זאת בדף השיחה.

עקרון האיסור של פאולי הוא עיקרון פיזיקלי בתורת הקוונטים הקובע ששני פרמיונים לא יכולים להימצא באותו מצב קוונטי בו-זמנית. העיקרון נוסח על ידי וולפגנג פאולי בשנת 1925.

כיוון שהאלקטרונים הסובבים את גרעין האטום הם פרמיונים, עקרון האיסור של פאולי עוזר להבין את מבנה קליפות האלקטרונים באטום. קליפות אלה קובעות את תכונותיהם של היסודות הכימיים ואת מבנה הטבלה המחזורית. כמו כן מגדיר העיקרון את המושג של לחץ פרמי, כוח דחייה בין פרמיונים שמונע מהם להגיע לאותו מצב קוונטי, ובכך הוא מסייע להבין את המבנה ואת התכונות של ננסים לבנים ושל כוכבי נייטרונים.

ניסוח העקרון[עריכת קוד מקור | עריכה]

עקרון האיסור של פאולי מתייחס לפרמיונים בלבד (יש סוג נוסף של חלקיקים הנקראים בוזונים ואינם מקיימים את עקרון האיסור). לעיקרון יש שני ניסוחים (חזק וחלש):

  • ניסוח חלש - שני פרמיונים לא יכולים להימצא באותו מצב קוונטי.
  • ניסוח חזק - המצב שמתאר שני חלקיקים, או יותר, שהינם פרמיונים זהים, הוא מצב אנטי סימטרי להחלפה בין כל זוג חלקיקים במערכת.

הערה: הניסוח החזק הוא חלק ממשפט הספין סטטיסטיקה

מערכת רבת חלקיקים ועקרון הסימטריה[עריכת קוד מקור | עריכה]

חלקיקים זהים הם חלקיקים שלא ניתן להבדיל ביניהם, כגון אלקטרונים, בפיזיקה מניחים שכל אלקטרון ביקום זהה. נרצה לתאר מצב של מערכת רבת חלקיקים זהים בתורת הקוונטים, מצב של מערכת בעלת חלקיק בודד תיארנו על ידי מצב עצמי, (בייצוג המקום מצב זה הוא פונקציית גל שמתארת את אמפליטודת ההסתברות של החלקיק להימצא במקומות שונים במרחב). הרבה פעמים נוח להסתכל על פונקציה שהיא פתרון של ההמילטוניאן שמתאר את הבעיה. פונקציית גל שהיא מכפלה של פונקציות גל חד חלקיקיות היא פתרון להמילטוניאן רב חלקיקי, אך פתרון זה לא בהכרח פיזקלי. כדי להבין מדוע נסתכל על מערכת ובה שני חלקיקים זהים בקופסה (אטום הליום לדוגמה), לפי כל הידוע לנו ממכניקה קלאסית בהינתן תנאי התחלה (ובהנחה שתייגנו את החלקיקים לדוגמה: חלקיק 1 וחלקיק 2) ניתן לעקוב אחרי החלקיקים ולקבוע בכל זמן היכן ממוקם כל אחד מהם. (הנחה זו מדגישה את הדיטרמינזם של המכניקה הקלאסית).

בתורת הקוונטים יש לכל אחד מהחלקיקים הסתברות מסוימת להמצא בכל נקודה בקופסה (כלומר המיקום שלהם איננו דבר מוגדר), קרי אין משמעות למי אנחנו קוראים חלקיק 1 ולמי 2, החשיבות היא שיש שני חלקיקים, ולכן אנחנו מסיקים כי מתחייב שכל החלפה בין החלקיקים לא תשפיע על הגדלים הפיסקאליים המאפיינים את המערכת.

לכן אנחנו מחפשים את המצבים העצמיים של ההמילטוניאן כך שכל גודל פיזיקלי (כלומר ערך תצפית) שלהם לא יושפע מהחלפה בין החלקיקים.

עיקרון זה הוא אחת מהנחות היסוד של תורת הקוונטים - הנחת הסימטריות. ההנחה אומרת כי לא כל פונקציית גל שמספקת את ההמילטוניאן של המערכת יכולה לתאר אותה אלא רק פונקציות גל בעלות סימטריה מוגדרת להחלפה בין החלקיקים (סימטריות או אנטי סימטריות).

בפיזיקה מפרידים את כל החלקיקים לשתי קבוצות:

  • החלקיקים שניתנים לתאור על ידי פונקציות גל סימטריות נקראים בוזונים
  • החלקיקים שניתנים לתאור על ידי פונקציות גל אנטי סימטריות נקראים פרמיונים

חשיבות המינוח היא רק במערכת רבת חלקיקים.

נחזור לדוגמת שני החלקיקים בקופסה, אלו פונקציות גל הן בעלות סימטריה מוגדרת להחלפה בין החלקיקים?

1. פונקציית גל סימטרית - |\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \Big( |\psi_1\rangle|\psi_2\rangle + |\psi_2\rangle|\psi_1\rangle \Big)

2. פונקציית גל אנטי סימטרית - |\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \Big( |\psi_1\rangle|\psi_2\rangle - |\psi_2\rangle|\psi_1\rangle \Big)

הפונקציות הנ"ל הן פתרון להמילטוניאן נתון אם \left|\psi_1\right\rangle ו- \left|\psi_2\right\rangle פתרונות, וכל ערך מדיד (ערך תצפית) איננו מושפע מחילוף בין החלקיקים, לכן זוהי הצורה של הפונקציות העצמיות של מערכת רבת חלקיקים.

פאולי קבע (הניסוח החזק) כי לפרמיונים יש פונקציית גל אנטי סימטרית, מהסתכלות על משוואה 2 ניתן להבין את הקשר לניסוח החלש שכן אם נציב במשוואה זו שתי פונקציות גל זהות (כלומר שני החלקיקים 1 ו- 2 בעלי אותו מצב קוונטי) אז פונקציית הגל הכוללת תתאפס, ומכאן כלל האיסור - שני פרמיונים לא יכולים להיות באותו מצב קוונטי.

אנטי סימטריזציה של מצבים[עריכת קוד מקור | עריכה]

כדי לייצג מערכת רבת חלקיקים פרמיונים בצורה נכונה צריך מצב אנטי סימטרי. בסעיף קודם למדנו איך לבנות מצבים סימטריים ואנטי סימטריים במערכת בעלת שני חלקיקים (כדי לקבל אינטואיציה), איך נעשה זאת באופן כללי עבור N חלקיקים? אז נניח שמצאנו את המצבים העצמיים של ההמילטוניאן של N החלקיקים שניתנים לרישום באופן הבא:

|n_1,n_2,...,n_N\rangle

נגדיר את \ p כפרמוטציה מסוימת של סדרת המספרים הקוונטיים  \  n_i , אז אופרטור השחלוף של אותה פרמוטציה \hat P_p פועל על המצב באופן הבא:

\hat P_p|n_1,n_2,...,n_N\rangle=|n_{p_1},n_{p_2},...,n_{p_N}\rangle


אם נגדיר את קבוצת כל הפרמוטציות האפשריות של סדרת המספרים \ n_i כ- \ S_N אז נוכל להגדיר אופרטור אנטיסימטריזציה באופן הבא:

\hat A = {1\over \sqrt N!}\sum_{p \in S_N}\sgn(p) \hat P_p

בעזרת אופרטור זה נוכל לקבל מצב עצמי של ההמילטוניאן שהינו אנטי סימטרי:

\hat A|n_1,n_2,...,n_N\rangle

מצב זה הינו מצב עצמי פיזקאלי - כיוון שהוא יכול לתאר מערכת פיזיקאלית של פרמיונים, הוא אנטי סימטרי...


הערות:

  • הפעלה של אופרטור האנטי סימטריזציה על מצב מייצרת סכום של מצבים שנקרא דטרמיננטת סלייטר, כלומר דטרמיננטה של מטריצה בה יש את כל האורביטלות.
  • הספין במקרה זה נצמד לקורדינאטת המיקום, כך שכדי לקבל את התוצאה מסעיף קודם (עבור שני חלקיקים) צריך סכום של דיטרמיננטות סלייטר.
  • אופרטור האנטי סימטריזציה הוא הרמיטי.

כוחות חילוף[עריכת קוד מקור | עריכה]

עכשיו אחרי שראינו את המבנה הבסיסי של פונקציית גל במערכת רבת חלקיקים זהים נוכל להבין את תופעת כוחות החילוף, כידוע על מנת לתאר מערכת קוונטית אנחנו זקוקים למכפלה של פונקציית גל מהמרחב הרגיל בפונקציית גל ממרחב הספין.

בהתאם לניסוח החזק של עקרון האיסור, עבור שני פרמיונים (אלקטרונים באטום הליום לדוגמה) עלינו לבחור פונקציית גל אנטי סימטרית, פונקציית גל אנטי סימטרית תהיה מכפלה של פונקציית גל סימטרית באנטי סימטרית (פונקציית גל סימטרית מהמרחב הרגיל בפונקציית גל אנטי סימטרית ממרחב הספין או להפך).

כדי להבין את התופעה באופן איכותי נניח שפונקציות הגל המרחביות של חלקיקים 1 ו- 2 יחסית דומות (כלומר באותן קורדינאטות מרחביות הן נותנות ערכים דומים)

אם פונקציית הגל ממרחב הספין אנטי סימטרית (מהצורה של משוואה 2) אז פונקציית הגל המרחבית היא סימטרית (מהצורה של משוואה 1), אז פונקציית הצפיפות של ההסתברות המרחבית מקבלת בקירוב ערך גדול פי שניים כאשר האלקטרונים מתקרבים זה לזה, קרי החפיפה המרחבית ביניהם גדולה, עבור אלקטרונים (הדוחים זה את זה) חפיפה זו מעלה את האנרגיה, לכן למצב זה אנרגיה גבוהה יותר.

אם פונקציית הגל ממרחב הספין סימטרית אז פונקציית הגל המרחבית אנטי סימטרית, ובאותו אופן באזורים קרובים זה לזה פונקציית הצפיפות של הפרמיונים שואפת לאפס, זה כמובן מצב עדיף, האלקטרונים הדוחים זה את זה מעדיפים "להיפגש" כמה שפחות.

הערה: ההסבר הנ"ל הינו "נפנוף ידיים", כוחות החילוף יכולים לגרום למצב אנטי סימטרי מרחבי להיות עדיף אנרגטית או למצב סימטרי הכל כתלות בפרמטרים של הבעיה (קרי ההמילטוניאן)‏‏‏[1].

כך קיבלנו כוחות בין החלקיקים הנובעים מעקרון האיסור, כוחות חילוף, בעזרת כוחות אלו ניתן לדוגמה להבין את תופעת הפרומגנטיזם (מודל אייזינג).

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ להרחבה בנושא ראו: ‏Quantum Mechanics (Non-relativistic Theory) by Landau & Lifshitz (vol.3) 3rd Ed. QC174.12L3513 1976 530.12 page 228 section 62