התפלגות בוז-איינשטיין

התפלגות בוז-איינשטיין היא פונקציית התפלגות סטטיסטית שבעזרתה ניתן לתאר תכונות של בוזונים (חלקיקים בעלי ספין שלם) זהים חסרי אינטראקציה. ההתפלגות קרויה על שם הפיזיקאי ההודי סאטינדרה נאת בוז, שפיתח אותה ב-1920 עבור פוטונים, ועל שם אלברט איינשטיין, שהכליל אותה עבור אטומים ב-1924.

באופן מפורש, האכלוס הממוצע של רמת אנרגיה מסוימת במערכת של בוזונים זהים הנמצאת בשיווי משקל תרמודינמי הוא

$n_{i} = \frac{g_{i}}{e^{(\epsilon_i-\mu) / k_B T} - 1}$.

כאן

• $\ n_{i}$ הוא המספר הממוצע של חלקיקים שימצאו במצב ה-$\ {i}$.
• $\ g_{i}$ היא דרגת הניוון של המצב ה-$\ {i}$.
• $\ \epsilon_{i}$ היא האנרגיה של המצב ה-$\ {i}$.
• $\ \mu$ הוא הפוטנציאל הכימי.
• $\ T$ היא הטמפרטורה.
• $\ k_B$ הוא קבוע בולצמן.

הבוזונים הם חלקיקים בעלי פונקציית גל סימטרית. בניגוד לפרמיונים, המצייתים לעקרון פאולי ולהתפלגות פרמי-דיראק, הבוזונים יכולים להמצא באותו מקום ובאותו מצב שבו נמצאים חלקיקים זהים נוספים.

בשימוש בהתפלגות בוז-איינשטיין, ותוך ידיעת צפיפות המצבים $\ g(\epsilon)$, ניתן לחשב תכונות תרמודינמיות שונות של המערכת. לדוגמה, האנרגיה הממוצעת נתונה על ידי:

$\ U = \int \epsilon g(\epsilon) n_{BE}(\epsilon) d\epsilon$

פיתוח

את התפלגות בוז-איינשטיין ניתן לקבל בקלות על ידי שימוש בצבר הגרנד קנוני. במסגרת צבר זה, ההסתברות למציאת מערכת במצב i עם $\ N_i$ חלקיקים ואנרגיה כוללת $\ E_i$ נתונה על ידי $P_i = \frac{1}{\mathcal{Z}}e^{- \frac{(E_i-\mu N_i)}{k_BT}}$, כאשר $\mathcal{Z}=\sum_{i}e^{- \frac{(E_i-\mu N_i)}{k_BT}}$ היא פונקציית החלוקה הגרנד-קנונית.

ניקח כמערכת רמת אנרגיה (חד-חלקיקית) מסוימת $\epsilon$. אם אין אינטראקציה בין החלקיקים $\ E_i = n\epsilon$ כאשר $\ n=N_i$ הוא מספר החלקיקים הנמצאים ברמה זו. כאשר מדובר בבוזונים אין הגבלה על ערכי n כלומר $\ n=0,1,\dots$. פונקציית החלוקה במקרה זה תהיה $\mathcal{Z}=\sum_n e^{-\beta(\epsilon-\mu)n}=\frac{1}{1-e^{-(\epsilon-\mu)}}$. מכאן ניתן לקבל את מספר החלקיקים הממוצע על ידי שימוש ב-$\lang n \rang = -\frac{\partial\Omega}{\partial\mu}$ כאשר $\Omega = -k_B T\ln\mathcal{Z}$.

ראו גם

• עיבוי בוז-איינשטיין

ערך זה הוא קצרמר בנושא פיזיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.