התפלגות בוז-איינשטיין

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

התפלגות בוז-איינשטיין (או סטטיסטיקת בוז-איינשטיין) היא פונקציית התפלגות סטטיסטית שבעזרתה ניתן לתאר תכונות של בוזונים (חלקיקים בעלי ספין שלם) זהים חסרי אינטראקציה. ההתפלגות קרויה על שם הפיזיקאי ההודי סאטינדרה נאת בוז, שפיתח אותה ב-1920 עבור פוטונים, ועל שם אלברט איינשטיין, שהכליל אותה עבור אטומים ב-1924.

באופן מפורש, האכלוס הממוצע של רמת אנרגיה מסוימת במערכת של בוזונים זהים הנמצאת בשיווי משקל תרמודינמי הוא

 n_{i} = \frac{g_{i}}{e^{(\epsilon_i-\mu) / k_B T} - 1} .

כאן

הבוזונים הם חלקיקים בעלי פונקציית גל סימטרית. בניגוד לפרמיונים, המצייתים לעקרון פאולי ולהתפלגות פרמי-דיראק, הבוזונים יכולים להמצא באותו מקום ובאותו מצב שבו נמצאים חלקיקים זהים נוספים.

בשימוש בהתפלגות בוז-איינשטיין, ותוך ידיעת צפיפות המצבים \ g(\epsilon), ניתן לחשב תכונות תרמודינמיות שונות של המערכת. לדוגמה, האנרגיה הממוצעת נתונה על ידי:

\ U = \int \epsilon g(\epsilon) n_{BE}(\epsilon) d\epsilon

פיתוח[עריכת קוד מקור | עריכה]

את התפלגות בוז-איינשטיין ניתן לקבל בקלות על ידי שימוש בצבר הגרנד קנוני. במסגרת צבר זה, ההסתברות למציאת מערכת במצב i עם \ N_i חלקיקים ואנרגיה כוללת \ E_i נתונה על ידי  P_i = \frac{1}{\mathcal{Z}}e^{- \frac{(E_i-\mu N_i)}{k_BT}}, כאשר \mathcal{Z}=\sum_{i}e^{- \frac{(E_i-\mu N_i)}{k_BT}} היא פונקציית החלוקה הגרנד-קנונית.

ניקח כמערכת רמת אנרגיה (חד-חלקיקית) מסוימת \epsilon. אם אין אינטראקציה בין החלקיקים \ E_i = n\epsilon כאשר \ n=N_i הוא מספר החלקיקים הנמצאים ברמה זו. כאשר מדובר בבוזונים אין הגבלה על ערכי n כלומר \ n=0,1,\dots. פונקציית החלוקה במקרה זה תהיה \mathcal{Z}=\sum_n e^{-\beta(\epsilon-\mu)n}=\frac{1}{1-e^{-\beta(\epsilon-\mu)}}. מכאן ניתן לקבל את מספר החלקיקים הממוצע על ידי שימוש ב- \lang n \rang = -\frac{\partial\Omega}{\partial\mu} כאשר \Omega = -k_B T\ln\mathcal{Z} .

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]



P physics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא פיזיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.