התפלגות פרמי-דיראק

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
התפלגות פרמי-דיראק משורטטת עבור טמפרטורות שונות. ככל שהטמפרטורה נמוכה יותר כך ההתפלגות קרובה יותר לפונקציית מדרגה.

התפלגות פרמי-דיראק (או סטטיסטיקת פרמי-דיראק) הינה פונקציית התפלגות סטטיסטית בעזרתה ניתן לתאר תכונות של חלקיקים פרמיונים זהים חסרי אינטראקציה. ההתפלגות קרויה על שם הפיזיקאים אנריקו פרמי ופול דיראק.

באופן מפורש, האכלוס הממוצע של רמת אנרגיה מסוימת במערכת של פרמיונים זהים הנמצאת בשיווי משקל תרמודינמי נתון על ידי הפונקציה הבאה:

 n_{FD}(\epsilon) = \frac{1}{e^{(\epsilon-\mu) / k_B T} + 1}

כאשר:

בעזרת פונקציה זו, ובעזרת צפיפות המצבים \ g(\epsilon), ניתן לחשב תכונות תרמודינמיות שונות של המערכת. לדוגמה, האנרגיה הממוצעת נתונה על ידי:

\ U = \int \epsilon  g(\epsilon) n_{FD}(\epsilon) d\epsilon

פיתוח[עריכת קוד מקור | עריכה]

את התפלגות פרמי-דיראק ניתן לקבל בקלות על ידי שימוש בצבר הגרנד קנוני. במסגרת צבר זה, ההסתברות למציאת מערכת במצב i עם \ N_i חלקיקים ואנרגיה כוללת \ E_i נתונה על ידי  P_i = \frac{1}{\mathcal{Z}}e^{- \frac{(E_i-\mu N_i)}{k_BT}}, כאשר \mathcal{Z}=\sum_{i}e^{- \frac{(E_i-\mu N_i)}{k_BT}} היא פונקציית החלוקה הגרנד-קנונית.

ניקח כמערכת רמת אנרגיה (חד-חלקיקית) מסוימת \epsilon. אם אין אינטראקציה בין החלקיקים \ E_i = n\epsilon כאשר \ n=N_i הוא מספר החלקיקים הנמצאים ברמה זו. אם מדובר בפרמיונים, בגלל עקרון האיסור של פאולי ייתכן רק \ n=0,1. פונקציית החלוקה במקרה זה תהיה \mathcal{Z}=1+e^{-\frac{(\epsilon-\mu)}{k_BT}}. מכאן ניתן לקבל את מספר החלקיקים הממוצע על ידי שימוש ב \lang n \rang = \sum_{n} n P(n) , או על ידי  \lang n \rang = -\frac{\partial\Omega}{\partial\mu} כאשר \Omega = -k_B T\ln\mathcal{Z} .

תכונות ההתפלגות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • מתקיים \ n_{FD}(\epsilon) \leq 1 . דבר זה מבטא את עקרון האיסור של פאולי - שני פרמיונים זהים לא יכולים להיות באותו מצב. בפרט המספר הממוצע של פרמיונים בכל מצב קטן (או שווה) מאחד.
  • בגבול של טמפרטורה נמוכה ( \ T \to 0) התפלגות פרמי-דיראק שואפת לפונקציית מדרגה, בה כל הרמות בעלות אנרגיה \ \epsilon < \mu=\epsilon_F מאוכלסות, ואילו כל הרמות בעלות אנרגיה \ \epsilon > \mu=\epsilon_F אינן מאוכלסות. האנרגיה המקסימלית של המצבים המאוכלסים מסומנת \ \epsilon_F ונקראת אנרגיית פרמי.