שיחת משתמש:עוזי ו./בטיפול

וזאת למודעי. דפים אלו נכתבו על פי תנאי השימוש, וב"הסכמה בלתי־חוזרת לשחרור המידע" בכפוף לרישיונות כהנה וכהנה. כך כתוב במפורש במורד הדף. ואף על פי כן, אלו רשימות פרטיות, שנכתבו בשפת רמזים הידועה ליודעי ח"ן, ואף זה בדוחק; ונמצא כל המעתיק מכאן בלא בדיקה, שם נפשו בכפו ותולה את אמינותו על קרן הצבי.

(לטיפול)

ויקיפדיה:כתיבת ערך מתמטי

ויקיפדיה:מאמרים שנערכו מעט/מתמטיקה

הגרסה החלשה של השערת גולדבך לפי Vinogradov -- טופל.

מידה משותפת

כרגע הערך במצב מביש, אבל ממבט בערך האנגלי אני מקבל את הרושם שיש על מה לכתוב ושזה יכול להיות די מעניין. אפשר גם להרחיב קצת עם ההיסטוריה של המושג והקשר שלו לתגלית הידועה של הפיתגוראים. לרוע המזל, אני לא מבין מספיק בתחום כדי לעשות את זה בעצמי. גדי אלכסנדרוביץ' 16:59, 4 מרץ 2006 (UTC)

טופל. עוזי ו. 19:33, 16 באוגוסט 2007 (IDT)

בקשה

הערך מספר קונגרואנטי עומד בקצרמרותו מזה זמן רב. האם תוכל לפרט בו על משפט טאנל ולקשר אותו להשערת בירץ' וסווינרטון-דייר? אני מכיר את הנושא אך לא מספיק כדי שאוכל לכתוב עליו. גדי אלכסנדרוביץ' 23:58, 28 יוני 2006 (IDT)

מתמטיקה

שלום עוזי, האם אתה מציץ מדי פעם בזה? הוספתי שורה נוספת לטיפולך, שתורחב עם הזמן. בברכה, דורית 23:33, 11 יולי 2006 (IDT)

תיבת אוצרות

(טיוטות, רמזים והערות; אין לסמוך הלכה למעשה ללא עיון).

אלגברה

חוגים

חוגים קומוטטיביים

חוג שלמים, סגור שלם. חוג השלמים של השדה הציקלוטומי מסדר $\ p^{n}$ הוא $\ \mathbb {Z} [\rho _{p^{n}}]$.

תחום נורמלי (integrally closed).

הרחבת גלואה S/R היא G-גלואה אם המכפלה המשולבת הטריוויאלית $\ \Delta (S/R,G)$ היא אזומיה; שקול לכך שהיא איזומורפית ל- $\ End_{R}(S)$ דרך הפעולה משמאל של S על עצמו והפעולה של G. לדוגמא, אם G פועלת על אינדקסים, $\ R^{n}$ הוא G-גלואה מעל R אם ורק אם הפעולה טרנזיטיבית.

הרחבה שלמה (של חוגים) - להעביר לשם את משפטי כהן-סיידנברג.

חוג פולינומים - $\operatorname {Aut} (F[x,y])$ היא amalgamated product של אוטו' אפיניים עם אוט' שפועלים לינארית על x, מעל החיתוך (Warren Dicks, 1983).

אלגברות לא קומוטטיביות

אלגברת קליפורד.

אלגברת דיראק היא אלגברת קליפורד של התבנית הריבועית +--- מעל R; נוצרת על-ידי ארבע מטריצות דיראק e_i, ואיזומורפית ל- M_2(H). החלק הזוגי, הנוצר על-ידי שלוש מטריצות פאולי $\ \sigma _{i}=e_{1}e_{i}$, איזומורפי ל- M_2(C), ומרכזו $\mathbb {C} =\mathbb {R} [e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}]$. מטריצות פאולי מקיימות גם $\ \sigma _{1}\sigma _{2}=i\sigma _{3}$.

אלגברה מונומיאלית. Trichotomy for finitely generated monomial algebras (2014): כל אלגברה מונומיאלית ראשונית שהיא פרימיטיבית למחצה, שאינה פרימיטיבית, היא PI. Baidar: רדיקל ג'ייקובסון הוא נילפוטנטי מקומית.

יריעת בראוור-סברי. מוגדרת לכל אלגברה פשוטה מרכזית A. עבור אלגברות מאותו ממד: A איזומורפית ל-B (אם ורק אם היריעות SB(A),SB(B) איזומורפיות); ==> A איזומורפית ל-B או ל-op(B) (אם ורק אם תבניות הנורמה מגדריות יריעות איזומורפיות); ==> יריעות בראוור-סברי הן בי-רציונליות (אם ורק אם לאלגברות אותו שדה פיצול גנרי); ==> האלגברות יוצרות אותה תת-חבורה בחבורת בראוור; ==> לאלגברות אותם שדות פיצול; ==> לאלגברות אותם שדות פיצול סופיים. הכיוון ההפוך "אותם ש"פ --> אותו ש"פ גנרי" אינו ידוע.

מכפלה משולבת. תהי G חבורה של אוטומורפיזמים של האלגברה A. אז A \otimes k[G] עם הכפל (a \otimes g)(a' \otimes g') = (a g(a')) \otimes gg' נקרא מכפלה משולבת. השווה לנאמר באלגברה מדורגת, וכמובן למקרה שבו A שדה ו-G סופית ו-A^G=k.

חוגים לא קומוטטיביים

extended centroid - המרכז Z של חוג השברים המקסימלי של A; מכיל את המרכז של A.

נגזרת (אלגברה). גזירה פנימית ($\ \delta (x)=ax-xa$); גזירה $\ \delta (xy)=x\delta (y)+\delta (x)y$); גזירת-ז'ורדן $\ \delta (x^{2})=x\delta (x)+\delta (x)x$, ולכן $\ \delta (xy+yx)=...$, ו- $\ \delta (xyx)=xy\delta (x)+x\delta (y)x+\delta (x)yx$; גזירה מקומית (=כל ערך שלה מתלכד עם זה של גזירה כלשהי). אוסף הגזירות של אלגברה אסוציאטיבית הוא אלגברת לי. גזירה וגזירה פנימית של אלגברת לי; אוסף הגזירות של אלגברת לי הוא אלגברת לי. השיכון של L/Cent ל- (D(L. (Zassenhaus) במאפיין אפס, כל נגזרת של אלגברת לי פשוטה למחצה מממד סופי היא פנימית.

ממד גלפנד-קירילוב. מיון של אלגברות מדורגות ממימד 2 על-ידי M.Artin-Stafford, במונחי מידע גאומטרי.

השערת קתה (Koethe). $\ {\overline {N}}(R)=Nil(R)$ (אם אין אידיאל נילי, גם אין אידיאל שמאלי נילי). גרסאות שקולות: סכום שני אידיאלים שמאליים ניליים הוא נילי; מטריצות 2x2 מעל חוג נילי הן חוג נילי; כנ"ל לכל n; סכום של תת-חוג נילי ותת-חוג נילפוטנטי הוא נילי; אם R נילי אז J(R[x])=R[x]; אם R נילי אז R[x] אינו פרימיטיבי; אם $\ J(R[x])=0$ אז הרדיקל הנילי העליון של R הוא אפס. (ההשערה נכונה לאלגברות מעל שדה שאינו בן מניה).

רדיקל של מודול. חיתוך תת-המודולים המקסימליים; rad(R)=Jac(R), ומתקיים $\ Jac(R)M\subseteq rad(M)$. דואלי לסוקל, שהוא סכום תת-המודולים המינימליים (M=socM אם ורק אם M פשוט למחצה).

ניליות. נילפוטנטי; נילפוטנטי מקומית; נילי מאינדקס סופי; נילי; כל אידיאל נילי הוא קוואזי-הפיך.

המשפט הראשי של ודרברן (Wedderburn's principal theorem) לאלגברות מממד סופי מעל שדה. תהי A כנ"ל ו-J הרדיקל שלה (אידיאל נילי מקסימלי = אידיאל נילפוטנטי מקסימלי). אם A/J ספרבילית, אז $\ A=S\oplus J$ עבור תת-אלגברה פשוטה-למחצה S. תקף עבור אלגברות אסוציאטיביות, אלטרנטיביות, וז'ורדן ממאפיין לא 2; מאידך, יש דוגמאות נגדיות שהן אלגברות ז'ורדן לא קומוטטיביות (הזהות $\ x(yx)=(xy)x$ מחליפה את הקומוטטיביות). [Schafer, בעיקר פרק III.6]. באלגברות אלטרנטיביות ממאפיין שאינו 2 או 3, S יחידה עד-כדי אוטומורפיזם פנימי.

אלגברת הופף: כל אלגברת הופף מממד סופי היא אלגברת פרובניוס (Sweedler-Larson).

תנאי קומוטטיביות (Herstein). למשל, אם D חוג חילוק ממאפיין לא 2, אז $\ [a,[a,D]]=0$ אם ורק אם $\ [a,D]=0$.

אלגברה עם זהויות פולינומיאליות. Wagner (1936( הראה שמטריצות מעל שדה מקיימות זהות; יש זהות קפלי טריוויאלית לזה. זהויות אינן מספיקות בתורת ההצגות: יש מנות של תת-אלגברות של M_n(C) שאין להן הצגה נאמנה (שיקולי ספירה). את הזהות המרכזית של M_2)F( מצא Philip Hall (1943). תורת מבנה: Kaplansky 1948 (פרימיטיבי PI הוא פשוט ארטיני מממד סופי מעל המרכז שלו), Posner (מיקום מרכזי של ראשוני PI הוא פשוט ארטיני ולכן בר-הצגה), עמיצור (בראשוני-למחצה PI אין אידיאלים חד-צדדיים ניליים, ו-A[x] הוא פרימיטיבי למחצה), רואן (כל אידיאל חותך את המרכז, ובפרט אם המרכז שדה האלגברה פשוטה). דרגת הזהות המינימלית למטריצות (עמיצור-לויצקי). חוג מקיים זהות סטנדרטית אם ורק אם הוא מקיים זהות קפלי. כל חוג PI מקיים חזקה של זהות סטנדרטית, וכן את כל הזהויות של M_n(G) ל-n מתאים. זהות מרכזית מינימלית למטריצות - משערים ש-(n^2+3n-2)/2. יריעות של אלגברות. אלגברת גרסמן אינה מקיימת זהות קפלי. (קמר) לאלגברה המקיימת זהות קפלי יש הזהויות של אלגברה מממד סופי. (השערת Specht. יש דוגמאות של חבורה למחצה עם בסיס סופי לזהויות כך שלמונויד המתאים אין בסיס כזה, ולהיפך).

אלגברת פרובניוס. במאפיין אפס ומעל שדה אינסופי, אלגברה מממד סופי היא פרובניוס אם ורק אם יש לה מספר סופי של אידיאלים שמאליים מינימליים.

מודול אינג'קטיבי. דואליות לפרוייקטיביות. מודול מעל Z הוא אינג'קטיבי אם ורק אם הוא חליק. כל מודול ניתן לשיכון במודול אינג'קטיבי (ואפילו כתת-מודול גדול; זהו ה- injective hull). קריטריון Baer: המודול השמאלי E הוא אינג'קטיבי מעל R אם ורק אם כל הומומורפיזם של אידיאל שמאלי L של R ל-E מושרה על-ידי הומומורפיזם של R.

מימד גלובלי. המימד הגלובלי (השמאלי) הוא המימד הפרוייקטיבי המקסימלי האפשרי למודול (שמאלי) מעל החוג (או אינסוף); המימד הפרוייקטיבי של M הוא אורכה של הרזולוציה הפרוייקטיבית הקצרה ביותר (מימד 0 אם"ם המודול פרוייקטיבי). לכן: המימד הגלובלי 0 אם"ם החוג פשוט למחצה; 0 או 1 לכל PLID; ו- $\ gl-dimR[x]=gl-dimR+1$. זהו גם האורך המקסימלי האפשרי של הרזולוציה האינג'קטיבית של מודולים מעל R.

תת-מודול קטן. תת-מודול של M הוא קטן אם הסכום שלו עם כל תת-מודול אמיתי של M מוכל ממש ב-M; לדוגמא, לפי הלמה של נאקאימה, $\ J(R)M$ הוא תת-מודול קטן של M, ואידיאל שמאלי הוא תת-מודול קטן של R אם ורק אם הוא מוכל ברדיקל של ג'ייקובסון. לכן הרדיקל של ג'ייקובסון הוא תת-מודול קטן מקסימלי של R.

חוג ראשוני. דוגמא מעניינת - תת-חוגים מלאים של אלגברות פשוטות (היינו FR=A). להוסיף התוצאה של ברגמן (LNM 545) שמכפלה טנזורית של אלגברות ראשוניות מעל שדה סגור אלגברית היא ראשונית.

קטגוריה אדיטיבית (הקטגוריה עם אובייקט יחיד ואברי חוג כמורפיזמים היא אדיטיבית; אבל לא תמיד אבלית).

תנאי אור (Ore's condition) - מבטיח קיום חוג שברים (כך גם במונוידים).

חוג מטריצות - סריגי האידיאלים של R ושל M_n(R) איזומורפיים. קטגוריות המודולים שקולות. $\ Z(M_{n}(R))=Z(R)I+M_{n}(Ann(R))$ כאשר $\ Ann(R)$ המאפס הדו-צדדי.

חוג פשוט - אם ורק אם כל מודול (שונה מאפס) הוא נאמן. גם מטריצות מעל R הן פשוט. פשוט ארטיני=מטריצות מעל חוג חילוק.

סדר (תורת החוגים) - משפט Faith-Utumi: כאשר D חוג חילוק, כל סדר ימני של M_n(D) מכיל צמוד של M_n(L) עבור סדר ימני L של D.

הפונקטור Ext. אפשר לזהות Ext_R^n(M,N( עם סדרות מדוייקות $\ 0\rightarrow N\rightarrow X_{n}\rightarrow \cdots \rightarrow X_{1}\rightarrow M\rightarrow 0$ (מודולו יחס שקילות מסויים, עם פעולת חיבור מתאימה). מוגדרת מכפלת Yoneda, $\ Ext_{R}^{n}(M,N)\times Ext_{R}^{m}(L,M)\rightarrow Ext_{R}^{n+m}(L,N)$, ההופכת את $\ Ext_{R}^{*}(M,M)$ לחוג מדורג.

בפרט, Ext^1(A,B) הוא אוסף ההרחבות $0\longrightarrow A\longrightarrow E\longrightarrow B\longrightarrow 0$, מודולו שקילות (שגוררת איזומורפיזם), ההופכת לחבורה אבלית על-ידי Baer's sum. תכונה עיקרית: Ext^1(A,B)=0 אם ורק אם ההרחבה היחידה היא הטריוויאלית (=סכום ישר). Ext^1(A,-)=0 אם ורק אם A פרוייקטיבי, ו-Ext^1(-,B)=0 אם ורק אם B אינג'קטיבי. לכן Ext^1=0 אם ורק אם החוג פשוט למחצה.

הקשר לסכום ישר מכפלה ישרה: $\ \operatorname {Ext} _{R}^{n}(\bigoplus M_{i},N)=\prod \operatorname {Ext} _{R}^{n}(M_{i},N)$; $\ \operatorname {Ext} _{R}^{n}(M,\prod N_{i})=\prod \operatorname {Ext} _{R}^{n}(M,N_{i})$.

אם $\ 0\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow 0$ אז יש סדרות מדויקות ארוכות $\ 0\rightarrow Hom_{R}(M,A)\rightarrow Hom_{R}(M,B)\rightarrow Hom_{R}(M,C)\rightarrow Ext^{1}(M,A)\rightarrow Ext^{1}(M,B)\rightarrow Ext^{1}(M,C)\rightarrow Ext^{2}(M,A)\rightarrow Ext^{2}(M,B)\rightarrow Ext^{2}(M,C)\rightarrow \cdots$ ו- $\ 0\rightarrow Hom_{R}(C,N)\rightarrow Hom_{R}(B,N)\rightarrow Hom_{R}(A,N)\rightarrow Ext^{1}(C,N)\rightarrow Ext^{1}(B,N)\rightarrow Ext^{1}(A,N)\rightarrow Ext^{2}(C,N)\rightarrow Ext^{2}(B,N)\rightarrow Ext^{2}(A,N)\rightarrow \cdots$.

הקשר ל-Tor הוא ש-$\ Ext^{1}(A,Hom_{R}(B,E))=Hom_{R}(Tor_{1}^{R}(A,B),E)$ לכל A,B ולכל E אינז'קטיבי.

הפונקטור Tor. אם $\ 0\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow 0$ אז יש סדרה מדויקת ארוכה $\ \cdots \rightarrow Tor_{2}^{R}(A,M)\rightarrow Tor_{2}^{R}(B,M)\rightarrow Tor_{2}^{R}(C,M)\rightarrow Tor_{1}^{R}(A,M)\rightarrow Tor_{1}^{R}(B,M)\rightarrow Tor_{1}^{R}(C,M)\rightarrow A\otimes _{R}M\rightarrow B\otimes _{R}M\rightarrow C\otimes _{R}M\rightarrow 0$.

מודול F הוא שטוח אם ורק אם $\ Tor_{1}^{R}(F,-)=0$.

שמורות פולינומיאליות. משפט עתיק (הילברט), ידוע גם כ-no-name lemma: אם G חבורה סופית, אז לכל הצגה נאמנה על מרחבים V,W מתקיים $\ \mathbb {C} (V)^{G}(W)=\mathbb {C} (W)^{G}(V)$; בפרט, כל מרחבי האינווריאנטים הם stably isomorphic.

השערת היעקוביאן. נחשבה פתורה ב- 1957-1970. קל למצוא דוגמא נגדית בפונקציות רציונליות. דוגמא בפונקציות אנליטיות: $\ J(e^{x},ye^{-x})=1$ מעל הממשיים. Polynomial Automorphisms and the Jacobian Conjecture, 2000, Arno van den Essen.

חוג אידיאלים שמאליים ראשי (PLID): מכליל תחום ראשי. PLID ראשוני הוא מטריצות מעל תחום אור (למה 4.11 ב-Herstein Topics in Ring Theory); ואילו PLID ראשוני למחצה הוא סכום ישר של מספר סופי של ראשוניים.

אלגברה פשוטה. בממד סופי: כל אלגברה פשוטה היא תבנית של מטריצות. יש מיון גם לסופר-אלגברות פשוטות, לאלגברות פשוטות עם אינוולוציה (לפי הטיפוס), ולסופר-אלגברות פשוטות עם אינוולוציה (ראה Racine 1998).

אלגברות לא אסוציאטיביות

אלגברת לי ספורדית - בניה אחידה (של Tits) על-ידי נגזרות, אלגברות הרכב ואלגברות ז'ורדן - ראה משפט 4.13 ב- Schafer.

E7 (אלגברת לי). $\ E_{7}=sl(8)\oplus \wedge ^{4}\mathbb {R} ^{8}$ כמרחב וקטורי, עם סוגרי-לי $\ [h,p]=(\wedge ^{4}h)p$ עבור $h\in sl8, p\in \Wedge^4$, ו- $\ [p_{1},p_{2}]\in sl8$ מוגדרת לפי תבנית קילינג, $\ ([p_{1},p_{2}],h)=hp_{1}\cdot p_{2}\in \wedge ^{8}(\mathbb {R} )^{8}=\mathbb {R}$.

G2 (אלגברת לי). באמצע 1887, במהלך הנסיון להוכיח ש- so_n ו- sl_n הן אלגברות לי הפשוטות היחידות מעל המרוכבים, גילה Killing את קיומה של G2, אלגברה מממד 14. עד לסוף אותה שנה הוא גלה גם את האלגברות הספורדיות האחרות. השלמת המיון היא אמנם הישג מרכזי של המתמטיקה של המאה ה-19, אבל בעיני קילינג זה היה כשלון: הוא ביקש למיין את האלגברות הממשיות. ל- g2 יש שתי צורות ממשיות, שמהן חבורת לי המתאימה קומפקטית באחת אבל לא בשניה. אלי קרטן (שהציג את המיון השלם בתזת הדוקטורט שלו, 1894), הבחין שההצגה המרוכבת הקטנה ביותר של g2 היא מממד 7; החבורה G2 שומרת על התבנית $\ x_{0}^{2}+x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}$. ל-G2 יש שתי תת-חבורות פרבוליות מקסימליות מממד 9, והתאור הראשון של החבורה (במאמרים של Lie וקרטן) היה לפי הפעולה שלה על מרחבי המנה. תבנית $\ \omega \in \wedge ^{p}(\mathbb {C} ^{n})$ היא גנרית, אם המסלול שלה תחת פעולת $\ \operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} ^{n})$ פתוח. ב-1900 הוכיח Engel שיש רק מסלול אחד של תבניות 3-הומוגניות גנריות ב-7 משתנים; חבורת האיזוטרופיה של כל אחת מאלה היא G2. ‏ Walter Reichel ‏ (1883-30.3.1918), תלמיד של Engel ב-Greifswald University (הגיש התזה ב-1907). גילה שמעל הממשיים יש שני מסלולים של תבניות גנריות; חבורות האיזוטרופיה הן שתי הצורות הממשיות של G2. ב-1908 הבחין אלי קרטן שהצורה הממשית הקומפקטית היא חבורת האוטומורפיזמים של אלגברת האוקטוניונים. [1].

אלגברת פואסון (מעל שדה). אלגברה קומוטטיבית עם סוגרי-לי $\ \{\cdot ,\cdot \}$, המקיימת $\ \{a,bc\}+\{a,b\}c+b\{a,c\}$ (כלומר, $\ x\mapsto \{a,x\}$ היא גזירה פורמלית). לדוגמא - האלגברה הקומוטטיבית הנוצרת על-ידי x_i,y_i עם {x_i,y_1}=1, ולכל זוג יוצרים אחר - 0. כך מתקבל {A,B}=sum(\partial A/\partial x_i \partial B / \partial y_i - \partial A/\partial y_i \partial B/\partial x_i). אידיאל: אידיאל במובן הרגיל, המקיים $\ \{I,R\}\subseteq I$. מגדירים $\ core(I)$ כאידיאל-פואסון המקסימלי המוכל ב-I.

אלגברת אלברט (אלגברת ז'ורדן של המטריצות 3x3 ההרמיטיות מעל אלגברת קיילי). אחראיות למבנים הספורדיים של אלגברות לי פשוטות מטיפוסים F4, E6, E7 ו- E8, בדומה לקשר בין מטריצות לאלגברות מטיפוס An, Bn, Cn, Dn, ולאלגברת קיילי ואלגברות מטיפוס G2; ראה ריבוע הקסם של פרוידנטל.

אלגברה עוטפת. האלגברה העוטפת של אלגברת לי (מעל שדה) היא תמיד תחום.

חבורות

חבורה לינארית - האלטרנטיבה של טיץ: כל חבורה לינארית נוצרת סופית היא או דמוי-פתירה, או מכילה תת-חבורה חופשית לא אבלית. גרסה של פלטונוב (1967): כל חבורה לינארית המקיימת זהות היא דמוי-פתירה.

קומנסורטור (?). לדוגמא, ה- commensurator של$\ SL_{n}(\mathbb {Z} )$ ב- $\ SL_{n}(\mathbb {R} )$ מכיל את $\ SL_{n}(\mathbb {Q} )$. משפט מרגוליס (סריג של חבורת לי הוא אריתמטי אם ורק אם הקומנסורטור צפוף).

אינוולוציה (תורת החבורות). משפט Brauer-Fowler: אם H המרכז של אינוולוציה בחבורה סופית G, אז $\ |G|<(|H|)^{2}!$; מכאן החשיבות במיון חבורות פשוטות סופיות.

רדיקל של חבורה (תת-חבורה נורמלית פתירה מקסימלית).

חבורת פיטינג של חבורה פתירה - תת-חבורה נורמלית נילפוטנטית מקסימלית; תמיד ל"ט. להשוות לרדיקל של החבורה.

סריג (תורת החבורות). כאשר G קומפקטית מקומית, ת"ח עם מנה שיש לה מידת האר סופית. במקרה כזה G מוכרחה להיות יונימודולרית (כלומר מידת האר הימנית והשמאלית מתלכדות). דוגמאות: $\ \mathbb {Z} ^{n}\leq \mathbb {R} ^{n}$, $\ \operatorname {SL} _{n}(\mathbb {Z} )\leq \operatorname {SL} _{n}(\mathbb {R} )$. סריגים בחבורת לי (מעל שדה קומפקטי מקומית) - כולם נוצרים סופית; סריג קו-קומפקטי ("יוניפורמי"). (במאפיין אפס מעל שדה לא-ארכימדי, כל סריג הוא קו-קומפקטי; הדוגמא הקלאסית $\ SL_{2}(\mathbb {Z} )$). מרגוליס - בסריג של חבורת לי פשוטה למחצה מדרגה 2 ומעלה, כל תת-חבורה נורמלית מאינדקס אינסופי היא סופית ומרכזית. super-rigidity: כל הומומורפיזם מסריג בחבורת לי פשוטה למחצה G לחבורה טופולוגית, אפשר להמשיך להומומורפיזם רציף של G. לכל חבורה נוצרת סופית שהיא קוואזי-איזומורפית לסריג בחבורת לי פשוטה למחצה, קשירה ולא קומפקטית, יש מנה עם גרעין סופי שהיא סריג כזה. בחבורת לי כנ"ל, כל הסריגים הקו-קומפקטיים הם קוואזי-איזומורפיים זה לזה; פרט לחבורה SL_2(R), סריגים שאינם קו-קומפקטיים הם קוואזי-איזומורפיים אם ורק אם הם קומנסורביליים; ב- SL_2)R( כל הסריגים שאינם קו-קומפקטיים הם קוואזי-איזומורפיים. השערת סר: לכל סריג בחבורת לי מדרגה>1 יש תכונת תת-חבורות הקונגרואנציה. סריגים אריתמטיים. לסריג אריתמטי בחבורת לי עם rank>1 יש מספר סופי של הצגות (מרוכבות) מכל מימד, עם גידול פולינומיאלי.

חבורות מטריצות (החבורות הקלאסיות GL, SL, PGL, PSL; חבורות אורתוגונליות ובני-דודים). התנגשויות מעל שדה סופי: $\ PSL_{2}(2)=S_{3},PGL_{2}(3)=S_{4},PSL_{2}(3)=A_{4},PSL_{2}(4)=A_{5},PGL_{2}(5)=S_{5},PSL_{2}(5)=A_{5},PSL_{2}(9)=A_{6}$, וגם $\ ,PSL_{4}(2)=A_{8}$ (משפט 9.71 ב- Intro. Th. Gps., Rotman). עבור q=2,3,4 מדובר בפעולה של PGL2 על P^1(F_q). עבור q=5 זה עותק לא סטנדרטי ב-S_6; פועל על חמש החלוקות $\ 01|24|3\infty ,03|12|4\infty ,0\infty |14|23,02|1\infty |34,04|13|2\infty$. לעומת זאת $\ PSL_{3}(4)$ ו- $\ A_{8}$ פשוטות מאותו סדר, ואינן איזומורפיות (יש אינסוף זוגות כאלה, אבל לפי משפט המיון אין אף שלשה).

$\ PSO_{4}(\mathbb {C} )\cong PGL_{2}(\mathbb {C} )^{2}$.

על-ידי פעולת ההצמדה של SL2 על אלגברת לי שלה (מטריצות מעקבה 0) מקבלים $\ m:\left({\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}}\right)\mapsto \left({\begin{array}{ccc}(a^{2}+d^{2}+b^{2}+c^{2})/2&(a^{2}-d^{2}-b^{2}+c^{2})/2&-ab-cd\\(a^{2}+b^{2}-d^{2}-c^{2})/2&(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})/2&-ab+cd\\-ac-bd&-ac+bd&ad+bc\end{array}}\right)$ כפלית וחח"ע $\ GL_{2}(F)\rightarrow GL_{3}(F)$ לכל שדה ממאפיין לא 2, ומקיימת $\ |m(A)|=|A|^{3}$. זהו שיכון של $\ SL_{2}^{\pm 1}$ ל- $\ O_{1,2}(F)$, ושל $\ SL_{2}(F)$ ל- $\ SO_{1,2}(F)$. אם מתקנים על-ידי חילוק בדטרמיננטה, מקבלים שיכון של PGL3 ב- SO_{1,2}.

בעיית תת-חבורת הממדים (dimension subgroup problem). כאשר G חבורה סופית, $\ I(G)$ אידיאל האוגמנטציה של Z[G], ומגדירים $\ \Delta ^{n}(G)=\{g\equiv 1{\pmod {I^{n}}}\}$. ע Magnus הראה ש- $\ Delta^{n}\subset G_{n}$; ו- Malcev הוכיח שמעל שדה במאפיין אפס, מתקיים שוויון. ריפס (מן הכלא הסובייטי) מצא דוגמא נגדית מעל Z, עבור n=4.

חבורות קוקסטר אפיניות. את $\ {\tilde {A}}_{n}$ אפשר לשכן ב- $\ S_{\mathbb {Z} }$ לפי הפעולה הרגילה (עקבית מודולו n) בתוספת היוצר $\ s_{n}=...(n-1,n)(2n-1,2n)...$.

כופל שור (Schur). לחבורה סופית G; הגדרה לפי יוצרים ויחסים; תכונות בסיסיות; הגדרה קוהומולוגית: $\ M(G)=H^{2}(G,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )=H^{3}(G,\mathbb {Z} )$. כופל בוגומולוב: הגרעין של ההעתקה מ-H^2(G) לסכום כל ה-H^2(A) עבור A אבלית, מקדמים תמיד ב-Q/Z; בוגומולוב הוכיח שדי לקחת A בי-ציקלית.

חבורת ביאנקי (Bianchi) - החבורות מהצורה $\ \Gamma =PSL_{2}(O_{d})$, כאשר O_d חוג השלמים של $\ \mathbb {Q} [{\sqrt {-d}}[$, עבור d שלם חיובי. אלו סריגים (לא קוקומפקטיים) של $\ PSL_{2}(\mathbb {C} )$ (ומכאן הקשר ל- hyperbolic 3-manifolds). מספר ה- cusps ב- $\ H^{3}/\Gamma$ שווה למספר המחלקות של השדה. המקרה d=1 נקרא חבורת פיקארד, שלה ההצגה הבאה: $\ <x,y,z,w|x^{2}=y^{2}=w^{2}=(zx)^{3}=(zy)^{2}=(zw)^{2}=(yx)^{2}=(wx)^{3}=1>$, תחת הזיהוי $\ x=[[0,-1],[1,0]],y=[[i,0],[0,-i]],z=[[1,1],[0,1]],w=[[i,-1],[0,-i]]$.

גרף שרייר. (כל גרף דו-חלקי רגולרי סופי הוא גרף שרייר של תת-חבורה מתאימה במנה של $\ (\mathbb {Z} /2)*\cdots *(\mathbb {Z} /2)$).

חבורה אמנבילית. (ביחס לקבוצת יוצרים נתונה S) לכל e>0 ולכל R>0 יש תת-קבוצה סופית F ב-G כך ש- F\Delta gF|/|F|<e| לכל g מאורך עד R ביחס לקבוצה; זה לא תלוי ב- S. (מן התכונה הזו נובע שהמרחב המטרי (G,S) מקיים את "תכונה A" של מרחבים מטריים). הגדרה שקולה: יש סדרת תת-קבוצות סופיות כך ש- F\Delta gF|/|F|| שואף לאפס לכל g. שקול לזה: יש פונקציונל G-אינווריאנטי $\ \ell ^{\infty }(G)\rightarrow \mathbb {R}$ המתאים את הפונקציה 1 ל-1, וחסום בין $\ \inf {f}$ ל- $\ \sup {f}$. אם החבורה דיסקרטית, היא אמנבילית אם ורק אם יש על החבורה מידת הסתברות אינווריאנטית משמאל. התכונה עוברת למכפלה של חבורות ולתת-חבורות. למשל: כל חבורה סופית; Z; כל חבורה עם גידול תת-אקספוננציאלי. אבל החבורות החופשיות הלא-אבליות אינן כאלה, ולכן קיומן הוא מבחן לאי-אמנביליות. אולשנסקי הראה שיש חבורות לא אמנביליות ללא תת-חבורה חופשית לא אבלית. (חבורה אמנבילית ליניארית נוצרת סופית היא פתירה-למעשה. כל חבורה נילפוטנטית-למעשה היא אמנבילית). מחלקת החבורות האמנביליות כוללת את כל החבורות האבליות, וסגורה להרחבה, לתת-חבורות ולמכפלה ישרה. זו תכונה מקומית: אם היא מתקיימת לכל תת-חבורה נוצרת סופית, היא מתקיימת לחבורה עצמה.

תכונת T של קשדן ותכונת טאו. הגדרות (T: קיימים תת-קבוצה קומפקטית S של החבורה וקבוע e>0, כך שבכל הצגה ללא וקטור אינווריאנטי, אין וקטור (S,e)-כמעט אינווריאנטי), (טאו: כנ"ל, אלא ש-S סופית, וההצגה מתפרקת דרך מנה סופית; אם"ם גרפי קיילי של המנות הסופיות הם משפחה של אקספנדרים). לחבורות לי פשוטות מ-rank 2 ומעלה יש תכונת T. לסריג של חבורת לי יש התכונה אם ורק אם יש אותה לחבורה עצמה. דוגמאות: ל-$\ SL_{n}(\mathbb {Z} )$ ול- $\ SL_{n}(F_{p}[t])$ (עם n>=3) יש תכונה T. לחבורה עם ת"ח מאינדקס סופי המכסה את Z אין תכונה טאו. ל- $\ SL_{2}(\mathbb {Z} [1/p])$ יש טאו ולא T.

חבורה פרו-סופית. (רקע טופולוגי: מרחב האוסדורף הוא גבול הפוך של מרחבים דיסקרטיים סופיים אם ורק אם הוא קומפקטי ולכל נקודה יש בסיס מקומי של קבוצות פתוחות וסגורות, אם ורק אם הוא קומפקטי ובלתי קשיר לחלוטין). חבורה טופולוגית קומפקטית היא פרו-סופית, אם ורק אם היא האוסדורף ובלתי קשירה לחלוטין. עבור מערכת תת-חבורות נורמליות מאינדקס סופי N_i, יחס ההכלה N_1<N_2 מסדר גם את המנות G/N_1->G/N_2. מגדירים את הסגור הפרו-סופי לפי $\ {\hat {\Gamma }}=\lim _{\rightarrow }\Gamma /N_{i}=\{(\gamma _{i}N_{i}):\gamma _{i}\in \Gamma ,{andif\ N_{i}\subseteq N_{j},\ then\ \gamma _{i}N_{j}=\gamma _{j}N_{j}}\}$, מודולו שקילות (סדרות הן שקולות אם הן מסכימות בסופו של דבר). זו חבורה טופולוגית, שבה הקבוצות הפתוחות הן N_i (ולכן הקוסטים שלהן). ההעתקה $\ \Gamma \rightarrow {\hat {\Gamma }}$ לפי $\ \gamma \mapsto (\gamma N_{i})$. הגרעין כמובן שווה לחיתוך כל ה-N_i. הגדרה: Gamma פרו-סופית אם היא משוכנת בסגור הפרו-סופי שלה (ביחס לכל תת-החבורות מאינדקס סופי). במקרה כזה יש לה "השלמה פרו-סופית". (דוגמא - מכפלה כלשהי של חבורות סופיות). השלמה פרו-p (כנ"ל, אינדקס חזקת p). דוגמא: ההשלמה הפרו-p של Z היא השלמים ה-p-אדיים. ההשלמה הפרו-סופית של Z היא מכפלת כל אלה.

תכונת תת-חבורות הקונגרואנציה: תהי G אלגברית, קשירה, פשוטת קשר מעל שדה גלובלי; התכונה שקולה לכך שההעתקה הטבעית $\ {\widehat {G(R)}}\rightarrow G({\widehat {R}})$ היא איזומורפיזם, כאשר R חוג השלמים של השדה. ("התכונה החלשה" = גרעין סופי). לדוגמא, SL_d(R) מקיים את התכונה עבור d>2 אבל לא עבור d=2.

חבורת הסימטריות הנקודתיות - חבורה נקודתית, חבורת נקודה, חבורת סימטריות הנקודה. (ההגדרה מאפשרת שיקוף).

residually finite group (חיתוך ת"ח הנורמליות מאינדקס סופי הוא טריוויאלי). כל חבורה ליניארית היא כזו (Malcev, 1940). <a,b|a^2ba^{-2}=b^2> כזו אבל לא ליניארית. כל חבורה חופשית היא כזו בזכות ההצגה של F_2 במטריצות מעל השלמים. אוסף החבורות ה-r.f. נשמר תחת מכפלה ישרה. לכל חבורה r.f. מוצגת סופית יש בעיית מילה פתירה. חבורת האוטומורפיזמים של חבורה res.fin. נוצרת סופית היא res.fin. לעומת זאת חבורת האוטומורפיזמים של F_{\omega{ אינה res.fin.

"חבורה קוהרנטית". כל תת-חבורה נוצרת סופית היא מוצגת סופית (Serre 1974). החבורה היסודית של יריעה 3-ממדית סגורה היא קוהרנטית. $\ \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {Q} )$ אינה קוהרנטית. גם $\ \mathbb {F} _{2}\times \mathbb {F} _{2}$ אינה קוהרנטית. לא ידוע האם כל החבורות עם יחס יחיד הן קוהרנטיות.

חבורה היפרבולית. אינה בהכרח ליניארית. לא ידוע האם כל חבורה היפרבולית היא res. fin.

חבורת הצמות. (החבורה היסודית של מרחב הפולינומים המתוקנים עם שורשים שונים). תת-החבורה של $\ Aut\mathbb {F} _{n}$ השומרת על מכפלת היוצרים, ומעבירה כל יוצר לצמוד של יוצר. זוהי חבורת ארטין הידועה ביותר. מאמרים של ארטין ב-1925 וב-1947. הראה שתת-חבורת הצמות הטהורות היא תת-חבורה קרקטריסטית. (יציבה לכל אנדומורפיזם כאשר n>4).

יריעה ופסאודו-יריעה (במובן של Hanna Neumann). יריעה סגורה למנות, תת-חבורות ומכפלות ישרות; מוגדרת על-ידי זהויות. פסאודו-יריעה סגורה למנות, תת-חבורות ומכפלות ישרות סופיות. אוסף הזהויות של חבורה סופית הוא בעל בסיס סופי (Oats-Powell), אבל יש דוגמאות ליריעות שאין להן בסיס סופי.

חבורה פיניטית (sofic group - קשה לתרגם). הגדרה של גרומוב; את השם הציע בנג'י וייס. ניתנת לקירוב על-ידי קבוצות סופיות. מכליל אמנביליות ו- residually fin. התכונה נשמרת במעבר למנה ולתת-חבורה, אבל לא ברור אם ההיפך נכון. לא ידועה דוגמא לחבורה שאינה sofic.

חבורה סדורה (הכוונה בדרך כלל לחבורה אבלית ולסדר מלא). תת-חבורה L היא מבודדת, אם היא מכילה כל קטע $\ [0,x]$ עם x\in L. אלו הן המקבילות לתת-חבורות נורמליות: אם G סדורה (סדר מלא) ו-L מבודדת, גם G/L סדורה סדר מלא; הגרעין של כל הומומורפיזם מחבורה סדורה סדר מלא לחבורה סדורה ס"מ הוא תת-חבורה מבודדת; ומשפט האיזומורפיזם הראשון מתקיים גם בגרסה הסדורה שלו. אם G/H מפותלת, אז יש התאמה 1-1 בין תת-החבורות המבודדות של שתיהן (L עוברת לחיתוך עם H). לחבורה סדורה בסדר מלא G אפשר לבנות "סגור חליק" (divisible closure), $\ {\hat {G}}$, שאבריו כביכול מהצורה g/n (כמו הרציונליים מהשלמים). המנה G^/G מפותלת, ו-G^ מכילה כל חבורה בעלת תכונה זו.

חבורת ארטין (אין קשר לחבורה ארטינית). כל מונויד ארטין ניתן לשיכון בחבורת ארטין המתאימה (Paris); זוהי חבורת השברים כאשר חבורת קוקסטר המתאימה היא סופית, אבל לא במקרה הכללי (אפילו החבורה החופשית אינה חבורת שברים של המונויד החופשי). בעיית המילה במונויד ארטין היא טריוויאלית, אבל בחבורת ארטין כללית - עדיין פתוחה.

בעיות דן. בעיית המילה, בעיית הצמידות ובעיית האיזומורפיזם. דן פתר את כולן ב-1912 עבור ההצגות הקנוניות של חבורות יסודיות של משטחים סגורים. יש חבורות מוצגות סופית שבהן בעיית המלה פתירה ובעיית האיזומורפיזם אינה פתירה. בעיות הכרעה נוספות: בעיית היצירה (קבע האם קבוצה סופית נתונה, יוצרת חבורה נ"ס נתונה). בעיית היצירה של $\ \mathbb {F} _{n}\times \mathbb {F} _{n}$ עבור n>=6 אינה פתירה. בעיית המילה המוכללת ביחס לתת-חבורה של חבורה מוצגת רקורסיבית: אלגוריתם להכריע אם איבר שייך לתת-החבורה. בעיית ההצמדה המעוותת שואלת, בהנתן הצגה ואוטומורפיזם, האם $\ b=\sigma (x)ax^{-1}$. יש חבורות בהן בעיית ההצמדה פתירה ובעיית ההצמדה המעוותת אינה פתירה. בעיית ההצמדה המעוותת פתירה בחבורה מוצגת סופית virtually free.

ייצוג לפי יוצרים ויחסים. בין שני ייצוגים סופיים של אותה חבורה אפשר לעבור בסדרה של צעדי Tietze (הוספת או השמטת יחס טריוויאלי, והוספת או השמטת יוצר x והיחס x=r). אם F חופשית ו-R נורמלית, Magnus 1936 - שיכון של F/[R,R] למטריצות מהצורה $\ ((F/R*)(01)$ כאשר הרכיב * הוא מודול חופשי מעל F/R. זה הבסיס למשפט Lewin על שיכון A/IJ במטריצות משולשיות-עליונות עם אלכסון A/I ו- A/J. הדרגה של חבורה היא מספר היוצרים המינימלי (יש הגדרות אחרות).

חבורה נוצרת סופית. מספר תת-החבורות מאינדקס n הוא סופי (ולכן יש פונקציית זטא של תת-חבורות). החבורה היסודית של יריעה קומפקטית היא נוצרת סופית.

חבורה סופית מקומית. משפט (Hall ואחרים): לחב' אינסופית כזו יש ת"ח אבלית אינסופית.

מכפלה חופשית. הדרגה של $\ A*B$ היא סכום הדרגות (משפט Grushko-Neumann), כאשר הדרגה = מספר יוצרים מינימלי.

חבורת CA. חבורה שבה כל המרכזים של איברים הם אבליים. סוזוקי (1952): חבורות CA מסדר אי-זוגי הן פתירות(תומפסון בראיון ל-Notice AMS, April 2009, אומר שזו התוצאה שהביאה אותו להאמין שמשפט פייט-תומפסון אפשרי).

Spin. חבורת הספין של תבנית ריבועית q (האיברים בעלי נורמה 1 בחלק הזוגי של אלגברת קליפורד של התבנית, שהצמדה בהם שומרת על המרחב הפורש: $\ \{x\in C_{0}(q):xVx^{-1}=V,xx^{*}=1\}$).

קוהומולוגיה של חבורה. עם מקדמים במודול. קוהומולוגיית גלואה. הקוהומולוגיה הראשונה $\ H^{1}(G,M)=Der(G,M)/IDer(G,M)$. אם M מרחב וקטורי, המימד חסום: $\ \dim H^{i}(G,M)\leq d(G)^{i}\dim M$, כאשר d מספר היוצרים של G.

שיכון מונויד בחבורה. Adian 1966 - ההעתקה הטבעית משכנת אם בגרף הימני (מחברים יוצרים a,b אם יש יחס aX=bY) והשמאלי אין מעגלים. תנאי אור. חבורות ארטין.

חבורה מטא-ציקלית: כולן מטא-אבליות וגם סמי-אבליות; אין גרירות בין זה לבין נילפוטנטיות.

חבורה סמי-אבלית: כוללת חבורות אבליות וסגורה למכפלות חצי-ישרות עם גרעין אבלי, ולחבורות מנה. כל חבורה מטא-ציקלית היא סמי-אבלית, וכל סמי-אבלית היא (כמובן) פתירה. אין גרירות בין סמי-אבליות למטא-אבליות או לנילפוטנטיות. כל חבורה סמי-אבלית היא מנה של מכפלת-זר חוזרת של חבורות ציקליות As(Bs(CsD))); (כרגיל AsB מכפלה חצי-ישרה עם גרעין $\ A^{|}B|$).

החבורה הסימפלקטית. חבורת ההעתקות השומרות על (ה)תבנית (ה)אלטרנטיבית הלא-מנוונת. (הקשר לאינוולוציה הסימפלקטית). נוצרת על-ידי הטרנסווקציות (העתקה שומרת על-מישור ומזיזה במקביל לו), שכולן מהצורה $\ \tau _{u,a}:x\mapsto x+aB(x,u)u$. ל- Mapping class group של משטח מכוון מגנוס g יש אפימורפיזם ל-Sp_{2g}(Z).

הצגה רקורסיבית. הצגה שבה קבוצת היוצרים בת-מניה לכל-היותר, וקבוצת היחסים recursively enumerable (כלומר יש אלגוריתם למנות את היחסים). לחבורה נוצרת סופית יש הצגה רקורסיבית אם ורק אם היא משוכנת בחבורה מוצגת סופית (G. Higman, 1966).

חבורה עם יחס יחיד. דוגמא חשובה: החבורה היסודית של משטח סגור כיווני מגנוס g היא מוגדרת על-ידי היחס של מכפלת הקומוטטורים. "משפט החופש" (Freiheitssatz) - אם היחס (cyclically reduced) כולל יוצר x, אז שאר היוצרים יוצרים חבורה חופשית. (ב-1930 הראה Magnus שבין החבורות עם יחס יחיד, היחידות שאינן מכילות חבורה חופשית הן ציקליות ו-<a,b|aba^{-1}=b^k>). (יש הכללות של ה-Freiheitssatz לחבורות למחצה ולמונוידים, לב שניאורסון 1974; וגם גרסה לחוגים, מקר-לימנוב). מסקנה: בעיית המילה פתירה (Magnus 1932). בעיית הצמידות פתירה לחבורה עם יחס יחיד שהיא מפותלת (B.B.Newman 1968; המקרה הכללי אינו ידוע). יש אלגוריתם לבעיית האיזומורפיזם בין חבורות מפותלות, אבל לא במקרה הכללי. הדרך היחידה להציג חבורה חופשית באמצעות יחס יחיד, היא כאשר היחס טריוויאלי, או ניתן להשלמה לבסיס (Whitehead 1937). אם היחס r הוא חזקה s^m עבור m>1, אז כל איבר מסדר סופי בחבורה הוא צמוד של חזקה של s (וכל תת-חבורה סופית צמודה לתת-חבורה של החבורה הציקלית ש-s יוצרת); אחרת אין אברים מסדר סופי. אם r קומוטטור, החבורה חסרת פיתול. תמיד יש תת-חבורה נורמלית חסרת פיתול מאינדקס סופי. אם יש לפחות שלושה יוצרים, לחבורה מרכז טריוויאלי. אם יש שני יוצרים והחבורה אינה אבלית, אז המרכז ציקלי אינסופי (יש אלגוריתם Baumslag-Taylor 1968 לקבוע אם המרכז טריוויאלי). חבורות עם שני יוצרים הן הופפיות. כאשר החבורה חסרת פיתול, לכל תת-חבורה נוצרת סופית יש הטלה על השלמים. תת-חבורה המקיימת חוק לא-טריוויאלי היא או ציקלית מקומית או מטא-אבלית (כאשר G חסרות פיתול), או ציקלית או דיהדרלית (כאשר G מפותלת). בפרט, כל תת-חבורה אבלית היא או ציקלית מקומית שבה אף איבר לא טריוויאלי אינו חליק, או Z בריבוע. כל תת-חבורה פתירה של של חבורת יחס יחיד עם פיתול, היא ציקלית או דיהדרלית אינסופית. כל תת-חבורה מכילה חבורה חופשית לא אבלית, או שהיא פתירה. כאשר G עם פיתול, המרכז של כל איבר לא טריוויאלי הוא ציקלי. חבורה שיש לה לפחות שלושה יוצרים ויחס יחיד היא SQ-אוניברסלית, כלומר כל חבורה פתירה היא מנה של תת-חבורה שלה. לכל תת-חבורה נוצרת סופית יש הטלה על Z. לא ידוע האם כל תת-חבורה נוצרת סופית היא מוצגת סופית. אם היחס אינו חזקה, אז לחוג החבורה (מעל Z) יש רזולוציה חופשית 0->M->ZG->Z->0, כאשר M חופשי מדרגה 1; לכן cdG<=2, ולפיכך הוא 2 אלא אם G חופשית. אם היחס חזקה, יש רזולוציה חופשית אינסופית ממחזור 2, שבה כל המודולים ציקליים. מפתח טכני: Magnus re-writing: כל חבורה כזו היא הרחבת HNN של חבורה עם יחס קצר יותר (ובסופו של דבר - של חבורה חופשית). אם יש פיתול ושלושה יוצרים, אפשר לפרק את החבורה למכפלה amalgamated. בעיית המילה בחבורה למחצה עדיין אינה פתורה: עבודות של Adian (שנות הששים) ואחרים השאירו את המקרים <a,b|a=bWa> ו-<a,b|bWa=aUa>. מקורות: Lyndon-Schupp, Combinatorial group theory, II.5-6, IV.5.

יריעה של חבורות. אוסף החבורות המקיים חוק מסויים, למשל [x^2,y^3]=[x^3,y^2]. ספרה של H. Neumann 1967.

תכונת מרקוב. (קטגוריה: אי-כריעות אלגוריתמית). תכונה של חבורות מוצגות סופית, כך שיש חבורה עם התכונה, ויש חבורה (מ"ס) שאינה משוכנת באף חבורה (מ"ס) עם התכונה. למשל: להיות טריוויאלית, להיות סופית, אבלית, חסרת פיתול, חופשית. תכונה היא תורשתית אם היא עוברת לת"ח: כל תכונה תורשתית לא טריוויאלית של חבורות מ"ס היא מרקוב. גם - אם לכל חבורה מ"ס עם P יש בעיית מילה פתירה, אז P מרקוב. להיות פשוטה היא תכונת מרקוב לא תורשתית. להיות בעלת דרגה (=מספר יוצרים מינימלי) 2 אינה תכונת מרקוב. משפט: תכונות מרקוב אינן כריעות אלגוריתמית.

מאגמה. המגמה החופשית <X> מתאימה לעצים בינאריים שלמים (לכל לא-עלה יש שני צאצאים) עם עלים מאונדקסים על-ידי X.

תנאי השרשרת העולה. (שקול לתנאי המקסימום על ת"ח; ולכך שכל ת"ח נוצרת סופית). אוסף החבורות המקיימות את התנאי סגור להרחבות. בפרט כל חבורה פולי-ציקלית מקיימת את התנאי.

חבורה חליקה. גם כל התמונות כאלה.

משפט ז'ורדן-הולדר (על יחידות גורמי ההרכב בחבורה סופית). גרסה ראשונית של ז'ורדן ב-1870; הניסוח המודרני על-ידי Otto Holder ב-1899, שגם המציא את חבורת המנה לצורך המשפט.

פעולה פרימיטיבית. פיתח ז'ורדן ב-1870, אחרי ניצנים של המושג בעבודות של גלואה. חבורה פתירה פרימיטיבית מוכרחה לפעול על קבוצה Vבגודל חזקת-ראשוני, ולהיות צמודה לת"ח של החבורה האפינית על V כמ"ו.

בניין (מתמטיקה) - טיץ הצמיד בנין ספירי לכל חבורה אלגברית פשוטה (מעל שדה כלשהו), והשתמש בזה כדי לפתח אקסיומטיקה למבנה הכללי. ההגדרה עוברת דרך קומפלס קוקסטר (שהוא הדירה) של חבורת קוקסטר. אכן, אם W סופית, הבניין ספירי. לדוגמא, טיפוס A_1-tilde הוא העץ האינסופי (והדירות = נחשים אינסופיים). בניינים מממד 1 יכולים להיות כלליים למדי; אבל טיץ הוכיח שכל בניין ספירי מדרגה > 2 מתאים לחבורה, המוגדרת למעשה על-ידי הבנין. בשיטה זו, כפי שחבורות אלגבריות פשוטות מגדירות בניינים ספיריים, חבורות אלגבריות רדוקטיביות מעל שדות מקומיים לא ארכימדיים מגדירות בניינים אפיניים. גם כאן, אם הדרגה שלוש או יותר (והחבורה מפוצלת), אז החבורה נקבעת על ידי הבניין. כל בניין אפיני מדרגה > 3 מתאים לחבורה. מהו קומפלקס קוקסטר: קומפלקס חדרים דק, כך שלכל קיר יש שיקוף מסדר 2 של הדירה השומר על הקיר (וממילא מחליף את שני החדרים הנפגשים בקיר הזה). השיקופים של דירה A מהווים חבורת קוקסטר W, הקרויה חבורת וייל של A. כדי לקבל קבוצת יוצרים סטנדרטית, קח את השיקופים של הקירות של חדר קבוע. הדירה ספירית או אפינית בדיוק כאשר W כזו. לבניין יש מטריקה קנונית. בניין אפיני הופך בדרך זו למרחב (CAT(0 (קמור-גאודזית מקומית). זוגות BN: נניח ש-G חבורה הפועלת טרניזטיבית על הזוגות (חדר, בתוך דירה). נסמן את המייצב של החדר ב-B ואת המייצב של הדירה ב-N. זה נותן התאמה בין מחלקות צמידות של B לבין חדרים. חבורת וייל היא W=N/(N \cap B). אפשר לשחזר את הבנין כולו מזוג תת-חבורות B,N, אם הן מקיימות אקסיומות מסויימות (הנוגעות לאורך של אברים בחבורת קוקסטר). [כל צמוד של B הוא "בורל", וכל מה שמכיל בורל הוא "פרבולי"]. קודקודי הבנין הם הפרבוליות המקסימליות; k+1 נקודות הן תא אם החיתוכים שלהן הם פרבולית; דירה = הצמדת הקודקודים המכילים את B על-ידי N, או כל דבר צמוד לזה. בדרגה נמוכה, לא כל בנין אפשר לתאר על-ידי זוג B,N.

קוואזימורפיזם הוא העתקה מחבורה לממשיים שעבורה |f(xy)-f(x)-f(y)| חסום. קוואימורפיזם הוא הומוגני אם f(x^n)=nf(x). קוואזימורפיזם הומוגני מקבל אותו ערך על אברים צמודים. הסופרימום של הערך לעיל הוא הדפקט של ההעתקה. קשור ל-stable commutator length.

שדות

חוג ויט. אם K/F איזוגי, אז $\ W(F)\rightarrow W(K)$ שיכון (ספרינגר).

רמה של שדה = רמה (תורת השדות) = רמה (אריתמטיקה). האינווריאנט s. מוגדר כמספר הריבועים המינימלי הנחוץ להבעת 1- כסכום ריבועים. (מאפיין 2). תמיד חזקת 2 (או אינסוף), תורת פיסטר (Pfister 1965). אם F סגור ריבועית, אז s=1. הרמה של שדה סופי היא 1 (אם הסדר 1mod4) או 2. הקווטרניונים $\ (-1,-1)$ מתפצלים אם ורק אם s=2. ל-F, ל-F(x) ול- F((x)) יש אותה רמה. לשדה מקומי יש אותו s כמו שדה השאריות. ל- Q_2 יש רמה 4; כך גם לכל הרחבה מממד אי-זוגי. לשדה גלובלי יש רמה 1,2,4 או אינסוף ("משפט זיגל").

בעיית ההיפוך של תורת גלואה (הילברט, 1882). שולץ-רייכהרט (30') הוכיחו שאפשר לממש מעל הרציונליים כל חבורת-p איזוגית, ואז Shafarevich השלים לכל חבורה פתירה על-ידי הוכחה לחבורות-2. הבעיה לחבורות פשוטות סופיות פתוחה. את המפלצת אפשר לממש; הפולינום ממעלה 1020 לפחות. כל חבורה סופית אפשר לממש מעל שדה מספרים כלשהו (על-ידי הצגתה כתת-חבורה של חבורה סימטרית, שאותה אפשר לממש מעל הרציונליים).

the u-invariant. המימד המקסימלי של תבנית אנאיזוטרופית. למשל אם k סגור אלגברית, הממד של $k(t_{1},\dots ,t_{n})$ ושל $k((t_{1}))\cdots ((t_{n}))$ הוא $2^{n}$. ערך-u של שדה פונקציות של עקום מעל שדה סופי הוא 4. ערך-u של שדה שלם בהרחבה דיסקרטית = 4. ערך-u של שדה פונקציות של עקום p-אדי = 8.

שדה Cn. Tsen 1936 ואז Lang 1952: לכל תבנית הומוגנית מדרגה d ביותר מ-d^n משתנים יש אפס לא טריוויאלי (יש הגדרות שקולות לתבנית לא הומוגניות, כמה תבניות וכדומה). התנאי הולך ונחלש עם n. שדה C1 נקרא אצל E Artin Quasy-algebraically closed. בכל אופן C0=סגור אלגברית, גורר פסאודו-סגור-אלגברית (PAC), גורר C1. שדות סופיים הם C1. כל הרחבה אלגברית של שדה Cn היא C_n. הרחבה מדרגת טרנסצנדנטיות t של שדה Cn היא C_{n+t}. אם K הוא Cn אז K((x)) הוא C_{n+1}. המספרים ה-p-אדיים אינם C2. משפט Tsen: לשדה C1 יש חבורת בראוור טריוויאלית. השערת Lang (1956( - אם R סגור-ממשית, אז כל הרחבה סדורה הנוצרת על-ידי n אברים היא Cn.

ממד קוהומולוגי (של חבורה, ובעיקר של שדה). $C_{2}\implies C_{2}^{0}\implies \operatorname {cd} F\leq 2\implies \operatorname {cd} _{2}F\leq 2\implies I^{3}(F)=0.$; לגבי C_2^0 ראה חבורת וייטהד.

בסיס נורמלי. קיים לכל הרחבת גלואה.

חוג K של Milnor (הפונקטור?). מדורג, עם K_0=\Z. השערת בלוך-קטו: כאשר מאפיין F זר ל- n, מתקיים $\ K_{r}(F)/nK_{r}(F)\cong H^{r}(G_{F},\mu _{n}^{\otimes r})$. ל-n=2 זוהי השערת מילנור (Voevodsky, 2003); גם למקרה הכללי יש הוכחה, התלויה בטענה של Rost. המקרה r=2 הוא MS82.

שדה פסאודו-סגור אלגברית (PAC). שדה שמעליו יש לכל יריעה אלגברית אי-פריקה לחלוטין (היינו, מעל הסגור האלגברי) נקודה רציונלית; לחילופין, אינסוף נקודות. לחילופין, לכל פולינום בשני משתנים, שהוא אי-פריק מעל הסגור האלגברי, יש אינסוף שורשים. דוגמאות: כל שדה סגור אלגברית. השדה $\ \mathbb {Q} _{tr}[{\sqrt {-1}}]$, כאשר $\ \mathbb {Q} _{tr}$ הוא הרחבת גלואה המקסימלית של הרציונליים המוכלת בממשיים. כל הרחבה אלגברית אינסופית של שדה סופי. כמעט כל שדה מהצורה $\ {\bar {\mathbb {Q} }}^{<\sigma _{1},\dots ,\sigma _{n}>}$ (משה ירדן). שדות סדורים אינם PAC בגלל הפולינום x^2+1. כל שדה PAC שהוא הנזלי, הוא סגור אלגברית (G.Frey).

שדה פסאודו סופי. שדה פסאודו סגור אלגברית, שהוא שדה מושלם ויש לו הרחבה יחידה מכל ממד. למשל, אולטרה-מכפלה של שדות סופיים; גם כמעט כל שדה מהצורה $\ {\bar {\mathbb {Q} }}^{\sigma _{1}}$.

שדה גדול (ample). שדה הוא גדול אם לכל יריעה אלגברית חלקה אי-פריקה מעליו יש או אפס או אינסוף נקודות רציונליות. (בהכרח אינסופיים). כל שדה סגור אלגברית הוא גדול; השדה של המספרים ה-p-אדיים, שדה הממשיים, שדות מהצורה k((t)), הם גדולים. השדה של המספרים האלגבריים הממשיים לחלוטין הוא גדול.

תורת המספרים

פונקצית מביוס - מכיוון ש- 1/zeta(s) = \sum \mu(n)n^{-s}, הפונקציה מקודדת הרבה תכונות של ראשוניים. לדוגמא משפט המספרים הראשוניים שקול לכך ש- \sum_{n=1}^{N}\mu(n)=O(N), ואילו השערת רימן שקולה לכך שהסכום הוא O(N^{1/2+epsilon}) לכל אפסילון.

תבנית ריבועית - תבנית לא חיובית לחלוטין (ולא שלילית לחלוטין) ממימד לפחות 5 מעל הרציונליים היא איזוטרופית (משפט של Meyer).

משפט הרמיט. תבנית ריבועית חיובית לחלוטין מדטרמיננטה 1 ומימד n מייצגת מספר קטן מ- $\ (4/3)^{(n-1)/2}$ מעל השלמים.

משפט מינקובסקי. תבנית ריבועית חיובית לחלוטין מדטרמיננטה D ומימד n מייצגת מספר קטן מ- $\ nD^{1/n}$; עבור D=1 זה שיפור כאשר n<=23.

שדה המספרים ה-p-אדיים Hensel 1897. (על בסיס מספר p-אדי). $a\in \Q_p$ מחזורי אם"ם $a\in \Q$. משפט Ostrowski 1918 - כל הערכה לא ארכימדית של Q היא p-אדית. שורשי היחידה ב-$\ \mathbb {Q} _{p}$ הם אלו מסדר המחלק את p-1.

השערת מרטן. עבור $\ M(x)=\sum _{n\leq x}\mu (n)$: לפי ההשערה $\ |M(x)|\leq {\sqrt {x}}$. גוררת את השערת רימן. הופרכה ב-1985 (Odlyzko - te Riele): אינסוף פעמים $\ |M(x)|>1.06{\sqrt {x}}$. מידע נוסף.

הערכה. פונקציה $\ \nu :F\rightarrow \Gamma \cup \{\infty \}$ (כאשר $\ \Gamma$ סדורה ליניארית), כך ש- $\ \nu (x)=\infty$ אם ורק אם x=0; מעביר כפל לחיבור (כמו לוגריתם); ו- $\ \nu (x+y)\geq \min(\nu (x),\nu (y))$. הקשר לערכים מוחלטים. הערכות דיסקרטיות. השלמה של שדה עם הערכה (להערכה יש המשכה יחידה). הרחבה לא מסועפת (והרחבה לא מסועפת מקסימלית: אם K שלם, $\ Gal(K_{u}/K)\cong Gal({\bar {K}})$ כאשר $\ Gal({\bar {K}})$ חבורת גלואה האבסולוטית של שדה השאריות.

עקום אליפטי. משפט (Mazur, Kamienny, Abramovich, Merel) - חסם אחיד על מספר נקודות הפיתול מעל כל עקום מעל כל שדה מספרים מממד d; הכללה של המקרה הרציונלי.

פונקציית זטא של דיריכלה. עבור שדה מספרים K, הפונקציה מוגדרת עם a_n הסופר אידיאלים מנורמה n. מכפלת אוילר היא $\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {a_{m}}{m^{s}}}=\prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p^{f(p)s}}}\right)^{-g(p)}$.

הצגה כסכום של ריבועים. (משפט של גאוס על סכום של שלושה ריבועים): אם סופרים את כל ההצגות, לרבות סדר וסימנים, אפשר להציג את p ב- 12h(-4p) דרכים אם p\equiv 1,5 (mod 8); ב- 24h(-p) אם p\equiv 3 (mod 8); ובאף דרך אם p\equiv 7 (mod 8(. מספר ההצגות כסכום של 4 ריבועים הוא 8(p+1), ומספר ההצגות כסכום של 8 ריבועים הוא 16(p^3+1).

השערת קטלן. a^n-b^m=1 רק כש- 9-8=1. הוכיח Preda Mihailescu ב-2002.

מידת להמר. מידת להמר של פולינום בעל מקדמים שלמים מוגדרת כמכפלת הערכים המוחלטים הגדולים מ-1 של שורשים. המידה של שלם אלגברי היא מידת הפולינום המינימלי שלו. משערים שהמידה הקטנה ביותר היא של $\ x^{10}+x^{9}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}+x+1$, היינו כ- 1.17628 (זהו השורש היחיד הגדול מ-1; נקרא "מספר להמר"), וזה נבדק עד מעלה 40. לפולינומים שאינם הפכיים לעצמם, המידה הקטנה ביותר היא של x^3-x-1 (היינו כ- 1.32472).

הסתעפות (מבוייתת ופראית (לפי ל.ב-ס@מ.י)).

תבנית ריבועית (תאוריה אריתמטית).

הדוגמא הראשונה לתבנית ריבועית טרנרית לא מוחלטת המייצגת מספר מקומית בכל מקום (כל Z_p ו- R) אבל לא מעל Z היא של SIEGEL, C. L.: Indefinite quadratische Formen und Funktionentheorie I. Math Ann. 124, 17--54 (1951). דוגמא נוספת: $-9x^{2}+2xy+7y^{2}+2z^{2}$ מייצגת את 1 מקומית אבל לא מעל Z (דוגמא של Borovoi-Rudnick 95; אם p|x-y אז 2 שארית ריבועית מודולו p, אבל p\equiv \pm 3 \pmod{16}).

תבנית ריבועית בינארית: סימון גאוס - $\ ax^{2}+2bxy+cy^{2}$; סימון דיריכלה $\ ax^{2}+bxy+cy^{2}$.

עקרון הסה. $\ y^{2}+z^{2}=(x^{2}-2)(3-x^{2})$ - יש נקודה רציונלית בכל שדה p-אדי אבל לא ב-Q.

גאומטריה אריתמטית. משפט זיגל (לעקום חלק מגנוס >0 יש מספר סופי של נקודות שלמות מעל שדה מספרים; הכללה של Mahler לנקודות S-integral); משפט מורדל, השערת מורדל-וייל (משפט פאלטינגס): בגנוס g>1 יש לעקום מספר סופי של נקודות רציונליות.

גאומטריה

מותן (תורת הגרפים), מותן של גרף William Tutte, 1947. בהקשר מטרי systole. חסם Moore על הסדר: $\ g\leq 2\log n$.

אי-שוויון איזופרימטרי. לעקום מישורי סגור, $$A/\pi \leq (L/2\pi)^2.

עקומים מיוחדים: בין ההיפוציקלואידות, לדלתואידה דרגה 4, ולציקלואידה דרגה 6. ההיפופידה en:Hippopede עם הפרמטרים $\ a=1/b$ ו- $\ b^{2}=2$ מתארת את הפתרון למשוואה $\ |z^{2}-2|=2$. יש לה שטח 2, והמשיקים בראשית מאונכים.

טופולוגיית זריצקי על מרחב אפיני: קבוצות סגורות = {אפסים משותפים} של קבוצות פולינומים; הקטנה ביותר שעבורה פונקציות פולינומיאליות אל השדה (עם הטופולוגיה הקו-סופית) הן רציפות. יריעות אפיניות (ופרוייקטיביות); מורפיזמים בין יריעות (פונקציות רציונליות המוגדרות בכל מקום); המקרה הממשי והמרוכב.

משפט Bezout.

גאומטריה פרוייקטיבית. כל מישור פרוייקטיבי המקיים את משפט דסרג הוא $\ PD^{2}$ כאשר D חוג עם חילוק (אסוציאטיבי). החוג הזה הוא שדה אם ורק אם הגאומטריה מקיימת את משפט פפוס. מקס דהן הראה (1922) איך לתרגם כל משפט גאומטרי לזהות רציונלית על D. עמיצור (60'): כל משפט גאומטרי לא טריוויאלי גורם ש- D תהיה ממימד סופי; לכן יש אינסוף מערכות אקסיומטיות שונות בין דסרג לדסרג+פפוס.

הישר הפולרי. הישר הפולרי של נקודה A ביחס למעגל O הוא הישר המחבר את שתי נקודות ההשקה של המשיקים העוברים דרך A. משפט: B נמצאת על הישר הפולרי של A, אם ורק אם A נמצאת על הישר הפולרי של B.

mapping class group (של משטח סגור) = חבורת מחלקות האיזוטופיה של הומיאומורפיזמים שומרי אוריינטציה, וכאשר dimM=2, זה שווה ל- $\ \operatorname {Out} (\pi _{1}(M))$. לדוגמא, $\ Mod({\mbox{torus}})=GL_{2}(\mathbb {Z} )$. החבורה של משטח M נוצרת על-ידי (מספר סופי של) Dehn twists: חתוך לאורך עקום סגור, סובב פעם אחת והדבק. ידוע שהחבורות הן res. fin ו- fin. pres. בעיה פתוחה: האם החבורות האלה ליניאריות? (ידוע שכן בגנוס 1 ו-2).

יחס כפול. היחס הכפול של ארבע נקודות $\ x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ הוא $\ \lambda =(x_{1},x_{2};x_{3},x_{4})={\frac {x_{1}-x_{3}}{x_{2}-x_{3}}}/{\frac {x_{1}-x_{4}}{x_{2}-x_{4}}}$. בפעולה של $\ S_{4}$ על האינדקסים, $\ (12)\lambda =(34)\lambda =1/\lambda$ ו- $\ (23)\lambda =1-\lambda$ (זו פעולה של $\ S_{3}$ על שדה הפונקציות $\ \mathbb {C} (\lambda )$). לכל העתקה ביליניארית $\ T:z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}$ מתקיים $\ \lambda \circ T^{4}=\lambda$, ולכן $\ \lambda$ מוגדר על המחלקות $\ {\mathcal {H}}^{4}/\operatorname {PGL} _{2}(\mathbb {C} )$, כאשר $\ {\mathcal {H}}$ הוא חצי המישור העליון.

קומבינטוריקה

משפט וילסון. ידוע שהתנאים הבאים הכרחיים לקיומו של BIBD (balanced incomplete block design) עם הפרמטרים v,b,r,k,lam: דרוש lam(v-1)=r(k-1), וכן lam(v-1) div by k-1, וכן lam v (v-1) div by k(k-1). המשפט (וילסון, 1974): אם v גדול מספיק, יש BIBD כנ"ל.

משפט ואן-דר-ורדן (בכל חלוקה סופית של Z יש מרכיב עם סדרות חשבוניות בכל אורך (אבל לא מרכיב המכיל סדרה אינסופית)). הכללה (Hales-Jewett, 1963): לכל n, אם d מספיק גדול, אז לכל 2-צביעה של $\ [n]^{d}$ יש ישר מונוכרומטי.

קיבול שאנון. $\ \alpha (G)$ הוא גודל הקבוצה הבלתי תלויה המקסימלית, ו- $\ \alpha ^{*}(G)$ המקסימום של $\ \sum f(x)$ תחת האילוצים $\ \sum _{x\in K}f(x)\leq 1$ לכל תת-גרף שלם K (כאשר f חיובית) [יש הגדרה שקולה לפי משתנים מקריים, למשל בפרק 18 של Proofs from the Book, 2nd ed]. כך למשל $\ \alpha (C_{2n})=\alpha ^{*}(C_{2n})=n$ ו- $\ \alpha (C_{2n+1})=n,\,\alpha ^{*}(C_{2n+1})=n+1/2$, כאשר C_n הוא המעגל. עבור מכפלה של גרפים (שבה זוג מחובר לזוג אחר אם"ם בשתי הקואורידנטות יש קשת או שוויון), מתקיים $\ \alpha (G_{1})\alpha (G_{2})\leq \alpha (G_{1}\times G_{2})\leq \alpha (G_{1})\alpha ^{*}(G_{2})$, בעוד ש- $\ \alpha ^{*}$ כפלית. הקיבול מוגדר לפי $\ \theta (G)=\sup _{d}\alpha (G^{d})^{1/d}$ (שנון, 1956); אם הצלעות מסמנות שגיאות אפשריות בשידור, זהו מדד למספר המלים שאפשר לשדר בלי חשש לטעות, ומכאן החשיבות לתורת האינפורמציה. תמיד $\ \alpha (G)\leq \theta (G)\leq \alpha ^{*}(G)$; לכן הערך ידוע עבור מעגלים באורך זוגי. ל- $\ C_{5}$ יש קיבול $\ {\sqrt {5}}$ (Lovasz, 1979), אבל לשאר המעגלים באורך אי-זוגי הערך המדוייק אינו ידוע.

סדרת מורס (Morse-Thue, 1906, 1912) מתקבלת מהצבות 0->01 ו- 1->10. זו "סדרה אוטומטית", שאין בה אף מילה מהצורה $\ w^{2+\epsilon }$, למרות שאיננה חופשיה מריבועים. מקס אויבה השתמש בסדרה (1929) כדי להראות שכלל הסיום הגרמני בשחמט מאפשר משחקים אינסופיים. הסדרה מדגימה שסף החזרות (הסופרימום של alpha עבורו קיימת מילה אינסופית ללא חזקות alpha או יותר) של אלפבית בן שתי אותיות הוא 2; ידוע גם שסף החזרות של 3 אותיות הוא 7/4 (Dejean 1972), של 4 אותיות 7/5 (Pansiot 1984), ושל n>4 אותיות n/(n-1) (משוער בלבד עבור n=15..30).

קבוע צ'יגר. מוגדר בגרף (או ביריעה היפרבולית) לפי $\ h=\min _{S}{\frac {e(S,V-S)}{\min(volS,vol(V-S))}}$. מקיים את אי-השוויון $\ 2h\geq \lambda \geq h^{2}/2$ (מכאן גם קשר לתכונות שונות של אקספנדרים).

אקספנדר (גרף מרחיב). להבהיר שזו משפחה. Alon-Chung: אם G הוא d-רגולרי עם n קודקודים והע"ע השני $\ \lambda <d$, אז לכל $\ X\subseteq G$ מתקיים $\ \left||G[X]|-d{\frac {|X|^{2}}{2n}}\right|\leq {\frac {1}{2}}\lambda |X|(1-{\frac {|X|}{n}})$, כאשר $\ G[X]=E\cap X\times X$.

סדרת Skolem (סידור של 1122334455 כך שהמרחק בין המקומות של ii הוא i).

צביעת קודקודים, המספר הכרומטי (אם יש לינק המכיל מעגל אי-זוגי, המספר הוא לפחות 4), הפולינום הכרומטי.

אלגברת Iwahori-Hecke מעל חוג קומוטטיבי R עם פרמטר q: נוצרת על-ידי T_1,...,T_{n-1}, עם היחסים (T_i-q)(T_i+1)=0, ויחסי הצמות. עבור q=1 זו אלגברת החבורה של S_n.

מלה מסנכרנת (ע"ע בעיית צביעת המסלולים והשערת צ'רני). להגדיר גם חבורה מסנכרנת (כזו שאם מוסיפים לה כל פונקציה שאינה תמורה, היא מכילה פונקציה קבועה). ידוע שכל חבורה טרנזיטיבית על זוגות היא מסנכרנת, ושכל חבורה מסנכרנת היא פרימיטיבית.

גרף מקרי בגרף שבו התפלגות הקשתות היא X, יש רכיב קשירות ענק אם התוחלת של (X-1)^2 גדולה מ-1, ואין רכיב כזה אם היא קטנה מ-1.

טופולוגיה

קשר התלתן (trefoil, ימני ושמאלי): המשלים איזומורפי למרחב הסריגים $\ SL_{2}(\mathbb {R} )/SL_{2}(\mathbb {Z} )$.

מרחב ממיין לחבורה G - מרחב כוויץ X שעליו היא פועלת ללא נקודות שבת. לדוגמא, המרחב הממיין של Z הוא R. הומולוגיה. תמיד יש כזה; לא קל למצוא.

היררכיית בורל: לתורת הקבוצות התאורית.

תורת הקבוצות

קופינליות של קבוצה סדורה: העוצמה המינימלית של קבוצה דומיננטית. לדוגמא $\ cof(\omega )=\omega$, ו- $\ cof(\alpha )=1$ לכל סודר עוקב. הקופינליות של תת-קבוצות בנות מניה $\ [\aleph _{n}]^{\alpha _{0}}$ ביחס להכלה היא $\ \aleph _{n}$ פרט למקרה n=0. שלח: $\ cof([\aleph _{\omega }]^{\aleph _{0}})<\aleph _{\omega _{4}}$, ומכאן $\ \aleph _{\omega }^{\aleph _{0}}\leq 2^{\aleph _{0}}\aleph _{\aleph _{4}}$.

כל השאר

משחק מטריצה. את הערך של משחק סכום אפס על מטריצה (סופית) אפשר לחשב בעזרת תכנון לינארי; את נקודת שיווי-משקל-נאש של משחק מטריצה שאינו סכום אפס אפשר לתאר באמצעות בעיית תכנון ריבועי (ולאלה אין פתרון אלגוריתמי יעיל).

Cluster analysis (אנליזת צבירים). משפט Kleinberg: לא קיים אלגוריתם צברור (מקבל מרחב מטרי סופי ומחזיר חלוקה) שהוא (1) אינו רגיש למתיחה בקבוע; (2) עשיר (יכול להחזיר כל חלוקה אפשרית); (3) ועקבי (אינו משנה את דעתו בעקבות כיווץ מרחקים בתוך צביר והרחקה בין נקודות מצבירים שונים). ראו גם: Gunnar Carlsson, Topology and Data, Bull AMS 26(2) 2009, 255-308. Section 5.

התורה הארגודית. ראשיתה בחוק המספרים הגדולים של ברנולי, שעל-ידי "הזזת ברנולי" (shift) אפשר לפרש כשוויון בין ממוצע לאורך זמן לממוצע על המרחב. אבות המכניקה הסטטיסטית -- בולצמן וגיבס -- ניסחו את "ההשערה הארגודית", שהוכחה ב-1932 על-ידי פון נוימן בממוצע, ועל-ידי בירקהוף כמעט תמיד. קולמוגורוב הגדיר מידת אנטרופיה, שאיפשרה להראות שלא כל הזזות ברנולי שקולות זו לזו; לפי משפט המיון של Ornstein, האנטרופיה מספיקה למיון של הזזות ברנולי.

בעיית טרסקי על סופיות בסיס הזהויות. כדאי לתרגם את בעיית האלגברה התיכונית של טרסקי , עם הפניה מזהות וילקי.

פונקציית זטא, השערת רימן, ומשפט המספרים הראשוניים

לפי מכפלת אוילר של הפונקציה, וטור טיילור $\ \log(1-x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}$, מתקבל הביטוי $\ \log \zeta (s)=s\cdot \int _{0}^{\infty }J(x)x^{-s-1}dx$ עבור $\ \Re (s)>1$, כאשר $\ J(x)=(\sum _{p^{n}<x}+\sum _{p^{n}\leq x}){\frac {1}{n}}$.

בעזרת אנליזת פורייה ("טרנספורם מלין"), רימן קיבל מן הנוסחה הזו את $\ J(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{a-i\infty }^{a+i\infty }\log \zeta (x)x^{s}{\frac {dx}{s}}$ (לכל a>1), כאשר פירוש האינטגרל הוא $\ \lim _{T\rightarrow \infty }\int _{a-iT}^{a+iT}$. על-ידי אינטגרציה בחלקים, מתקבל $\ J(x)={\frac {-1}{2\pi i}}{\frac {1}{\log(x)}}\int _{a-i\infty }^{a+i\infty }{\frac {d}{ds}}[{\frac {\log \zeta (s)}{s}}]x^{s}ds$.

מאידך, את הפונקציה $\ \epsilon (s)=\Gamma (s/2+1)\pi ^{-s/2}(s-1)\zeta (s)$, המקיימת את המשוואה הפונקציונלית של הסימטריות $\ \epsilon (s)=\epsilon (1-s)$ (לסקור קטבים ואפסים), אפשר לפרק למכפלה: $\ \epsilon (s)=\epsilon (0)\prod _{\rho }(1-s/\rho )$, העוברת על-פני כל האפסים של הפונקציה (שכולם ברצועה הקריטית $\ 0\leq Re(s)\leq 1$, ומסודרים בזוגות). כך אפשר לבטא את $\ \log \zeta (s)$ כסכום בן חמישה גורמים: ... . (התכנסות המכפלה מחייבת הערכה של פיזור האפסים; von Mangoldt).

כשמציבים את הסכום בנוסחה ל- $\ J(x)$, מקבלים $\ J(x)=Li(x)-\sum Li(x^{\rho })+\int _{x}^{\infty }{\frac {dt}{t(t^{2}-1)\log(t)}}+\log \epsilon (0)$.

למה כל זה חשוב? לפי ההגדרה, $\ J(x)=\pi (x)+{\frac {1}{2}}\pi (x^{1/2})+{\frac {1}{3}}\pi (x^{1/3})+\dots$, וכל הגורמים פרט לראשון זניחים. יתרה מזו, לפי היפוך מביוס מתקבל $\ \pi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}J(x^{1/n})$, ומכאן הקירוב (המצוין) $\ \pi (x)\sim \sum {\frac {\mu (n)}{n}}Li(x^{1/n})$ -- טוב בהרבה מ- $\ \pi (x)\sim Li(x)-Li(2)$ ששער גאוס לפי נתונים מספריים. ליתר דיוק, $\ \pi (x)=\sum {\frac {\mu (n)}{n}}Li(x^{1/n})+\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{\rho }Li(x^{\rho /n})$.

(להסביר כיצד הערכות על השורשים נותנות קירובים של $\ \pi (x)$).