הגרסה החלשה של השערת גולדבך

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

הגרסה החלשה של השערת גולדבך היא השערה בתורת המספרים שלפיה כל מספר אי-זוגי גדול מ-5, הוא סכום של שלושה מספרים ראשוניים. מקור ההשערה במכתב ששלח כריסטיאן גולדבך ללאונרד אוילר ב-1742, ובו הועלתה האפשרות שניתן לכתוב כל מספר שלם כסכום של שלושה מספרים ראשוניים (לרבות, במשתמע, המספר 1, שבדרך כלל אינו נחשב ראשוני). במכתב התשובה ציטט אוילר השערה אחרת של גולדבך, שעל-פי ניסוחה המקובל היום, ניתן להציג כל מספר זוגי כסכום של שני מספרים ראשוניים אי-זוגיים. הגרסה החלשה נובעת מהשערת גולדבך, משום שאפשר לכתוב כל מספר אי-זוגי כסכום של הראשוני 3 ועוד מספר זוגי.

הבעיה תוארה על ידי אדמונד לנדאו כ"בלתי ניתנת להשגה" ב-1912.‏[1] ב-1925 נשא לנדאו בירושלים הרצאה תמציתית בנושא זה לרגל פתיחת מכון איינשטיין למתמטיקה באוניברסיטה העברית.‏[2]

ב-1923 הוכיחו הארדי וליטלווד שאם מניחים את השערת רימן המוכללת, אפשר להציג כל מספר אי-זוגי גדול מספיק כסכום של שלושה ראשוניים. איוואן וינוגרדוב הצליח להסיר את ההנחה ב-1937. הערך הראשון שניתן לקבוע שמעבר לו כל מספר הוא סכום של שלושה ראשוניים עמד על 3^{3^{15}}‏ (Borodzin, 1939), ושופר ל-3.33\cdot 10^{43000}‏ (Chen-Wang, 1989) ואחר-כך ל-\ e^{3100}‏ (Liu-Wang, 2002), אולם הפער בין מספר זה לבין המספר הגדול ביותר שנבדק עד כה נותר גדול. הפער נסגר ב-1997, אולם כל זאת רק אם מניחים את השערת רימן המוכללת.

בשנים 2012 ו-2013 פרסם הרולד הלפגוט צמד מאמרים המשפרים את החסם ל-1030 ללא הנחת השערת רימן המוכללת, ובכך סוגרים את ההשערה באופן מלא.‏[3][4]

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ E. Landau. Geloste und ungeloste Probleme aus der Theorie der Primzahlverteilung und der Riemannschen Zetafunktion. In Proceedings of the fifth Itnernational Congress of Mathematicians, volume 1, pages 93–108. Cambridge, 1912
  2. ^ אדמונד לנדאו. "שאלות פתוחות וסתומות בתורת המספרים האלמנטרית". http://imu.org.il/History/LANDAU/landau.ps
  3. ^ Helfgott, H.A. (2012). "Minor arcs for Goldbach's problem". http://arxiv.org/abs/1205.5252
  4. ^ Helfgott, H.A. (2012). "Major arcs for Goldbach's theorem". http://arxiv.org/abs/1305.2897


P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.