אלגברת הקווטרניונים של המילטון

במתמטיקה, אלגברת הקווטרניונים של המילטון, המסומנת $\mathbb {H}$, היא מבנה אלגברי שאבריו הם מספרים מהצורה $\ a+ib+jc+kd$ כאשר $\ a,b,c,d$ הם מספרים ממשיים, ו-$\ i,j,k$ מקיימים: $i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1\,$. זוהי אלגברת קווטרניונים שמרכזה הוא שדה המספרים הממשיים. את המבנה גילה ב-1843 המתמטיקאי האירי ויליאם רואן המילטון, אשר חיפש דרך לייצג נקודות במרחב בדרך המאפשרת לבצע על הנקודות פעולות חיבור וכפל, לפני המצאת הווקטור.

הקווטרניונים הם הרחבה של שדה המספרים המרוכבים לארבעה ממדים.

שלט המדווח על גילויו של המילטון על גשר ברום

מספרים מרוכבים שימשו לייצוג נקודות במישור הדו ממדי באופן המאפשר ביצוע פעולות חיבור וכפל, והמילטון חיפש דרך לייצג באופן דומה נקודות במרחב התלת-ממדי. נסיונות אלו כשלו, אולם הרחבה למרחב של ארבעה ממדים נמצא בדמות הקוורטניונים. השימוש בקווטרניונים חייב את נטישת חוק החילוף, דבר שהיה מהפכני באותם ימים. בהמשך, פותחו הווקטור והמטריצה והשימוש בקווטרניונים לצורכי הצגה גרפית דעך. עם זאת, עדיין קיימים שימושים בקווטרניונים, למשל בגרפיקת תלת ממד.

תכונות בסיסיות

מתוך השוויון $\ i^{2}=-1$, $\ j^{2}=-1$, $\ k^{2}=-1$, $\ ijk=-1$ נובעים השוויונות הבאים:

$\ ij=k$, אבל $\ ji=-k$;

$\ jk=i$, אבל $\ kj=-i$;

$\ ki=j$, אבל $\ ik=-j$.

קווטרניונים אלה מרכיבים את חבורת הקווטרניונים.

החיבור של שני קווטרניונים הוא: $\left(a_{1}+b_{1}i+c_{1}j+d_{1}k\right)+\left(a_{2}+b_{2}i+c_{2}j+d_{2}k\right)=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})i+(c_{1}+c_{2})j+(d_{1}+d_{2})k$.

הכפל מתקבל לאחר פתיחת הסוגריים ושימוש בזהויות שלעיל. תחת פעולות אלה של חיבור וכפל, הקווטרניונים מהווים חוג. באופן מפתיע, לכל קווטרניון (פרט לקווטרניון האפס) מתאים איבר הפכי, ומה שמונע מהקווטרניונים להיות שדה הוא דווקא אי-קיום תכונת הקומוטטיביות (חילופיות): בהינתן קווטרניונים $\mathbf {A,B}$, קיים $\mathbf {AB} \neq \mathbf {BA}$ (אף שיכולים להיות יוצאי-דופן).

באנלוגיה למספרים מרוכבים, מגדירים צמוד של קווטרניון: $\ {\bar {q}}=a-(bi+cj+dk)$ - וערך מוחלט של קווטרניון: $|q|=|a+(bi+cj+dk)|={\sqrt {q{\bar {q}}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}$. בהתאם לזהות ארבעת הריבועים, $|pq|=|p|\cdot |q|$.

ייצוג מטריציוני וקטורי

דרך אחרת לייצג קווטרניונים היא בייצוג מטריציוני:

${\begin{pmatrix}\;\;\alpha &\beta \\-{\bar {\beta }}&{\bar {\alpha }}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\;\;a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}}=a{\begin{pmatrix}\;\;1&0\\0&1\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}\;\;i&0\\0&-i\end{pmatrix}}+c{\begin{pmatrix}\;\;0&1\\-1&0\end{pmatrix}}+d{\begin{pmatrix}\;\;0&i\\i&0\end{pmatrix}}$. במקרה זה, החיבור והכפל של שני קווטרניונים נעשים לפי הכללים של חיבור וכפל מטריצות.

דרך נוספת להבין קווטרניונים היא להציג אותם כזוג סדור של סקלר ווקטור תלת-ממדי: $\left(\alpha ,{\vec {u}}\right)$. במקרה זה, פעולות החיבור והכפל הן:

$\left(\alpha ,{\vec {u}}\right)+\left(\beta ,{\vec {v}}\right)=\left(\alpha +\beta ,{\vec {u}}+{\vec {v}}\right)$;

$\left(\alpha ,{\vec {u}}\right)\left(\beta ,{\vec {v}}\right)=\left(\alpha \beta -{\vec {u}}\cdot {\vec {v}},\alpha {\vec {v}}+\beta {\vec {u}}+{\vec {u}}\times {\vec {v}}\right)$ - כפל גרסמן. מכאן רואים את הסיבה לאי-חילופיות הכפל בקווטרניונים - אי-חילופיות המכפלה הווקטורית. כמו כן מנוסחה זו נובעות הזהויות הבאות: $(a,0)(b,0)=(ab,0);(a,0)(0,{\vec {v}})=(0,a{\vec {v}})$ והזהות $\left(0,{\vec {u}}\right)\left(0,{\vec {v}}\right)=\left(-{\vec {u}}\cdot {\vec {v}},{\vec {u}}\times {\vec {v}}\right)$, שממנה נגזרו מאוחר יותר הגדרות המכפלה הסקלרית והמכפלה הווקטורית.

קווטרניונים שלמים

אוסף הקווטרניונים מהצורה $\ a+bi+cj+dk$ עבור $\ a,b,c,d\in \mathbb {Z}$ נקרא מסדר ליפשיץ, ואילו האוסף הכולל את אלו יחד עם הקווטרניונים שבהם $\ a,b,c,d\in {\frac {1}{2}}+\mathbb {Z}$ נקרא מסדר הורוויץ. מסדר הורוויץ מהווה מסדר מקסימלי יחיד (עד כדי הצמדה) באלגברת הקווטרניונים הרציונליים $\ \mathbb {Q} [i,j]$, ואפשר להיעזר בתכונות שלו כדי לקבל הוכחה קלה למשפט ארבעת הריבועים של לגרנז'.

אינווריאנטים מקומיים

אלגברת הקווטרניונים של המילטון מתפצלת בכל השלמה של המספרים הרציונליים, פרט ל- $\ \mathbb {Q} _{2}$ ו- $\ \mathbb {R}$.