תת-חבורת הקומוטטורים – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־17:46, 1 במאי 2015

במתמטיקה ובמיוחד באלגברה מופשטת, תת חבורת הקומוטטורים $\ G'$ של חבורה $\ G$ היא התת-חבורה הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים של אברים בחבורה. תת-חבורת הקומוטטורים מודדת עד כמה החבורה היא אבלית: היא טריוויאלית אם ורק אם החבורה אבלית, ובאופן כללי יותר, המנה $\ G/G'$ היא המנה האבלית הגדולה ביותר של G.

הגדרה

הקומוטטור של שני אברים g,h בחבורה G הוא, לפי ההגדרה, האיבר $\ [g,h]=ghg^{-1}h^{-1}$ . תת-חבורת הקומוטטורים של $\ G$ היא החבורה הנוצרת על ידי כל האברים האלה, כלומר, $\ \langle [h,g]|h,g\in G\rangle$ .

את החבורה המתקבלת מסמנים $\ G'$ , או $\ [G,G]$ . הסימון האחרון מאפשר הכללה: אם $\ A,B$ תת-חבורות נורמליות של G, אז $\ [A,B]$ היא תת-החבורה הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים $\ [a,b]$ עבור $\ a\in A,b\in B$ ; גם זו תת-חבורה נורמלית, המוכלת ב- A וב- B.

תכונות

תת-חבורת הקומוטטורים היא התת-חבורה הנורמלית הקטנה ביותר כך שחבורת המנה $\ G/G'$ היא אבלית: לכל תת-חבורה נורמלית $\ N$ של $\ G$ , המנה $\ G/N$ אבלית אם ורק אם $\ G'\subseteq N$ . חבורת המנה $\ G/G'$ נקראת האבליזציה של $\ G$ .

מכיוון שהומומורפיזם $\ f:G\to H$ מעביר קומוטטור לקומוטטור, מתקיימת ההכלה $\ f(G')\subset H'$ . עבור חבורות מנה, ניתן לחשב ש- $\ [A/N,B/N]=[A,B]N/N$ ובפרט $\ (G/N)'=G'N/N$ .

ידוע שכל איבר בתת-חבורת הקומוטטורים הוא "קומוטטור ארוך", מן הצורה $\ a_{1}\dots a_{n}a_{1}^{-1}\dots a_{n}^{-1}$ .

הכללות

פעולת הקומוטטור מאפשרת להגדיר תת-חבורות חשובות של G, באינדוקציה: $\ G^{(0)}:=G$ , ולכל n, $\ G^{(n+1)}:=[G^{(n)},G^{(n)}]$ . בפרט מקצרים וכותבים $\ G'=[G,G]$ , $\ G''=[G',G']$ וכן הלאה. אם סדרה זו מגיעה בסופו של דבר לחבורה הטריוויאלית, אז G היא פתירה. חבורה המקיימת את השוויון $\ G'=G$ נקראת חבורה מושלמת. לדוגמה, תת-חבורת הקומוטטורים של חבורת התמורות $\ S_{n}$ היא חבורת התמורות הזוגיות המתאימה, $\ A_{n}$ , בעוד ש- $\ A_{n}$ מושלמת לכל $\ 5\leq n$ (מפני שהיא פשוטה ולא אבלית).

בדומה לזה, מגדירים $\ G_{n+1}=[G,G_{n}]$ , כאשר $\ G_{1}:=G$ . אם הסדרה הזו מגיעה ל-1, החבורה נילפוטנטית.

החבורה עצמה, והחבורה המתקבלת מלקיחת הקומוטטור של שתי חבורות קומוטטורים מוכללות, נקראת חבורת קומוטטורים מוכללת. פיליפ הול הוכיח^[1] שאם $\psi$ היא נוסחת קומוטטורים מוכללת כך שתמיד $\ [G_{n},G_{n}]\subseteq \psi (G)$ , אז יש מספר בן-מניה של חבורות נוצרות סופית המקיימות $\ \psi (G)=1$ , וכולן מקיימות את תנאי השרשרת העולה על תת-חבורות נורמליות. מאידך אם תמיד $\ \psi (G)\subseteq [G,G'']$ , אז יש מספר שאינו בן-מניה של חבורות נוצרות סופית המקיימות $\ \psi (G)=1$ , ויש ביניהן כאלה שאינן מקיימות את תנאי השרשרת העולה על תת-חבורות נורמליות.

תת-חבורות של קומוטטורים מקיימות את למת שלוש התת-חבורות: לכל שלוש תת-חבורות נורמליות $\ A,B,C$ של $\ G$ , מתקיים $\ [A,[B,C]]\subset [B,[C,A]][C,[A,B]]$ .

האורך בחבורת הקומוטטורים

בדרך כלל, אוסף הקומוטטורים עצמו אינו מהווה חבורה. האורך של איבר בתת-חבורת הקומוטטורים הוא המספר הקטן ביותר של קומוטטורים שיש להכפיל על-מנת לקבל אותו. ב-1962 הוכיח Gallagher^[2] שהאורך של איבר אינו עולה על $\lceil \log _{4}|G'|\rceil$ , וידועים גם חסמים טובים יותר (למשל האורך בחבורות מסדר < 1000 אינו עולה על 2).

המתמטיקאי Oystein Ore שיער (ב-1951) שבחבורה פשוטה סופית, כל איבר הוא קומוטטור (של שני איברים כלשהם בחבורה), והוכיח טענה זו עבור חבורת התמורות הזוגיות $\ A_{n}$ . מאוחר יותר הוכיחו את ההשערה לכל חבורת לי מטיפוס $\ L_{r}(q)$ , עבור $\ q>8$ , ובסופו של דבר (2008), תוך שילוב חסמים תאורטיים וחישוביים על קרקטרים, לכל חבורה פשוטה סופית.

ראו גם

חבורה נילפוטנטית

הערות שוליים

^ Hall, P. Finiteness conditions for soluble groups. Proc. London Math. Soc. (3) 4 (1954), 419–436
^ P. X. Gallagher, Group characters and commutators, Math. Z., 79 (1962), 122-6

[1] Hall, P. Finiteness conditions for soluble groups. Proc. London Math. Soc. (3) 4 (1954), 419–436

[2] P. X. Gallagher, Group characters and commutators, Math. Z., 79 (1962), 122-6

[1]

[2]

@@ שורה 5: / שורה 5: @@
 את החבורה המתקבלת מסמנים <math>\ G'</math>, או <math>\ [G,G]</math>. הסימון האחרון מאפשר הכללה: אם <math>\ A,B</math> תת-חבורות נורמליות של G, אז <math>\ [A,B]</math> היא תת-החבורה הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים <math>\ [a,b]</math> עבור <math>\ a\in A, b\in B</math>; גם זו תת-חבורה נורמלית, המוכלת ב- A וב- B. <br/>
-כעת אפשר להגדיר תת-חבורות חשובות של G, באינדוקציה: <math>\ G^{(0)} := G</math>, ולכל n,
-<math>\ G^{(n+1)} := [G^{(n)},G^{(n)}]</math>.
-אם סדרה זו מגיעה בסופו של דבר לחבורה הטריוויאלית, אז G היא [[חבורה פתירה|פתירה]]. חבורה המקיימת את השוויון
-<math>\ G'=G</math> נקראת '''חבורה מושלמת'''.
-לדוגמה,
-תת-חבורת הקומוטטורים של [[החבורה הסימטרית|חבורת התמורות]] <math>\ S_n</math> היא [[חבורת התמורות הזוגיות]] המתאימה, <math>\ A_n</math>, בעוד ש- <math>\ A_n</math> מושלמת לכל <math>\ 5\leq n</math> (מפני שהיא פשוטה ולא אבלית).
 ==תכונות==
@@ שורה 18: / שורה 11: @@
 מכיוון ש[[הומומורפיזם (אלגברה)#הומומורפיזם בין חבורות|הומומורפיזם]] <math>\ f : G \to H</math> מעביר קומוטטור לקומוטטור, מתקיימת ההכלה <math>\ f(G')\subset H'</math>. עבור חבורות מנה, ניתן לחשב ש- <math>\ [A/N,B/N]=[A,B]N/N</math> ובפרט <math>\ (G/N)'=G'N/N</math>.
-ידוע שכל איבר בתת-חבורת הקומוטטורים הוא "קומוטטור ארוך", מן הצורה <math>\ a_1 \dots a_n a_1^{-1} \dots a_n^{-1}</math>,
+ידוע שכל איבר בתת-חבורת הקומוטטורים הוא "קומוטטור ארוך", מן הצורה <math>\ a_1 \dots a_n a_1^{-1} \dots a_n^{-1}</math>.
-אם כי בדרך כלל, אוסף הקומוטטורים עצמו אינו מהווה חבורה.
+== הכללות ==
-תת-חבורות של קומוטטורים מקיימות את '''למת שלוש התת-חבורות''': לכל שלוש תת-חבורות נורמליות <math>\ A,B,C</math> של <math>\ G</math>, מתקיים <math>\ [A,[B,C]]\subset [B,[C,A]][C,[A,B]]</math>.
+פעולת הקומוטטור מאפשרת להגדיר תת-חבורות חשובות של G, באינדוקציה: <math>\ G^{(0)} := G</math>, ולכל n,
+<math>\ G^{(n+1)} := [G^{(n)},G^{(n)}]</math>. בפרט מקצרים וכותבים <math>\ G' = [G,G]</math>, <math>\ G'' = [G',G']</math> וכן הלאה. אם סדרה זו מגיעה בסופו של דבר לחבורה הטריוויאלית, אז G היא [[חבורה פתירה|פתירה]]. חבורה המקיימת את השוויון
+<math>\ G'=G</math> נקראת '''חבורה מושלמת'''. לדוגמה, תת-חבורת הקומוטטורים של [[החבורה הסימטרית|חבורת התמורות]] <math>\ S_n</math> היא [[חבורת התמורות הזוגיות]] המתאימה, <math>\ A_n</math>, בעוד ש- <math>\ A_n</math> מושלמת לכל <math>\ 5\leq n</math> (מפני שהיא פשוטה ולא אבלית).
+בדומה לזה, מגדירים <math>\ G_{n+1} = [G,G_n]</math>, כאשר <math>\ G_1 := G</math>. אם הסדרה הזו מגיעה ל-1, החבורה [[חבורה נילפוטנטית|נילפוטנטית]].
+החבורה עצמה, והחבורה המתקבלת מלקיחת הקומוטטור של שתי חבורות קומוטטורים מוכללות, נקראת '''חבורת קומוטטורים מוכללת'''. [[פיליפ הול]] הוכיח{{הערה| Hall, P. Finiteness conditions for soluble groups. Proc. London Math. Soc. (3) 4 (1954), 419–436}} שאם <math>\psi</math> היא נוסחת קומוטטורים מוכללת כך שתמיד <math>\ [G_n,G_n] \subseteq \psi(G)</math>, אז יש מספר בן-מניה של חבורות נוצרות סופית המקיימות <math>\ \psi(G)=1</math>, וכולן מקיימות את [[תנאי השרשרת העולה]] על תת-חבורות נורמליות. מאידך אם תמיד <math>\ \psi(G) \subseteq [G,G'']</math>, אז יש מספר שאינו בן-מניה של חבורות נוצרות סופית המקיימות <math>\ \psi(G)=1</math>, ויש ביניהן כאלה שאינן מקיימות את תנאי השרשרת העולה על תת-חבורות נורמליות.
+תת-חבורות של קומוטטורים מקיימות את '''למת שלוש התת-חבורות''': לכל שלוש תת-חבורות נורמליות <math>\ A,B,C</math> של <math>\ G</math>, מתקיים <math>\ [A,[B,C]]\subset [B,[C,A]][C,[A,B]]</math>.
 === האורך בחבורת הקומוטטורים ===
-ה'''אורך''' של איבר בתת-חבורת הקומוטטורים הוא המספר הקטן ביותר של קומוטטורים שיש להכפיל על-מנת לקבל אותו. ב-1962 הוכיח Gallagher{{הערה|P. X. Gallagher, Group characters and commutators, Math. Z., 79 (1962), 122-6}} שהאורך של איבר אינו עולה על <math>\lceil\log_4|G'|\rceil</math>, וידועים גם חסמים טובים יותר (למשל האורך בחבורות מסדר < 1000 אינו עולה על 2).
+בדרך כלל, אוסף הקומוטטורים עצמו אינו מהווה חבורה. ה'''אורך''' של איבר בתת-חבורת הקומוטטורים הוא המספר הקטן ביותר של קומוטטורים שיש להכפיל על-מנת לקבל אותו. ב-1962 הוכיח Gallagher{{הערה|P. X. Gallagher, Group characters and commutators, Math. Z., 79 (1962), 122-6}} שהאורך של איבר אינו עולה על <math>\lceil\log_4|G'|\rceil</math>, וידועים גם חסמים טובים יותר (למשל האורך בחבורות מסדר < 1000 אינו עולה על 2).
 המתמטיקאי Oystein Ore שיער (ב-[[1951]]) שבחבורה פשוטה סופית, כל איבר הוא קומוטטור (של שני איברים כלשהם בחבורה), והוכיח טענה זו עבור [[חבורת התמורות הזוגיות]] <math>\ A_n</math>. מאוחר יותר הוכיחו את ההשערה לכל [[חבורת לי]] מטיפוס <math>\ L_r(q)</math>, עבור <math>\ q>8</math>, ובסופו של דבר (2008), תוך שילוב חסמים תאורטיים וחישוביים על קרקטרים, לכל חבורה פשוטה סופית.

אלגברה מופשטת
ענפים	אלגברה ליניארית • אלגברה בוליאנית • אלגברה דיפרנציאלית • אלגברה הומולוגית • גאומטריה אלגברית • טופולוגיה אלגברית • תורת גלואה • תורת החבורות • תורת החוגים • תורת המספרים האלגברית • תורת הקטגוריות • תורת השדות
מבנים אלגבריים	מאגמה • חבורה למחצה • מונואיד • חבורה • חבורה אַבּלִית • חוג • תחום שלמות • שדה • מודול • מרחב וקטורי • אלגברה (מבנה אלגברי) • אלגברת לי • אלגברת הקווטרניונים של המילטון • אלגברה לא אסוציאטיבית
מושגי יסוד	הומומורפיזם • משפטי האיזומורפיזם • תת-חבורה נורמלית • אידיאל • לוקליזציה • מכפלה טנזורית • הצגה ליניארית