תת-חבורת הקומוטטורים

במתמטיקה ובמיוחד באלגברה מופשטת, תת חבורת הקומוטטורים $\ G'$ של חבורה $\ G$ היא התת-חבורה הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים של אברים בחבורה. תת-חבורת הקומוטטורים מודדת עד כמה החבורה היא אבלית: היא טריוויאלית אם ורק אם החבורה אבלית, ובאופן כללי יותר, המנה $\ G/G'$ היא המנה האבלית הגדולה ביותר של G.

הגדרה

הקומוטטור של שני אברים g,h בחבורה G הוא, לפי ההגדרה, האיבר $\ [g,h]=ghg^{-1}h^{-1}$. תת-חבורת הקומוטטורים של $\ G$ היא החבורה הנוצרת על ידי כל האברים האלה, כלומר, $\ \langle [h,g]|h,g\in G\rangle$.

את החבורה המתקבלת מסמנים $\ G'$, או $\ [G,G]$. הסימון האחרון מאפשר הכללה: אם $\ A,B$ תת-חבורות נורמליות של G, אז $\ [A,B]$ היא תת-החבורה הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים $\ [a,b]$ עבור $\ a\in A,b\in B$; גם זו תת-חבורה נורמלית, המוכלת ב- A וב- B.

תכונות

תת-חבורת הקומוטטורים היא התת-חבורה הנורמלית הקטנה ביותר כך שחבורת המנה $\ G/G'$ היא אבלית: לכל תת-חבורה נורמלית $\ N$ של $\ G$, המנה $\ G/N$ אבלית אם ורק אם $\ G'\subseteq N$. חבורת המנה $\ G/G'$ נקראת האבליזציה של $\ G$.

מכיוון שהומומורפיזם $\ f:G\to H$ מעביר קומוטטור לקומוטטור, מתקיימת ההכלה $\ f(G')\subset H'$. עבור חבורות מנה, ניתן לחשב ש- $\ [A/N,B/N]=[A,B]N/N$ ובפרט $\ (G/N)'=G'N/N$.

ידוע שכל איבר בתת-חבורת הקומוטטורים הוא "קומוטטור ארוך", מן הצורה $\ a_{1}\dots a_{n}a_{1}^{-1}\dots a_{n}^{-1}$.

הכללות

פעולת הקומוטטור מאפשרת להגדיר תת-חבורות חשובות של G, באינדוקציה: $\ G^{(0)}:=G$, ולכל n, $\ G^{(n+1)}:=[G^{(n)},G^{(n)}]$. בפרט מקצרים וכותבים $\ G'=[G,G]$, $\ G''=[G',G']$ וכן הלאה. אם סדרה זו מגיעה בסופו של דבר לחבורה הטריוויאלית, אז G היא פתירה. חבורה המקיימת את השוויון $\ G'=G$ נקראת חבורה מושלמת. לדוגמה, תת-חבורת הקומוטטורים של חבורת התמורות $\ S_{n}$ היא חבורת התמורות הזוגיות המתאימה, $\ A_{n}$, בעוד ש- $\ A_{n}$ מושלמת לכל $\ 5\leq n$ (מפני שהיא פשוטה ולא אבלית).

בדומה לזה, מגדירים $\ G_{n+1}=[G,G_{n}]$, כאשר $\ G_{1}:=G$. אם הסדרה הזו מגיעה ל-1, החבורה נילפוטנטית.

נוסחת קומוטטורים מוכללת היא הנוסחה $\ \psi =x_{1}$, או נוסחה מהצורה $\ \psi =[\psi ',\psi '']$ כאשר $\ \psi ',\psi ''$ הן נוסחאות קומוטטורים מוכללות במשתנים שונים. פיליפ הול הבחין שכל נוסחה כזו שייכת לאחת משתי מחלקות, אלו המקיימות $\ [G_{n},G_{n}]\subseteq \psi (G)$ (לכל חבורה G), ואלו המקיימות $\ \psi (G)\subseteq [G,G'']$; והוכיח שבמקרה הראשון יש מספר בן-מניה של חבורות נוצרות סופית המקיימות $\ \psi (G)=1$, וכולן מקיימות את תנאי השרשרת העולה על תת-חבורות נורמליות; ובמקרה השני יש מספר שאינו בן-מניה של חבורות נוצרות סופית המקיימות $\ \psi (G)=1$, ויש ביניהן כאלה שאינן מקיימות את תנאי השרשרת העולה על תת-חבורות נורמליות.

תת-חבורות של קומוטטורים מקיימות את למת שלוש התת-חבורות: לכל שלוש תת-חבורות נורמליות $\ A,B,C$ של $\ G$, מתקיים $\ [A,[B,C]]\subset [B,[C,A]][C,[A,B]]$.

האורך בחבורת הקומוטטורים

בדרך כלל, אוסף הקומוטטורים עצמו אינו מהווה חבורה. האורך של איבר בתת-חבורת הקומוטטורים הוא המספר הקטן ביותר של קומוטטורים שיש להכפיל על-מנת לקבל אותו. ב-1962 הוכיח Gallagher שהאורך של איבר אינו עולה על $\lceil \log _{4}|G'|\rceil$, וידועים גם חסמים טובים יותר (למשל האורך בחבורות מסדר < 1000 אינו עולה על 2).

המתמטיקאי Oystein Ore שיער (ב-1951) שבחבורה פשוטה סופית, כל איבר הוא קומוטטור (של שני איברים כלשהם בחבורה), והוכיח טענה זו עבור חבורת התמורות הזוגיות $\ A_{n}$. מאוחר יותר הוכיחו את ההשערה לכל חבורת לי מטיפוס $\ L_{r}(q)$, עבור $\ q>8$, ובסופו של דבר (2008), תוך שילוב חסמים תאורטיים וחישוביים על קרקטרים, לכל חבורה פשוטה סופית.

ראו גם

• חבורה נילפוטנטית