תת-חבורת הקומוטטורים – הבדלי גרסאות
מ בוט החלפות: \1אפ\2 |
מ הגהה, עריכת נוסחאות |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
{{פישוט}} |
{{פישוט}} |
||
ב[[מתמטיקה]] ובמיוחד ב[[אלגברה מופשטת]], '''תת חבורת הקומוטטורים''' <math>G'</math> של [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] <math>G</math> היא התת-חבורה ה[[יוצרים של חבורה|נוצרת]] על ידי כל ה[[קומוטטור|קומוטטורים]] של איברים בחבורה. תת-חבורת הקומוטטורים מודדת עד כמה החבורה היא [[חבורה אבלית|אבלית]]: היא [[טריוויאלי (מתמטיקה)|טריוויאלית]] אם ורק אם החבורה אבלית, ובאופן כללי יותר, ה[[חבורת מנה|מנה]] <math>G/G'</math> היא המנה האבלית הגדולה ביותר של G. |
ב[[מתמטיקה]] ובמיוחד ב[[אלגברה מופשטת]], '''תת חבורת הקומוטטורים''' <math>G'</math> של [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] <math>G</math> היא התת-חבורה ה[[יוצרים של חבורה|נוצרת]] על ידי כל ה[[קומוטטור|קומוטטורים]] של איברים בחבורה. תת-חבורת הקומוטטורים מודדת עד כמה החבורה היא [[חבורה אבלית|אבלית]]: היא [[טריוויאלי (מתמטיקה)|טריוויאלית]] אם ורק אם החבורה אבלית, ובאופן כללי יותר, ה[[חבורת מנה|מנה]] <math>G/G'</math> היא המנה האבלית הגדולה ביותר של <math>G</math>. |
||
איבר כללי בתת-חבורת הקומוטטורים הוא מכפלה כלשהי של קומוטטורים. קיים אפיון נוסף, לפיו איבר כללי של תת-חבורת הקומוטטורים הוא מכפלה שעל ידי סידור מחודש היא היחידה. כלומר מכפלה <math>g_1 \cdot g_2 \cdot \dots \cdot g_n</math> שכך שיש [[תמורה (מתמטיקה)|תמורה]] <math>\pi</math> המקיימת <math>g_{\pi(1)} \cdot g_{\pi(2)} \cdot \dots \cdot g_{\pi(n)} = e</math> כאשר <math>e</math> הוא איבר היחידה בחבורה. |
איבר כללי בתת-חבורת הקומוטטורים הוא מכפלה כלשהי של קומוטטורים. קיים אפיון נוסף, לפיו איבר כללי של תת-חבורת הקומוטטורים הוא מכפלה שעל ידי סידור מחודש היא היחידה. כלומר מכפלה <math>g_1 \cdot g_2 \cdot \dots \cdot g_n</math> שכך שיש [[תמורה (מתמטיקה)|תמורה]] <math>\pi</math> המקיימת <math>g_{\pi(1)} \cdot g_{\pi(2)} \cdot \dots \cdot g_{\pi(n)} = e</math> כאשר <math>e</math> הוא איבר היחידה בחבורה. |
||
שורה 14: | שורה 14: | ||
==הכללות== |
==הכללות== |
||
פעולת הקומוטטור מאפשרת להגדיר תת-חבורות חשובות של G, באינדוקציה: <math>G^{(0)} := G</math>, ולכל n, <math>G^{(n+1)} := [G^{(n)},G^{(n)}]</math>. בפרט מקצרים וכותבים <math>G' = [G,G]</math>, <math>G'' = [G',G']</math> וכן הלאה. אם סדרה זו מגיעה בסופו של דבר לחבורה הטריוויאלית, אז G היא [[חבורה פתירה|פתירה]]. חבורה המקיימת את השוויון |
פעולת הקומוטטור מאפשרת להגדיר תת-חבורות חשובות של <math>G</math>, באינדוקציה: <math>G^{(0)} := G</math>, ולכל <math>n</math>, <math>G^{(n+1)} := [G^{(n)},G^{(n)}]</math>. בפרט מקצרים וכותבים <math>G' = [G,G]</math>, <math>G'' = [G',G']</math> וכן הלאה. אם סדרה זו מגיעה בסופו של דבר לחבורה הטריוויאלית, אז <math>G</math> היא [[חבורה פתירה|פתירה]]. חבורה המקיימת את השוויון |
||
<math>G'=G</math> נקראת '''חבורה מושלמת'''. לדוגמה, תת-חבורת הקומוטטורים של [[החבורה הסימטרית|חבורת התמורות]] <math>S_n</math> היא [[חבורת התמורות הזוגיות]] המתאימה, <math>A_n</math>, בעוד ש- |
<math>G'=G</math> נקראת '''חבורה מושלמת'''. לדוגמה, תת-חבורת הקומוטטורים של [[החבורה הסימטרית|חבורת התמורות]] <math>S_n</math> היא [[חבורת התמורות הזוגיות]] המתאימה, <math>A_n</math>, בעוד ש-<math>A_n</math> מושלמת לכל <math>5\leq n</math> (מפני שהיא פשוטה ולא אבלית). |
||
בדומה לזה, מגדירים <math>G_{n+1} = [G,G_n]</math>, כאשר <math>G_1 := G</math>. אם הסדרה הזו מגיעה ל-1, החבורה [[חבורה נילפוטנטית|נילפוטנטית]]. |
בדומה לזה, מגדירים <math>G_{n+1} = [G,G_n]</math>, כאשר <math>G_1 := G</math>. אם הסדרה הזו מגיעה ל-1, החבורה [[חבורה נילפוטנטית|נילפוטנטית]]. |
||
'''נוסחת קומוטטורים מוכללת''' היא הנוסחה <math>\psi = x_1</math>, או נוסחה מהצורה <math>\psi = [\psi',\psi'']</math> כאשר <math>\psi',\psi''</math> הן נוסחאות קומוטטורים מוכללות במשתנים שונים. [[פיליפ הול]] הבחין שכל נוסחה כזו שייכת לאחת משתי מחלקות, אלו המקיימות <math>[G_n,G_n] \subseteq \psi(G)</math> (לכל חבורה G), ואלו המקיימות <math>\psi(G) \subseteq [G,G'']</math>; והוכיח{{הערה| Hall, P. Finiteness conditions for soluble groups. Proc. London Math. Soc. (3) 4 (1954), 419–436}} שבמקרה הראשון יש מספר בן-מניה של חבורות נוצרות סופית המקיימות <math>\psi(G)=1</math>, וכולן מקיימות את [[תנאי השרשרת העולה]] על תת-חבורות נורמליות; ובמקרה השני יש מספר שאינו בן-מניה של חבורות נוצרות סופית המקיימות <math>\psi(G)=1</math>, ויש ביניהן כאלה שאינן מקיימות את תנאי השרשרת העולה על תת-חבורות נורמליות. |
'''נוסחת קומוטטורים מוכללת''' היא הנוסחה <math>\psi = x_1</math>, או נוסחה מהצורה <math>\psi = [\psi',\psi'']</math> כאשר <math>\psi',\psi''</math> הן נוסחאות קומוטטורים מוכללות במשתנים שונים. [[פיליפ הול]] הבחין שכל נוסחה כזו שייכת לאחת משתי מחלקות, אלו המקיימות <math>[G_n,G_n] \subseteq \psi(G)</math> (לכל חבורה <math>G</math>), ואלו המקיימות <math>\psi(G) \subseteq [G,G'']</math>; והוכיח{{הערה| Hall, P. Finiteness conditions for soluble groups. Proc. London Math. Soc. (3) 4 (1954), 419–436}} שבמקרה הראשון יש מספר בן-מניה של חבורות נוצרות סופית המקיימות <math>\psi(G)=1</math>, וכולן מקיימות את [[תנאי השרשרת העולה]] על תת-חבורות נורמליות; ובמקרה השני יש מספר שאינו בן-מניה של חבורות נוצרות סופית המקיימות <math>\psi(G)=1</math>, ויש ביניהן כאלה שאינן מקיימות את תנאי השרשרת העולה על תת-חבורות נורמליות. |
||
תת-חבורות של קומוטטורים מקיימות את '''למת שלוש התת-חבורות''': לכל שלוש תת-חבורות נורמליות <math>A,B,C</math> של <math>G</math>, מתקיים <math>[A,[B,C]]\subset [B,[C,A]][C,[A,B]]</math>. |
תת-חבורות של קומוטטורים מקיימות את '''למת שלוש התת-חבורות''': לכל שלוש תת-חבורות נורמליות <math>A,B,C</math> של <math>G</math>, מתקיים <math>[A,[B,C]]\subset [B,[C,A]][C,[A,B]]</math>. |
גרסה מ־08:54, 22 במאי 2020
יש לפשט ערך זה: הערך מנוסח באופן טכני מדי, וקשה להבנה לקהל הרחב.
| ||
יש לפשט ערך זה: הערך מנוסח באופן טכני מדי, וקשה להבנה לקהל הרחב. | |
במתמטיקה ובמיוחד באלגברה מופשטת, תת חבורת הקומוטטורים של חבורה היא התת-חבורה הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים של איברים בחבורה. תת-חבורת הקומוטטורים מודדת עד כמה החבורה היא אבלית: היא טריוויאלית אם ורק אם החבורה אבלית, ובאופן כללי יותר, המנה היא המנה האבלית הגדולה ביותר של .
איבר כללי בתת-חבורת הקומוטטורים הוא מכפלה כלשהי של קומוטטורים. קיים אפיון נוסף, לפיו איבר כללי של תת-חבורת הקומוטטורים הוא מכפלה שעל ידי סידור מחודש היא היחידה. כלומר מכפלה שכך שיש תמורה המקיימת כאשר הוא איבר היחידה בחבורה.
הגדרה
הקומוטטור של שני איברים בחבורה הוא האיבר . תת-חבורת הקומוטטורים של היא החבורה הנוצרת . את החבורה המתקבלת מסמנים או . הסימון האחרון רומז שלחבורה יש תפקיד כפול בהגדרת הקומוטטור, מה שמאפשר הכללה: אם תת-חבורות נורמליות של , אז היא תת-החבורה הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים עבור ; גם זו תת-חבורה נורמלית הן של הן של .
תכונות
תת-חבורת הקומוטטורים היא התת-חבורה הנורמלית הקטנה ביותר כך שחבורת המנה היא אבלית. כלומר, לכל תת-חבורה נורמלית של , המנה אבלית אם ורק אם . זהו למעשה אפיון שקול לתת-חבורת הקומוטטורים. חבורת המנה נקראת האבליזציה של .
מכיוון שהומומורפיזם מעביר קומוטטור לקומוטטור, מתקיימת ההכלה . בפרט עבור חבורות מנה ביחס להומומורפיזם המנה, ניתן לחשב ש- ובפרט .
הכללות
פעולת הקומוטטור מאפשרת להגדיר תת-חבורות חשובות של , באינדוקציה: , ולכל , . בפרט מקצרים וכותבים , וכן הלאה. אם סדרה זו מגיעה בסופו של דבר לחבורה הטריוויאלית, אז היא פתירה. חבורה המקיימת את השוויון נקראת חבורה מושלמת. לדוגמה, תת-חבורת הקומוטטורים של חבורת התמורות היא חבורת התמורות הזוגיות המתאימה, , בעוד ש- מושלמת לכל (מפני שהיא פשוטה ולא אבלית).
בדומה לזה, מגדירים , כאשר . אם הסדרה הזו מגיעה ל-1, החבורה נילפוטנטית.
נוסחת קומוטטורים מוכללת היא הנוסחה , או נוסחה מהצורה כאשר הן נוסחאות קומוטטורים מוכללות במשתנים שונים. פיליפ הול הבחין שכל נוסחה כזו שייכת לאחת משתי מחלקות, אלו המקיימות (לכל חבורה ), ואלו המקיימות ; והוכיח[1] שבמקרה הראשון יש מספר בן-מניה של חבורות נוצרות סופית המקיימות , וכולן מקיימות את תנאי השרשרת העולה על תת-חבורות נורמליות; ובמקרה השני יש מספר שאינו בן-מניה של חבורות נוצרות סופית המקיימות , ויש ביניהן כאלה שאינן מקיימות את תנאי השרשרת העולה על תת-חבורות נורמליות.
תת-חבורות של קומוטטורים מקיימות את למת שלוש התת-חבורות: לכל שלוש תת-חבורות נורמליות של , מתקיים .
האורך בחבורת הקומוטטורים
בדרך כלל, אוסף הקומוטטורים עצמו אינו מהווה חבורה. האורך של איבר בתת-חבורת הקומוטטורים הוא המספר הקטן ביותר של קומוטטורים שיש להכפיל על-מנת לקבל אותו. ב-1962 הוכיח Gallagher[2] שהאורך של איבר אינו עולה על , וידועים גם חסמים טובים יותר (למשל האורך בחבורות מסדר < 1000 אינו עולה על 2).
המתמטיקאי Oystein Ore שיער (ב-1951) שבחבורה פשוטה סופית, כל איבר הוא קומוטטור (של שני איברים כלשהם בחבורה), והוכיח טענה זו עבור חבורת התמורות הזוגיות . מאוחר יותר הוכיחו את ההשערה לכל חבורת לי מטיפוס , עבור . בשנת 2008 ההשערה הוכחה לכל חבורה פשוטה סופית, באמצעות שילוב חסמים תאורטיים וחישוביים על קרקטרים.[3]
ראו גם
קישורים חיצוניים
- תת-חבורת הקומוטטורים, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
- תת-חבורת הקומוטטורים, באתר MathWorld (באנגלית)
הערות שוליים
- ^ Hall, P. Finiteness conditions for soluble groups. Proc. London Math. Soc. (3) 4 (1954), 419–436
- ^ P. X. Gallagher, Group characters and commutators, Math. Z., 79 (1962), 122-6
- ^ Liebeck, Martin & A. O’Brien, E & Shalev, Aner & Tiep, Pham. (2010). The Ore conjecture, Journal of The European Mathematical Society - J EUR MATH SOC. 12. 939-1008. 10.4171/JEMS/220.
אלגברה מופשטת | ||
---|---|---|
ענפים | אלגברה ליניארית • אלגברה בוליאנית • אלגברה דיפרנציאלית • אלגברה הומולוגית • גאומטריה אלגברית • טופולוגיה אלגברית • תורת גלואה • תורת החבורות • תורת החוגים • תורת המספרים האלגברית • תורת הקטגוריות • תורת השדות | |
מבנים אלגבריים | מאגמה • חבורה למחצה • מונואיד • חבורה • חבורה אַבּלִית • חוג • תחום שלמות • שדה • מודול • מרחב וקטורי • אלגברה (מבנה אלגברי) • אלגברת לי • אלגברת הקווטרניונים של המילטון • אלגברה לא אסוציאטיבית | |
מושגי יסוד | הומומורפיזם • משפטי האיזומורפיזם • תת-חבורה נורמלית • אידיאל • לוקליזציה • מכפלה טנזורית • הצגה ליניארית |