בחשבון אינפיניטסימלי, משפט קנטור (הידוע גם כמשפט קנטור-היינה) על רציפות במידה שווה קובע כי פונקציה שהיא רציפה על קטע סגור היא רציפה במידה שווה בו.
המשפט נותר נכון גם אם נחליף את הקטע בכל קבוצה קומפקטית: כל פונקציה רציפה מקבוצה קומפקטית למרחב מטרי, היא רציפה במידה שווה.
נציג כאן הוכחה המתבססת על ההגדרה של היינה לרציפות: פונקציה
היא רציפה בנקודה
אם ורק אם עבור כל סדרה
השואפת לנקודה זו,
מתקיים
. כלומר, ערכי תמונות איברי הסדרה שואפים לתמונת גבול הסדרה.
תהא כעת
פונקציה רציפה בקטע הסגור
. נניח בשלילה כי היא אינה רציפה במידה שווה בקטע זה, אז קיים
כך שעבור כל
קיימות שתי נקודות
כך שמתקיים
, אבל
.
נביט כעת בסדרה
. כל אברי הסדרה שייכים לקטע
, כלומר זוהי סדרה חסומה. על פי משפט בולצאנו ויירשטראס, כל סדרה חסומה מכילה תת-סדרה המתכנסת לגבול סופי. מסגירות הקטע נובע שגבול הסדרה נמצא בתוכו, כלומר
.
כעת נוכיח כי
- כלומר, אם אנו לוקחים מהסדרה השנייה תת-סדרה שלאיבריה אותם האינדקסים כמו לתת הסדרה הראשונה, גם היא תתכנס לאותו גבול.
כיוון ש-
נובע כי
, כלומר סדרת ההפרשים שואפת לאפס ומאריתמטיקה של גבולות נובע כי
על פי רציפות
, מתקיים:
. מאריתמטיקה של גבולות נקבל
, וזו סתירה לכך שמתקיים
לכל אברי הסדרות. לכן ההנחה שהפונקציה אינה רציפה במידה שווה איננה נכונה, וההוכחה הושלמה.