משתמש:Asaf M/מתמטיקה בעולם האסלאם של ימי הביניים

המתמטיקה בתקופת תור הזהב של האסלאם, במיוחד במהלך המאות ה-9 וה-10, התבססה על מתמטיקה יוונית ( אוקלידס, ארכימדס, אפולוניוס ) ומתמטיקה הודית ( אריאבהטה, ברהמגופטה ). הושגה התקדמות חשובה, כגון פיתוח מלא של מערכת הערכים-המקום העשרוני לכלול שברים עשרוניים, המחקר השיטתי הראשון של האלגברה, והתקדמות בגיאומטריה ובטריגונומטריה .

יצירות ערביות מילאו תפקיד חשוב בהעברת המתמטיקה לאירופה במהלך המאות ה-10-12. ^[1]

מושגים[עריכת קוד מקור | עריכה]

"משוואות מעוקבות והצטלבויות של חתכים חרוטיים" של עומר כיאם, העמוד הראשון של כתב היד בן שני הפרקים השמור באוניברסיטת טהראן

אַלגֶבּרָה[עריכת קוד מקור | עריכה]

"אולי אחת ההתקדמות המשמעותיות ביותר שעשתה המתמטיקה הערבית החלה בתקופה זו בעבודתו של אל-ח'ואריזמי, כלומר ראשית האלגברה. חשוב להבין עד כמה הרעיון החדש הזה היה משמעותי. זה היה צעד מהפכני הרחק מ המושג היווני של מתמטיקה שהיה במהותו גיאומטריה. אלגברה הייתה תיאוריה מאחדת שאפשרה להתייחס למספרים רציונליים, מספרים אי-רציונלייםים, גדלים גיאומטריים וכו', כולם כאל "עצמים אלגבריים". מתמטיקה נתיב התפתחות חדש לגמרי במושג רחב יותר מזה שהיה קיים קודם לכן, וסיפק כלי לפיתוח עתידי של הנושא. היבט חשוב נוסף של הצגת רעיונות אלגבריים היה שהוא אפשר ליישם את המתמטיקה על עצמה ב דרך שלא קרתה קודם לכן".

חקר האלגברה, ששמה נגזר מהמילה הערבית שמשמעותה השלמה או "איחוד של חלקים שבורים", ^[2] שגשג במהלך תור הזהב האיסלאמי . מוחמד בן מוסא אל-ח'ואריזמי, מלומד פרסי בבית החוכמה בבגדד היה מייסד האלגברה, הוא יחד עם המתמטיקאי היווני דיופאנטוס, הידוע כאבי האלגברה. בספרו The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing, אל-חוואריזמי עוסק בדרכים לפתרון השורשים החיוביים של משוואות פולינומיות מדרגה ראשונה ושנייה (לינארית וריבועית). הוא מציג את שיטת ההפחתה, ובניגוד לדיופנטוס, נותן גם פתרונות כלליים למשוואות בהן הוא עוסק. ^[3] ^[4] ^[5]

האלגברה של אל-ח'ואריזמי הייתה רטורית, מה שאומר שהמשוואות נכתבו במשפטים מלאים. זה לא היה כמו העבודה האלגברית של דיופנטוס, שהייתה מסונכרנת, כלומר נעשה שימוש בסמליות מסוימת. ניתן לראות את המעבר לאלגברה סמלית, שבה משתמשים רק בסמלים, בעבודתם של אבן אל-בנא אל-מרקושי ואבו אל-חסאן בן אל-כלאדי . ^[5]

על העבודה שעשו אל-ח'ואריזמי, ג'יי ג'יי אוקונור ואדמונד פ. רוברטסון אמרו:

"Perhaps one of the most significant advances made by Arabic mathematics began at this time with the work of al-Khwarizmi, namely the beginnings of algebra. It is important to understand just how significant this new idea was. It was a revolutionary move away from the Greek concept of mathematics which was essentially geometry. Algebra was a unifying theory which allowed rational numbers, irrational numbers, geometrical magnitudes, etc., to all be treated as "algebraic objects". It gave mathematics a whole new development path so much broader in concept to that which had existed before, and provided a vehicle for the future development of the subject. Another important aspect of the introduction of algebraic ideas was that it allowed mathematics to be applied to itself in a way which had not happened before."

— MacTutor History of Mathematics archive

כמה מתמטיקאים אחרים במהלך תקופה זו הרחיבו את האלגברה של אל-חוואריזמי. אבו כמיל שוג'א כתב ספר אלגברה מלווה באיורים גיאומטריים והוכחות. הוא גם מנה את כל הפתרונות האפשריים לחלק מבעיותיו. אבו אל-ג'וד, עומר כיאם, יחד עם שרף אל-דין אל-תוסי, מצאו מספר פתרונות של המשוואה המעוקבת . עומר כיאם מצא את הפתרון הגיאומטרי הכללי של משוואת מעוקב.
שגיאות פרמטריות בתבנית:מקור
שימוש בפרמטרים מיושנים [ תאריך ] ^[^{דרוש מקור}^{][מפני ש...]}</link>

עומר כיאם (בסביבות 1038/48 באיראן – 1123/24) ^[6] כתב את החיבור על הדגמת בעיות האלגברה המכיל את הפתרון השיטתי של משוואות מעוקב או מסדר שלישי, מעבר לאלגברה של אל-ח'וואריזמי. ^[7] Khayyam השיג את הפתרונות של משוואות אלה על ידי מציאת נקודות החיתוך של שני חתכים חרוטיים . שיטה זו הייתה בשימוש על ידי היוונים, ^[8] אך הם לא הכלילו את השיטה כך שתכסה את כל המשוואות עם שורשים חיוביים. ^[7]

שרף אל-דין אל-סיסי (? בטוס, איראן – 1213/4) פיתח גישה חדשה לחקר משוואות מעוקבות - גישה שכללה מציאת הנקודה שבה פולינום מעוקב מקבל את ערכו המרבי. למשל, לפתור את המשוואה $\ x^{3}+a=bx$ , עם a ו- b חיוביים, הוא יציין כי הנקודה המקסימלית של העקומה $\ y=bx-x^{3}$ מתרחש ב $x=\textstyle {\sqrt {\frac {b}{3}}}$ , וכי למשוואה לא יהיו פתרונות, פתרון אחד או שני פתרונות, תלוי אם גובה העקומה באותה נקודה היה קטן מ-, שווה או גדול מ- a . עבודותיו ששרדו אינן נותנות אינדיקציה כיצד גילה את הנוסחאות שלו למקסימום של עקומות אלה. השערות שונות הוצעו כדי להסביר את גילויו שלהם. ^[9]

הַשׁרָאָה[עריכת קוד מקור | עריכה]

העקבות המרומזים המוקדמים ביותר של אינדוקציה מתמטית ניתן למצוא בהוכחה של אוקלידס שמספר הראשוניים הוא אינסופי (בערך 300 לפני הספירה). הניסוח המפורש הראשון של עקרון האינדוקציה ניתן על ידי פסקל ב- Traité du triangle arithmetique שלו (1665).

בין לבין, הוכחה מרומזת באינדוקציה לרצפים אריתמטיים הוצגה על ידי אל-קאראג'י (בערך 1000) והמשיכה על ידי אל-סמאואל, שהשתמש בה למקרים מיוחדים של המשפט הבינומי ומאפייני המשולש של פסקל .

מספרים אי - רציונליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

היוונים גילו מספרים אי-רציונליים, אך לא היו מרוצים מהם והצליחו להתמודד רק על ידי הבחנה בין גודל ומספר . בתפיסה היוונית, הגדלים השתנו ללא הרף וניתן היה להשתמש בהם עבור ישויות כמו קטעי קו, בעוד המספרים היו בדידים. לפיכך, אי-רציונליים ניתן לטפל רק בצורה גיאומטרית; ואכן המתמטיקה היוונית הייתה בעיקרה גיאומטרית. מתמטיקאים איסלאמיים, כולל אבו קאמיל שוג'א, בן אסלם ואבן טאהיר אל-בגדאדי, הסירו לאט לאט את ההבחנה בין גודל ומספר, ואפשרו לכמויות אי-רציונליות להופיע כמקדמים במשוואות ולהוות פתרונות של משוואות אלגבריות. ^[10] הם עבדו בחופשיות עם אי-רציונלים כאובייקטים מתמטיים, אבל הם לא בחנו מקרוב את טבעם. ^[11]

במאה השתים עשרה, תרגומים הלטיניים של אריתמטיקה של אל-חוואריזמי על הספרות ההודיות הציגו לעולם המערבי את מערכת המספרים העשרוניים.[12] ספרו הקומנדיוזי על חישוב על ידי השלמה ואיזון הציג את הפתרון השיטתי הראשון של משוואות ליניאריות וריבועיות. באירופה הרנסנס, הוא נחשב לממציא המקורי של האלגברה, למרות שכיום ידוע שעבודתו מבוססת על מקורות הודים או יווניים ישנים יותר.[13] הוא תיקן את הגיאוגרפיה של תלמי וכתב על אסטרונומיה ואסטרולוגיה. אולם, C.A. נאלינו מציע שיצירתו המקורית של אל-חוואריזמי לא התבססה על תלמי אלא על מפת עולם נגזרת, ככל הנראה בסורית או בערבית.

טריגונומטריה כדורית[עריכת קוד מקור | עריכה]

החוק הכדורי של סינוס התגלה במאה ה-10: הוא יוחס באופן שונה לאבו-מחמוד חוג'אנדי, נאסיר אלדין אל-תוסי ואבו נאסר מנצור, עם אבו אל-ופא בוז'אני כתורם. ^[10] ספרו של אבן מואד אל-ג'יאני ספר של קשתות כדור לא ידועות במאה ה-11 הציג את חוק הסינוסים הכללי. חוק המישור של סינוסים תואר במאה ה-13 על ידי נסיר אל-דין אל-תוסי . בספרו On the Sector Figure, הוא קבע את חוק הסינוסים עבור משולשים מישוריים וכדוריים וסיפק הוכחות לחוק זה. ^[12]

מספרים שליליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

במאה ה-9, המתמטיקאים האסלאמיים הכירו מספרים שליליים מיצירותיהם של מתמטיקאים הודים, אך ההכרה והשימוש במספרים שליליים בתקופה זו נותרו ביישנים. ^[13] אל-ח'ואריזמי לא השתמש במספרים שליליים או במקדמים שליליים. ^[13] אבל תוך חמישים שנה המחיש אבו כמיל את כללי הסימנים להרחבת הכפל $(a\pm b)(c\pm d)$ . ^[14] אל-קראג'י כתב בספרו אל-פח'רי כי "יש לספור כמויות שליליות כמונחים". ^[13] במאה ה-10, אבו אל-ופא אל-בוז'אני ראה חובות כמספרים שליליים בספר על מה נחוץ ממדע החשבון לסופרים ואנשי עסקים . ^[14]

עד המאה ה-12, יורשיו של אל-קראג'י היו אמורים לציין את הכללים הכלליים של הסימנים ולהשתמש בהם כדי לפתור חלוקות פולינומיות . ^[13] כפי שכתב אל-סמאואל :

המכפלה של מספר שלילי - al-nāqiṣ - במספר חיובי - al-zāʾid - הוא שלילי, ולפי מספר שלילי הוא חיובי. אם נחסר מספר שלילי ממספר שלילי גבוה יותר, השאר הוא ההפרש השלילי שלהם. ההפרש נשאר חיובי אם נחסר מספר שלילי ממספר שלילי נמוך יותר. אם נחסר מספר שלילי ממספר חיובי, השאר הוא הסכום החיובי שלהם. אם נחסר מספר חיובי מחזק ריק ( martaba khāliyya ), השארית היא אותה שלילית, ואם נחסר מספר שלילי מחזקת ריקה, השארית היא אותו מספר חיובי. ^[13]

עמדת שקר כפולה[עריכת קוד מקור | עריכה]

בין המאות ה-9 וה-10 כתב המתמטיקאי המצרי אבו קמיל חיבור שאבד כעת על השימוש בעמדה כפולה כפולה, הידוע כספר שתי השגיאות ( Kitāb al-khaṭāʾayn ). הכתב העתיק ביותר ששרד על עמדה כוזבת כפולה מהמזרח התיכון הוא זה של קוסטה אבן לוקה (המאה ה-10), מתמטיקאי ערבי מבעלבק, לבנון . הוא הצדיק את הטכניקה בהוכחה גיאומטרית רשמית בסגנון אוקלידי . במסגרת המסורת של המתמטיקה המוסלמית של תור הזהב, עמדת שקר כפולה הייתה ידועה בשם חיסאב אל-ח'א'איין ("חשבון לפי שתי שגיאות"). זה שימש במשך מאות שנים כדי לפתור בעיות מעשיות כמו שאלות מסחריות ומשפטיות (מחיצות רכוש על פי כללי הירושה הקוראנית ), כמו גם בעיות פנאי גרידא. האלגוריתם נשנן לעתים קרובות בעזרת זכרונות זיכרון, כגון פסוק המיוחס לאבן אל-יסאמין ודיאגרמות של קנה מידה שיווי משקל שהוסברו על ידי אל-חסאר ואבן אל-בנא, שהיו כל אחד מתמטיקאים ממוצא מרוקאי .

דמויות מרכזיות אחרות[עריכת קוד מקור | עריכה]

סאלי פ. רג'פ, היסטוריונית של המדע באיסלאם, העריכה בשנת 2019 ש"עשרות אלפי" כתבי יד בערבית במדעי המתמטיקה והפילוסופיה נותרו לא נקראים, מה שנותנים מחקרים ש"משקפים הטיות אינדיבידואליות והתמקדות מוגבלת במעט יחסית טקסטים מלומדים". ^[15] </link>

עבד אל חמיד בן טורק (פל. 830) (ריבוע)
תאב בן קורה (826–901)
סינד בן עלי (נפטר לאחר 864)
איסמעיל אל-ג'זארי (1136–1206)
אבו סאהל אל-קוהי (בסביבות 940–1000) (מרכזי כובד)
אבו'ל-חסן אל-אוקלידיסי (952–953) (חשבון)
עבד אל-עזיז אל-קאביסי (נפטר 967)
אבן אל-חית'ם (בערך 965–1040)
אבו אל-ראיאן אל-בירוני (973–1048) (טריגונומטריה)
אבן מאח (בערך 1116–1196)
Jamshid al-Kāshī (בערך 1380–1429) (עשרונים ואומדן קבוע המעגל)

ראה גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

ספרות ערביות
השפעה הודית על מתמטיקה אסלאמית באיסלאם של ימי הביניים
היסטוריה של חשבון
היסטוריה של גיאומטריה
מדע בעולם האסלאמי של ימי הביניים
ציר זמן של מדע והנדסה בעולם המוסלמי

הפניות[עריכת קוד מקור | עריכה]

המכפלה של מספר שלילי - al-nāqiṣ - במספר חיובי - al-zāʾid - הוא שלילי, ולפי מספר שלילי הוא חיובי. אם נחסר מספר שלילי ממספר שלילי גבוה יותר, השאר הוא ההפרש השלילי שלהם. ההפרש נשאר חיובי אם נחסר מספר שלילי ממספר שלילי נמוך יותר. אם נחסר מספר שלילי ממספר חיובי, השאר הוא הסכום החיובי שלהם. אם נחסר מספר חיובי מחזק ריק ( martaba khāliyya ), השארית היא אותה שלילית, ואם נחסר מספר שלילי מחזקת ריקה, השארית היא אותו מספר חיובי. ^[13] [[קטגוריה:תור הזהב של האסלאם]] [[קטגוריה:ציטוט מקור בשפה זרה (גרמנית)]] [[קטגוריה:ציטוט מקור בשפה זרה (איטלקית)]] [[קטגוריה:דפים עם תרגומים שלא נסקרו]]

^ Lumpkin, Beatrice; Zitler, Siham (1992). "Cairo: Science Academy of the Middle Ages". In Van Sertima, Ivan (ed.). Golden age of the Moor, Volume 11. Transaction Publishers. p. 394. ISBN 1-56000-581-5. "The Islamic mathematicians exercised a prolific influence on the development of science in Europe, enriched as much by their own discoveries as those they had inherited by the Greeks, the Indians, the Syrians, the Babylonians, etc."
^ "algebra". Online Etymology Dictionary.
^ Boyer 1991, p. 228.
^ Swetz, Frank J. (1993). Learning Activities from the History of Mathematics. Walch Publishing. p. 26. ISBN 978-0-8251-2264-4.
^ ¹ ² Gullberg, Jan (1997). Mathematics: From the Birth of Numbers. W. W. Norton. p. 298. ISBN 0-393-04002-X.
^ Struik 1987, p. 96.
^ ¹ ² Boyer 1991, pp. 241–242.
^ Struik 1987, p. 97.
^ Berggren, J. Lennart; Al-Tūsī, Sharaf Al-Dīn; Rashed, Roshdi (1990). "Innovation and Tradition in Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī's al-Muʿādalāt". Journal of the American Oriental Society. 110 (2): 304–309. doi:10.2307/604533. JSTOR 604533.
^ ¹ ² Sesiano, Jacques (2000). Helaine, Selin; Ubiratan, D'Ambrosio (eds.). Islamic mathematics. Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics. Springer. pp. 137–157. ISBN 1-4020-0260-2.
^ Allen, G. Donald (n.d.). "The History of Infinity" (PDF). Texas A&M University. נבדק ב-7 בספטמבר 2016. {{cite web}}: (עזרה)
^ Berggren 2007, p. 518.
^ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ Rashed, R. (1994-06-30). The Development of Arabic Mathematics: Between Arithmetic and Algebra. Springer. pp. 36–37. ISBN 9780792325659. שגיאת ציטוט: תג <ref> בלתי־תקין; השם "Rashed" הוגדר כמה פעמים עם תוכן שונה
^ ¹ ² Mat Rofa Bin Ismail (2008), Helaine Selin (ed.), "Algebra in Islamic Mathematics", Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures (2nd ed.), Springer, 1: 115, ISBN 9781402045592
^ "Science Teaching in Pre-Modern Societies", in Film Screening and Panel Discussion, McGill University, 15 January 2019.

[1] Lumpkin, Beatrice; Zitler, Siham (1992). "Cairo: Science Academy of the Middle Ages". In Van Sertima, Ivan (ed.). Golden age of the Moor, Volume 11. Transaction Publishers. p. 394. ISBN 1-56000-581-5. "The Islamic mathematicians exercised a prolific influence on the development of science in Europe, enriched as much by their own discoveries as those they had inherited by the Greeks, the Indians, the Syrians, the Babylonians, etc."

[2] "algebra". Online Etymology Dictionary.

[FOOTNOTEBoyer1991[https://archive.org/details/historyofmathema00boye/page/228_228]-3] Boyer 1991, p. 228.

[4] Swetz, Frank J. (1993). Learning Activities from the History of Mathematics. Walch Publishing. p. 26. ISBN 978-0-8251-2264-4.

[Gullberg-5] ¹ ² Gullberg, Jan (1997). Mathematics: From the Birth of Numbers. W. W. Norton. p. 298. ISBN 0-393-04002-X.

[FOOTNOTEStruik198796-6] Struik 1987, p. 96.

[FOOTNOTEBoyer1991241–242-7] ¹ ² Boyer 1991, pp. 241–242.

[FOOTNOTEStruik198797-8] Struik 1987, p. 97.

[9] Berggren, J. Lennart; Al-Tūsī, Sharaf Al-Dīn; Rashed, Roshdi (1990). "Innovation and Tradition in Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī's al-Muʿādalāt". Journal of the American Oriental Society. 110 (2): 304–309. doi:10.2307/604533. JSTOR 604533.

[Sesiano-10] ¹ ² Sesiano, Jacques (2000). Helaine, Selin; Ubiratan, D'Ambrosio (eds.). Islamic mathematics. Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics. Springer. pp. 137–157. ISBN 1-4020-0260-2.

[11] Allen, G. Donald (n.d.). "The History of Infinity" (PDF). Texas A&M University. נבדק ב-7 בספטמבר 2016. {{cite web}}: (עזרה)

[FOOTNOTEBerggren2007518-12] Berggren 2007, p. 518.

[Rashed-13] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ Rashed, R. (1994-06-30). The Development of Arabic Mathematics: Between Arithmetic and Algebra. Springer. pp. 36–37. ISBN 9780792325659. שגיאת ציטוט: תג <ref> בלתי־תקין; השם "Rashed" הוגדר כמה פעמים עם תוכן שונה

[Ismail-14] ¹ ² Mat Rofa Bin Ismail (2008), Helaine Selin (ed.), "Algebra in Islamic Mathematics", Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures (2nd ed.), Springer, 1: 115, ISBN 9781402045592

[15] "Science Teaching in Pre-Modern Societies", in Film Screening and Panel Discussion, McGill University, 15 January 2019.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

	הדף נמצא בשלבי עבודה: כדי למנוע התנגשויות עריכה ועבודה כפולה, אתם מתבקשים שלא לערוך את הדף בטרם תוסר ההודעה הזו, אלא אם כן תיאמתם זאת עם מניח התבנית.
	אם הדף לא נערך במשך שבוע ניתן להסיר את התבנית ולערוך אותו, אך לפני כן רצוי להזכיר את התבנית למשתמש שהניח אותה, באמצעות הודעה בדף שיחתו.	שיחה

הדף נמצא בשלבי עבודה: כדי למנוע התנגשויות עריכה ועבודה כפולה, אתם מתבקשים שלא לערוך את הדף בטרם תוסר ההודעה הזו, אלא אם כן תיאמתם זאת עם מניח התבנית.
אם הדף לא נערך במשך שבוע ניתן להסיר את התבנית ולערוך אותו, אך לפני כן רצוי להזכיר את התבנית למשתמש שהניח אותה, באמצעות הודעה בדף שיחתו.	שיחה