הפרדוקס של ראסל

הפרדוקס של ראסל הוא פרדוקס שהציע הפילוסוף והלוגיקן ברטראנד ראסל בשנת 1901, במכתב ששלח למייסדה של הלוגיקה המתמטית, גוטלוב פרגה. לפרדוקס הייתה השפעה מכרעת על התפתחותה של תורת הקבוצות ועל התפתחות המתמטיקה בכלל. פרגה, שקיבל את מכתבו של ראסל זמן קצר לפני השלמת הכרך השני של ספרו "יסודות האריתמטיקה", הבין שגישתו המקורית, המכונה היום תורת הקבוצות הנאיבית, גורמת לסתירה, וויתר על השלמת הספר.

מוסכמה בסיסית בתורת הקבוצות קובעת שקבוצה מוגדרת על-פי האיברים השייכים לה. ראסל התייחס להנחה יסודית אחרת, שלפיה אפשר (לכאורה) להגדיר קבוצה באמצעות כלל שיקבע מהם האיברים השייכים לה.

הפרדוקס

כדי להציג את הפרדוקס של ראסל, נאמר שקבוצה גדולה היא קבוצה הכוללת את עצמה כאיבר, וכל קבוצה אחרת (כלומר, שאיננה איבר של עצמה), היא קבוצה קטנה.

ראסל הגדיר את $X$ כקבוצה שמכילה את כל הקבוצות הקטנות (ורק אותן), ושאל:

• האם $X$ היא קבוצה קטנה או גדולה?

אם $X$ קבוצה קטנה, הרי שלפי הגדרתה כקבוצת כל הקבוצות הקטנות היא כוללת את עצמה כאיבר, אבל אז היא קבוצה גדולה לפי ההגדרה. מאידך, אם $X$ קבוצה גדולה עליה לכלול את עצמה כאיבר, אבל זו סתירה להנחה שכל האיברים ב-$X$ הם רק קבוצות קטנות. בכל מקרה מתקבלת סתירה. במילים אחרות, ההנחות שלפיהן הקבוצה $X$ קיימת וחייבת להיות קטנה או גדולה, מוליכות לסתירה.

ניסוח פופולרי ממיר את מושגי תורת הקבוצות בסיפור על הספר בעיירה הנידחת: בעיר נידחת היה ספר אשר עבד רק בשביל אנשי העיירה והוא היה הספר היחיד בעיירה. לספר היה חוק מיוחד במספרה: הספר לא מספר אדם בעיירה שמספר את עצמו, ומספר כל אדם שלא מספר את עצמו. השאלה המתבקשת היא: מה קורה כאשר הספר צריך להסתפר?

אז לפי חוקי מספרתו, אם הספר מספר את עצמו אז הוא אמור לא לספר את עצמו, אבל אם הוא לא מספר את עצמו אז הוא אמור לספר את עצמו, ומגיעים לסתירה.

גישות לפתרון הפרדוקס

הלוגיקאים שבאו בעקבות תובנתו של ראסל, וראסל עצמו בראשם, הבינו שמקור הפרדוקס הוא באפשרות לאסוף איברים בכל דרך לכדי בנייה של קבוצה. כדי למסד את תורת הקבוצות באופן שלא יכיל סתירות, יש צורך להגדיר באופן מסודר אילו אוספים יכולים להיחשב לקבוצות. בתחילת הדרך היו כמה גישות לסוגיה זו, כמו למשל תורת הטיפוסים.

בהמשך התברר שהגישה היעילה ביותר היא תורת הקבוצות האקסיומטית שפיתחו צרמלו ופרנקל. במסגרת זו, אחת האקסיומות החשובות היא אקסיומת ההפרדה, המאפשרת לבנות קבוצה חדשה על ידי ליקוט איברים של קבוצה קיימת. מנקודת מבט זו, הפרדוקס של ראסל מוכיח ש'קבוצת כל הקבוצות' אינה קיימת, משום שאחרת אפשר היה לבנות ממנה את קבוצת כל הקבוצות שאינן שייכות לעצמן, שאינה קיימת לפי הפרדוקס. פרדוקס זה ודומים לו שינו כליל את פני תורת הקבוצות מתורה שבה כל הקבוצות נבנות מתוך קבוצה אוניברסלית, 'קבוצת כל הקבוצות' ותת-קבוצות שלה לתורה שבה כל הקבוצות נבנות מתוך קבוצה ריקה וקבוצות המכילות אותה.

רעיון דומה לפרדוקס של ראסל מאפשר להוכיח שקבוצת החזקה של קבוצה $A$ היא לעולם גדולה מן הקבוצה $A$ עצמה, וזהו תוכנו של משפט קנטור.

ראו גם

• פרדוקס הספר
• הפרדוקס של קנטור
• הפרדוקס של בורלי-פורטי

לקריאה נוספת

• מריוס כהן, "פרדוקס ראסל", גליליאו 105, מאי 2007.
• סיימון סינג, המשפט האחרון של פרמה, הוצאת ידיעות אחרונות, 2007.

קישורים חיצוניים

• גדי אלכסנדרוביץ', הפרדוקס של ראסל ומשפט קנטור, באתר "לא מדויק", 20 בנובמבר 2010
• הפרדוקס של ראסל, באתר MathWorld (באנגלית)
• ג'פרי קפלן, הסבר על פרדוקס ראסל, סרטון באתר יוטיוב, 2022 (באנגלית)
• הפרדוקס של ראסל, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)