תחום שלמות

באלגברה מופשטת, תחום שלמות הוא חוג חילופי עם יחידה כפלית שאין בו מחלקי אפס (כלומר: אם $ab=0$, אז בהכרח $a=0$ או $b=0$). בין הדוגמאות החשובות ניתן למצוא כל תת-חוג של הממשיים, ומכאן חשיבותה של המשפחה הזו בתורת המספרים האלגברית.

תחומי שלמות ושדות

כל שדה הוא תחום שלמות, משום שהאברים השונים מאפס כולם הפיכים, ולכן לא ייתכן ש-ab=0 כאשר a,b אינם אפס. מכיוון שהאיסור על קיומם של מחלקי אפס עובר בתורשה לתת-חוגים, כל תת-חוג של שדה הוא תחום שלמות. בין הדוגמאות הטבעיות לתחומי שלמות שאינם שדות אפשר למצוא את חוג המספרים השלמים, ואת חוג הפולינומים עם מקדמים משדה $F$, אותו מסמנים ב- $F[x]$.

בכיוון ההפוך, כל תחום שלמות מהווה תת-חוג של שדה, הנקרא שדה השברים של התחום. שדה השברים כולל את כל המנות ${\frac {a}{b}}$ של איברים בחוג שבהן המכנה אינו אפס. למשל, שדה השברים של $\mathbb {Z}$ הוא שדה המספרים הרציונליים $\mathbb {Q}$, בעוד ששדה השברים של חוג הפולינומים הוא שדה הפונקציות הרציונליות $F(x)=\left\{{\frac {f}{g}}:f,g\in F[x],\,g\neq 0\right\}$. הבניה של שדה השברים מתוך התחום הנתון היא דוגמה למיקום (לוקליזציה).

בתחום שלמות, אוסף האיברים שאינם אפס סגור לכפל, ולכן מהווה מונואיד עם צמצום: אם $ab=ac$ אז $b=c$. כל מונואיד סופי עם צמצום הוא חבורה, ולכן תחום שלמות סופי הוא שדה.

יחס החלוקה בתחומי שלמות

עבור תחום שלמות קבוע $D$, אומרים שאיבר $a$ מחלק את האיבר $b$ אם קיים איבר $c$ כך ש-$b=ac$ (זוהי הכללה של ההגדרה הרגילה במספרים שלמים). כל איבר מחלק את $0$, ו-$1$ מחלק כל איבר. איבר המחלק את $1$ נקרא איבר הפיך (למשל: בחוג השלמים האיברים ההפיכים הם $1,-1$. בשדה, כל האיברים הם הפיכים פרט לאפס). איברים המחלקים זה את זה נקראים ידידים.

איבר של החוג נקרא אי-פריק, אם לא ניתן לכתוב אותו בצורה $ab$ כאשר $a$ ו-$b$ אינם הפיכים. ישנו סוג מיוחד של איברים אי-פריקים, הנקראים ראשוניים. איבר ראשוני הוא איבר שאינו יכול לחלק מכפלה $ab$ בחוג, מבלי לחלק לפחות את אחד הגורמים שלה. ראשוני מוכרח להיות אי-פריק (אם אפשר לפרק את הראשוני $p$ בצורה $p=ab$ אז $p$ מוכרח לחלק את אחד הגורמים, למשל את $a$, ואז יוצא ש-$b$ הפיך), אבל ישנם איברים אי-פריקים שאינם ראשוניים (ראה דוגמאות בהמשך). שתי ההגדרות מכלילות את ההגדרה הרגילה למספרים ראשוניים (לפי הלמה של אוקלידס, בחוג המספרים השלמים איבר הוא ראשוני אם ורק אם הוא אי-פריק, והמספרים בעלי תכונה זו הם המספרים הראשוניים הרגילים).

דוגמה: בתחום-השלמות $R=\mathbb {Z} [{\sqrt {-6}}]=\{a+b{\sqrt {-6}}:a,b\in \mathbb {Z} \}$, האיבר $2-{\sqrt {-6}}$ אי-פריק, אבל אינו ראשוני (הוא מחלק את 10 אבל לא את הגורמים 2 או 5).

מחלקות של תחומי שלמות

סריג מחלקות של תחומי שלמות: דדקינד, פרופר ובזו, תחומים ראשיים, תחומי פריקות יחידה, תחומים אטומיים, תחומים בעלי gcd, ועוד.

התכונות של איברים אי-פריקים וראשוניים באות לידי ביטוי כשבוחנים את תהליך הפירוק לגורמים של איבר נתון $a$. אם $a$ אי-פריק, סיימנו לפרק אותו; אחרת, אפשר לכתוב את $a$ כמכפלה של איברים אחרים, ולהמשיך לפרק כל אחד מהם. בחוגים מסוימים (בעיקר חוגים נותריים) מובטח שהתהליך יעצר, בדיוק כפי שהתהליך של פירוק מספר שלם לגורמיו חייב להעצר. בסופו של פירוק כזה כתבנו את $a$ כמכפלה של איברים אי-פריקים (חוג שבו תמיד קיים פירוק כזה נקרא אטומי). לרוע המזל, (ולא כמו במספרים השלמים), פירוק כזה אינו חייב להיות יחיד. (דוגמה: המספרים $2,3,{\sqrt {-6}}$ בחוג $R$ שהוגדר לעיל הם כולם אי-פריקים, והנה $6=2\cdot 3=-1\cdot {\sqrt {-6}}\cdot {\sqrt {-6}}$, שני פירוקים שונים לאותו מספר).

מתברר שאם הגורמים האי-פריקים בפירוק הם כולם ראשוניים, אז אין פירוקים אחרים (פרט לזה שאפשר להחליף גורם בידיד שלו, ולערבב את הגורמים ביניהם). תחום שלמות שבו כל איבר ניתן לפירוק כמכפלה של אי-פריקים, וזה ניתן להעשות באופן יחיד, נקרא תחום פריקות יחידה. בחוג כזה כל איבר אי-פריק הוא גם ראשוני.

ישנו תנאי המבטיח פריקות יחידה: תחום שלמות $D$ שבו כל אידיאל הוא אידיאל ראשי (כלומר מהצורה $Da=\{xa:x\in D\}$), נקרא תחום ראשי. כל תחום ראשי הוא תחום פריקות יחידה, אבל ההפך אינו נכון (דוגמה: חוג הפולינומים בשני משתנים מעל שדה הוא תחום פריקות יחידה שאינו ראשי). לתחום ראשי יש ממד קרול 1, כלומר, כל אידיאל ראשוני שונה מאפס הוא מקסימלי.

כל חוג אוקלידי הוא תחום ראשי, וכל תחום ראשי הוא חוג דדקינד. כל חוג דדקינד הוא תחום שלמות נותרי וכל תחום שלמות נותרי הוא אטומי. בדיאגרמה משמאל מוצג סריג של מחלקות חשובות של תחומי שלמות: תחומי דדקינד, תחומי פרופר, תחומים ראשיים, תחומי פריקות יחידה, תחומי בזו, תחומים אטומיים, תחומים בעלי gcd, ועוד. השילוב של שתי תכונות הוא התכונה החלשה ביותר שחזקה משתיהן; כך למשל תחום פרופר נתרי הוא תחום דדקינד, תחום בזו אטומי הוא ראשי, וכן הלאה.

תחום שלמות רגולרי נתרי הוא תחום פריקות יחידה (Auslander-Buchsbaum, 1959).

מודולים מעל תחומי שלמות

קשרים בין אידיאלים, אידיאלים שבריים ומודולים מעל תחום שלמות

חוג חילופי הוא ראשוני אם ורק אם הוא תחום שלמות. תחום שלמות פשוט הוא שדה. תחום שלמות שאינו שדה לא יכול להיות חוג ארטיני.

מעל תחום ראשי, כל מודול נוצר סופית הוא סכום ישר של מודולים ציקליים. זוהי הכללה של משפט המיון לחבורות אבליות נוצרות סופית, ושל הפירוק של מטריצות לבלוקי ז'ורדן.

בדיאגרמה משמאל מוצגות כמה משפחות עיקריות של מודולים מעל תחום שלמות $R$: אידיאלים של $R$, אידיאלים שבריים (תת-קבוצות מהצורה $d^{-1}I$ של שדה השברים, כאשר $d$ איבר של החוג ו-$I$ אידיאל שלו), ומודולים כלליים: חופשיים, פרויקטיביים, שטוחים וחסרי פיתול. החצים השחורים מסמנים גרירה לוגית של תכונה אחת לאחרת. החצים הצבעוניים מאפיינים מחלקה של תחומי שלמות: תחום שלמות מקיים את אחד החצים הכחולים אם ורק אם הוא דדקינד, ואז הוא מקיים את כולם; וכן לתחומי פרופר, בזו ולתחומי שלמות נתריים.

מודולים ופיתול

איבר (שונה מאפס) $x$ במודול מעל תחום שלמות $R$ הוא מפותל אם קיים סקלר שונה מאפס $a$ כך ש-$ax=0$. המודול מפותל אם כל אבריו מפותלים, וחסר פיתול אם אף איבר שלו אינו מפותל. המודול $A$ מפותל אם ורק אם $F\otimes _{R}A=0$ כאשר $F$ הוא שדה השברים של $R$. כל מודול מהצורה $F\otimes _{R}A$ הוא חסר פיתול, משום שזהו מרחב וקטורי.

מודול הוא חסר פיתול אם פעולת הכפל בכל סקלר שונה מאפס היא חד-חד-ערכית; וחליק אם פעולת הכפל בכל סקלר שונה מאפס היא על. מודול מעל תחום שלמות R נקרא h-חליק אם הוא מנה של מודול אינג'קטיבי. כל מודול h-חליק הוא חליק. מודול חליק וחסר פיתול הוא אינג'קטיבי, ולכן h-חליק. כל מודול מהצורה $\operatorname {Hom} _{R}(F,A)$ הוא h-חליק. המודול R עצמו חסר פיתול, ואינו חליק (אנו מניחים ש-$R\neq F$). כמודול, F הוא חליק וחסר פיתול, וממילא גם אינג'קטיבי. מודול המנה $F/R$ הוא מפותל ו-h-חליק, אבל בדרך כלל אינו אינג'קטיבי (אם $R$ תחום דדקינד אז כל מודול חליק הוא אינג'קטיבי).

מודול נקרא מצומצם (reduced) אם אין לו תת-מודולים חליקים (פרט ל-0), ו-h-מצומצם אם אין לו תת-מודולים h-חליקים. כל מודול מצומצם הוא h-מצומצם. גם כאן, המושגים מתלכדים עבור מודולים חסרי פיתול.

עבור כל מודול $A$, התמונה של ההומומורפיזם הטבעי $\operatorname {Hom} (F,A)\rightarrow A$ (השולח את $f$ ל-$f(1)$) היא תת-המודול ה-h-חליק המקסימלי של $A$. בפרט, $A$ הוא h-מצומצם אם ורק אם $\operatorname {Hom} (F,A)=0$.

הפונקטור Ext ממיין הרחבות של מודולים. בפרט, $\operatorname {Ext} _{R}^{1}(C,A)=0$ אם ורק אם כל סדרה מדויקת קצרה $0\rightarrow A\rightarrow ?\rightarrow C\rightarrow 0$, מתפצלת. המודול A אינג'קטיבי אם ורק אם $\operatorname {Ext} _{R}^{1}(-,A)=0$. מודול $A$ הוא קו-מפותל (cotorsion) אם $\operatorname {Hom} (F,A)=\operatorname {Ext} _{R}^{1}(F,A)=0$. במקרה כזה $A=\operatorname {Ext} _{R}^{1}(F/R,A)$. כל מודול קו-מפותל הוא h-מצומצם. לכל מודול h-מצומצם $A$, $\operatorname {Ext} _{R}^{1}(F/R,A)$ הוא המודול הקו-מפותל הקטן ביותר המכיל את $A$.

הדואליות בין המושגים הללו באה לידי ביטוי במשפט הבא. עבור R-מודול $A$, נסמן $A^{*}=\operatorname {Hom} (F/R,A)$ (המודול $A^{*}$ תמיד קו-מפותל; אם $A$ חסר פיתול, או h-מצומצם, אז $A^{*}=0$). נסמן ${\widehat {A}}=(F/R)\otimes _{R}A$ (המודול ${\widehat {A}}$ תמיד מפותל; אם $A$ מפותל, או חליק, אז ${\widehat {A}}=0$). כעת:

• $A$ הוא h-חליק ומפותל אם ורק אם $A\cong {\widehat {A^{*}}}$.
• $A$ חסר פיתול וקו-מפותל אם ורק אם $A\cong {\widehat {A}}^{*}$.
• בפרט, אם $A$ הוא h-חליק ומפותל, אז $A^{*}$ חסר פיתול וקו-מפותל; ואם A חסר פיתול וקו-מפותל, אז ${\widehat {A}}$ הוא h-חליק ומפותל; והעתקות אלה הפוכות זו לזו. לדוגמה, מעל השלמים, $\mathbb {Q} _{p}/\mathbb {Z} _{p}$ חליקה ומפותלת, ו-$\mathbb {Z} _{p}$ חסרת פיתול וקו-מפותלת, והן מתאימות זו לזו.

יש מודולים מפותלים שהם קו-מפותלים. מודול $A$ הוא קו-מפותל בחזקה אם $\operatorname {Ext} _{R}^{n}(F,A)=0$ לכל $n\geq 0$. מודול קו-מפותל בחזקה הוא קו-מפותל. אם קיים סקלר $a$ שונה מאפס כך ש-$aA=0$, אז $A$ מפותל, וקו-מפותל בחזקה.

הכללות

חוג שאין בו מחלקי אפס, אבל הוא אינו בהכרח חילופי, נקרא תחום. הדוגמה הטיפוסית כאן היא תת-חוגים של חוגים עם חילוק, אבל יש דוגמאות לתחומים שאינם משוכנים באף חוג עם חילוק (הראשונה ניתנה על ידי Mal'cev ). בתחום אין אידיאלים שמאליים מינימליים, ולכן תחום ארטיני מוכרח להיות חוג עם חילוק. חוג בעל התכונה החלשה יותר "$,a^{2}\neq 0$ לכל $a\neq 0$" נקרא חוג מצומצם; כל חוג מצומצם הוא מכפלה ישרה של תחומים, וכל חוג ראשוני מצומצם הוא תחום.

לקריאה נוספת

• Eben Matlis, Torsion-free modules, Chicago Lectures in Math, 1972.

קישורים חיצוניים

• תחום שלמות, באתר MathWorld (באנגלית)