משתמש:Asaf M/פסיכולוגיה מתמטית
פסיכולוגיה מתמטית היא גישה למחקר פסיכולוגי המבוססת על מודלים מתמטיים של תהליכים תפיסתיים, מחשבתיים, קוגניטיביים ומוטוריים, ועל יסוד כללים המתייחסים למאפייני גירוי אל מול התנהגות הניתנת לכימות. הגישה המתמטית משמשת במטרה להפיק השערות מדויקות יותר ובכך מניבות אימות אמפירי להשערות פסיכולוגיות.
את יישום המתמטיקה בפסיכולוגיה ניתן לייחס למאה השבע עשרה לכל המאוחר כאשר מדענים כמו קפלר וגלילאו חקרו את נבכי התהליך הנפשי באדם.[1] באותה תקופה הפסיכולוגיה לא הוכרה כענף עצמאי של המדע.
ניתן לסווג את יישומי המתמטיקה בפסיכולוגיה לשני תחומים: האחד נוגע להיבט האמפירי של תיאוריות מתמטיות בפסיכולוגיה, השנייה היא הגישה הסטטיסטית של שיטות מדידה כמותיות בפסיכולוגיה.[2][3]
מכיוון שכימות התנהגות היא בסיסית במאמץ זה, תורת המדידה היא נושא מרכזי בפסיכולוגיה מתמטית. פסיכולוגיה מתמטית קשורה אפוא קשר הדוק לפסיכומטרי. עם זאת, כאשר הפסיכומטרי עוסק בהבדלים אינדיבידואליים (או מבנה אוכלוסייה) במשתנים סטטיים ברובם, הפסיכולוגיה המתמטית מתמקדת במודלים תהליכיים של תהליכים תפיסתיים, קוגניטיביים ומוטוריים כפי שמסיקים מ"הפרט הממוצע". יתרה מזאת, כאשר הפסיכומטרי חוקרת את מבנה התלות הסטוכסטית בין משתנים כפי שנצפו באוכלוסייה, הפסיכולוגיה המתמטית מתמקדת כמעט אך ורק במודלים של נתונים המתקבלים מפרדיגמות ניסיוניות ולכן קשורה אפילו יותר לפסיכולוגיה ניסויית, פסיכולוגיה קוגניטיבית ופסיכונומיה . כמו מדעי המוח החישוביים והאקונומטריה, תורת הפסיכולוגיה המתמטית משתמשת לעתים קרובות באופטימיות סטטיסטית כעיקרון מנחה, בהנחה שהמוח האנושי התפתח כדי לפתור בעיות בצורה מיטבית. נושאים מרכזיים מהפסיכולוגיה הקוגניטיבית (למשל, יכולת עיבוד מוגבלת לעומת בלתי מוגבלת, עיבוד סדרתי לעומת מקביל) והשלכותיהם מרכזיות בניתוח קפדני בפסיכולוגיה מתמטית.
פסיכולוגים מתמטיים פעילים בתחומים רבים של הפסיכולוגיה, במיוחד בפסיכופיזיקה, תחושה ותפיסה, פתרון בעיות, קבלת החלטות, למידה, זיכרון, שפה וניתוח כמותי של התנהגות, ותורמים לעבודתם של תחומי משנה אחרים בפסיכולוגיה כמו למשל. פסיכולוגיה קלינית, פסיכולוגיה חברתית, פסיכולוגיה חינוכית ופסיכולוגיה של מוזיקה .
הִיסטוֹרִיָה[עריכת קוד מקור | עריכה]
מתמטיקה ופסיכולוגיה לפני המאה ה-19[עריכת קוד מקור | עריכה]
תורת הבחירה וקבלת ההחלטות נטועים בפיתוח תורת ההסתברות. באמצע המאה ה-16, בלייז פסקל שקל מצבים בהימורים והרחיב עוד יותר להימור של פסקל. [4] במאה ה-18, ניקולא ברנולי הציע את פרדוקס סנט פטרסבורג בקבלת החלטות, דניאל ברנולי נתן פתרון ולפלאס הציע שינוי לפתרון בהמשך. בשנת 1763, פרסם בייס את המאמר " מסה לקראת פתרון בעיה בדוקטרינת הסיכויים ", שהוא אבן הדרך של הסטטיסטיקה הבייסיאנית.
רוברט הוק עבד על מודלים של זיכרון אנושי, שהוא מבשר של חקר הזיכרון.
ההתפתחויות המחקריות בגרמניה ובאנגליה במאה ה-19 הפכו את הפסיכולוגיה לנושא אקדמי חדש. מכיוון שהגישה הגרמנית הדגישה ניסויים בחקירת התהליכים הפסיכולוגיים שכל בני האדם חולקים והגישה האנגלית הייתה במדידת הבדלים אינדיבידואליים, גם היישומים של המתמטיקה היו שונים.
בגרמניה הקים וילהלם וונדט את המעבדה הראשונה לפסיכולוגיה ניסיונית. המתמטיקה בפסיכולוגיה הגרמנית מיושמת בעיקר בחושות ובפסיכופיזיקה. ארנסט ובר (1795–1878) יצר את החוק המתמטי הראשון של הנפש, חוק ובר, המבוסס על מגוון ניסויים. גוסטב פכנר (1801–1887) תרם תיאוריות בתחושות ובתפיסות ואחת מהן היא חוק פכנר, המשנה את חוק ובר.
למידול מתמטי יש היסטוריה ארוכה בפסיכולוגיה החל מהמאה ה-19, כאשר ארנסט ובר (1795-1878) וגוסטב פכנר (1801-1887) היו בין הראשונים ליישם משוואות פונקציונליות על תהליכים פסיכולוגיים. הם הקימו בכך את תחומי הפסיכולוגיה הניסויית בכלל, ואת זה של הפסיכופיזיקה בפרט.
חוקרים באסטרונומיה במאה ה-19 מיפו מרחקים בין כוכבים על ידי ציון הזמן המדויק של חלוף כוכב על טלסקופ. בהיעדר מכשירי הרישום האוטומטיים של העידן המודרני, מדידות הזמן הללו הסתמכו לחלוטין על מהירות התגובה האנושית. צוין כי היו הבדלים שיטתיים קטנים בזמנים שנמדדו על ידי אסטרונומים שונים, ואלה נחקרו לראשונה באופן שיטתי על ידי האסטרונום הגרמני פרידריך בסל (1782–1846). בסל בנה משוואות אישיות ממדידות של מהירות תגובה בסיסית שיבטלו הבדלים בודדים מהחישובים האסטרונומיים. באופן עצמאי, הפיזיקאי הרמן פון הלמהולץ מדד זמני תגובה כדי לקבוע את מהירות ההולכה העצבית, פיתח תיאוריית תהודה של שמיעה ואת תיאוריית יאנג-הלמהולץ של ראיית צבעים.
שני קווי עבודה אלו התאחדו במחקרם של הפיזיולוגי ההולנדי FC Donders ותלמידו JJ de Jaager, שזיהו את הפוטנציאל של זמני תגובה לכימות אובייקטיבית פחות או יותר את משך הזמן הנדרש לפעולות נפשיות יסודיות. דונדרס ראה בעיני רוחו את השימוש בכרונומטריה המנטלית שלו כדי להסיק מדעית את המרכיבים של פעילות קוגניטיבית מורכבת על ידי מדידת זמן תגובה פשוט [5]
למרות שיש התפתחויות בתחושה ובתפיסה, יוהן הרברט פיתח מערכת של תיאוריות מתמטיות בתחום הקוגניטיבי כדי להבין את התהליך המנטלי של התודעה.
ניתן לאתר את מקורה של הפסיכולוגיה האנגלית לתורת האבולוציה מאת דרווין. אבל הופעתה של הפסיכולוגיה האנגלית היא בגלל פרנסיס גלטון, שהתעניין בהבדלים אינדיבידואליים בין בני אדם על משתנים פסיכולוגיים. המתמטיקה בפסיכולוגיה האנגלית היא בעיקר סטטיסטיקה והעבודה והשיטות של גלטון הן הבסיס לפסיכומטרי .
גלטון הציג התפלגות נורמלית דו-משתנית במודלים של תכונות של אותו פרט, הוא גם חקר שגיאות מדידה ובנה מודל משלו, והוא גם פיתח תהליך הסתעפות סטוכסטי לבחינת הכחדת שמות משפחה. יש גם מסורת של העניין בלימוד אינטליגנציה בפסיכולוגיה אנגלית החל מגלטון. ג'יימס מקין קטל ואלפרד בינט פיתחו מבחני אינטליגנציה.
המעבדה הפסיכולוגית הראשונה הוקמה בגרמניה על ידי וילהלם וונדט, שהשתמש בשפע ברעיונותיו של דונדרס. עם זאת, ממצאים שהגיעו מהמעבדה היו קשים לשכפול וזה יוחס עד מהרה לשיטת ההתבוננות הפנימית ש-Wundt הציג. חלק מהבעיות נבעו מהבדלים בודדים במהירות התגובה שנמצאו על ידי אסטרונומים. למרות שנראה שונדט לא התעניין בווריאציות הפרטניות הללו והמשיך להתמקד בחקר המוח האנושי הכללי, תלמידו האמריקני של וונדט, ג'יימס מקין קאטל, היה מוקסם מההבדלים הללו והחל לעבוד עליהם במהלך שהותו באנגליה.
הכישלון של שיטת ההתבוננות הפנימית של וונדט הוביל לעלייתן של אסכולות שונות. המעבדה של וונדט הופנתה לחוויה אנושית מודעת, בהתאם לעבודתם של פכנר וובר על עוצמת הגירויים. בבריטניה, בהשפעת ההתפתחויות האנתרופומטריות בראשות פרנסיס גלטון, התמקדה העניין בהבדלים אינדיבידואליים בין בני אדם במשתנים פסיכולוגיים, בהתאם לעבודתו של בסל. עד מהרה אימץ קאטל את שיטותיו של גלטון ועזר בהנחת היסודות לפסיכומטרי.
המאה ה -20[עריכת קוד מקור | עריכה]
שיטות סטטיסטיות רבות פותחו עוד לפני המאה ה-20: צ'ארלס ספירמן המציא ניתוח גורמים אשר חוקר הבדלים אינדיבידואליים לפי השונות והשונות. פסיכולוגיה גרמנית ופסיכולוגיה אנגלית שולבו והשתלטו על ידי ארצות הברית. השיטות הסטטיסטיות שלטו בתחום בתחילת המאה. ישנן שתי התפתחויות סטטיסטיות חשובות: מודל משוואות מבניות (SEM) וניתוח שונות (ANOVA). מאחר שניתוח גורמים אינו מסוגל להסיק מסקנות סיבתיות, השיטה של מודל משוואות מבניות פותחה על ידי Sewall Wright על מנת לנתח קורלציה כדי להסיק סיבתיות, שהיא עדיין תחום מחקר מרכזי כיום. השיטות הסטטיסטיות הללו יצרו פסיכומטרי. האגודה לפסיכומטרי הוקמה ב-1935 וכתב העת "פסיכומטריקה" יצא לאור משנת 1936.
בארצות הברית, הביהביוריזם התעורר בניגוד לאינטרוספקטוניזם ולמחקר הקשור בזמן תגובה, והפנה את מוקד המחקר הפסיכולוגי לחלוטין לתיאוריית הלמידה. [5] באירופה שרדה ההתבוננות הפנימית בפסיכולוגיית הגשטאלט . הביהביוריזם שלט בפסיכולוגיה האמריקאית עד סוף מלחמת העולם השנייה, ונמנע במידה רבה מהסקת תהליכים נפשיים. תיאוריות פורמליות נעדרו לרוב (פרט לראייה ולשמיעה ).
במהלך המלחמה, ההתפתחויות בהנדסה, לוגיקה מתמטית ותורת החישוב, מדעי המחשב ומתמטיקה, והצורך הצבאי להבין את הביצועים האנושיים ומגבלותיהם, הפגישו פסיכולוגים ניסיוניים, מתמטיקאים, מהנדסים, פיזיקאים וכלכלנים. מתוך תמהיל זה של דיסציפלינות שונות צמחה פסיכולוגיה מתמטית. במיוחד ההתפתחויות בעיבוד אותות, תורת המידע, מערכות ליניאריות ותורת המסננים, תורת המשחקים, תהליכים סטוכסטיים ולוגיקה מתמטית זכו להשפעה רבה על החשיבה הפסיכולוגית. [5] [6]
שני מאמרים מכוננים על תורת הלמידה ב- Psychological Review סייעו לבסס את התחום בעולם שעדיין נשלט על ידי ביהביוריסטים: מאמר של בוש ומוסטלר הניע את גישת האופרטורים הליניאריים ללמידה, [7] ומאמר מאת אסטס שהתחיל את הגירוי דגימת מסורת בתיאוריות פסיכולוגיות. [8] שני מאמרים אלה הציגו את התיאורים הפורמליים המפורטים הראשונים של נתונים מניסויי למידה.
מודלים מתמטיים של תהליך למידה פותחו מאוד בשנות החמישים של המאה הקודמת, כאשר תיאוריית הלמידה ההתנהגותית פרחה. פיתוח אחד הוא תיאוריית דגימת הגירוי מאת וויליאמס ק. אסטס, השני הוא מודלים של אופרטורים ליניאריים מאת רוברט ר. בוש ופרדריק מוסטלר .
עיבוד אותות ותיאוריית זיהוי נמצאים בשימוש נרחב בתפיסה, פסיכופיזיקה ותחום לא חושי של קוגניציה. ספרו של פון נוימן Theory of Games and Economic Behaviour מבסס את החשיבות של תורת המשחקים וקבלת החלטות. ר' דאנקן לוס והווארד ראיפה תרמו לאזור הבחירה וקבלת ההחלטות.
תחום השפה והחשיבה מגיע לאור הזרקורים עם התפתחות מדעי המחשב והבלשנות, בעיקר תורת המידע ותורת החישוב. חומסקי הציע את המודל של הבלשנות ותיאוריית ההיררכיה החישובית. אלן ניואל והרברט סיימון הציעו את המודל של פתרון בעיות אנושיות. הפיתוח בבינה מלאכותית וממשק מחשב אנושי הם תחומים פעילים הן במדעי המחשב והן בפסיכולוגיה.
לפני שנות ה-50, פסיכומטרים הדגישו את מבנה שגיאות המדידה ופיתוח שיטות סטטיסטיות בעלות עוצמה גבוהה למדידת כמויות פסיכולוגיות אך מעט מהעבודה הפסיכומטרית נגע למבנה הכמויות הפסיכולוגיות הנמדדות או לגורמים הקוגניטיביים מאחורי נתוני התגובה. סקוט וסופס חקרו את הקשר בין מבנה הנתונים למבנה של מערכות מספריות המייצגות את הנתונים. [9] Coombs בנה מודלים קוגניטיביים פורמליים של הנשאל במצב מדידה ולא אלגוריתמים סטטיסטיים לעיבוד נתונים, למשל המודל הנפתח. [10] [11] פריצת דרך נוספת היא פיתוח של צורה חדשה של פונקציית קנה המידה הפסיכו-פיזי יחד עם שיטות חדשות לאיסוף נתונים פסיכו-פיזיים, כמו חוק הכוח של סטיבנס. [12]
בשנות ה-50 נרשמה עלייה בתיאוריות מתמטיות של תהליכים פסיכולוגיים, כולל תיאוריית הבחירה של לוס, הצגת תיאוריית זיהוי האותות של טאנר וסווץ לזיהוי גירוי אנושי, וגישתו של מילר לעיבוד מידע. [6] עד סוף שנות ה-50, מספר הפסיכולוגים המתמטיים גדל מקומץ ביותר מפי עשרה, בלי לספור את הפסיכומטרים. רובם התרכזו באוניברסיטת אינדיאנה, מישיגן, פנסילבניה וסטנפורד. [6] [13] כמה מהם הוזמנו באופן קבוע על ידי יועץ המחקר למדעי החברה בארה"ב ללמד בסדנאות קיץ במתמטיקה עבור מדעני חברה באוניברסיטת סטנפורד, לקידום שיתוף פעולה.
כדי להגדיר טוב יותר את תחום הפסיכולוגיה המתמטית, קובצו המודלים המתמטיים של שנות החמישים ברצף של כרכים בעריכת לוס, בוש וגלנטר: שתי קריאות [14] ושלושה ספרי עזר. [15] סדרת כרכים זו התבררה כמועילה בפיתוח התחום. בקיץ 1963 הורגש צורך בכתב עת ללימודים תיאורטיים ומתמטיים בכל תחומי הפסיכולוגיה, למעט עבודה שהייתה בעיקר אנליטית גורמים. יוזמה בראשות RC Atkinson, RR Bush, WK Estes, RD Luce ו- P. Suppes הביאה להופעתו של הגיליון הראשון של Journal of Mathematical Psychology בינואר 1964. [13]
בהשפעת ההתפתחויות במדעי המחשב, הלוגיקה ותורת השפה, בשנות ה-60 המודלים נמשכו לעבר מנגנונים והתקנים חישוביים. דוגמאות לאלו האחרונות מהוות מה שנקרא ארכיטקטורות קוגניטיביות (למשל, מערכות כללי ייצור, ACT-R ) וכן מערכות קונקשיוניסטיות או רשתות עצביות .
שגיאות פרמטריות בתבנית:מקור
שימוש בפרמטרים מיושנים [ תאריך ] [דרוש מקור]</link>[ <span title="This claim needs references to reliable sources. (May 2022)">צריך ציטוט</span> ]
ביטויים מתמטיים חשובים ליחסים בין מאפיינים פיזיקליים של גירויים ותפיסה סובייקטיבית הם חוק וובר-פכנר, חוק אקמן, חוק הכוח של סטיבנס, חוק השיפוט ההשוואתי של ת'רסטון, תיאוריית זיהוי האותות (שאולה מהנדסת מכ"ם), חוק ההתאמה ו- Rescorla . -כלל וגנר להתניה קלאסית. בעוד ששלושת החוקים הראשונים כולם דטרמיניסטיים באופיים, יחסים שנקבעו מאוחר יותר הם סטוכסטיים יותר ביסודו. זה היה נושא כללי באבולוציה במודלים מתמטיים של תהליכים פסיכולוגיים: מיחסים דטרמיניסטיים כפי שנמצאו בפיזיקה הקלאסית למודלים סטוכסטיים מטבעם.
שגיאות פרמטריות בתבנית:מקור
שימוש בפרמטרים מיושנים [ תאריך ] [דרוש מקור]</link>[ <span title="This claim needs references to reliable sources. (May 2022)">צריך ציטוט</span> ]
פסיכולוגים מתמטיים בעלי השפעה[עריכת קוד מקור | עריכה]
תיאוריות ומודלים חשובים [16][עריכת קוד מקור | עריכה]
תחושה, תפיסה ופסיכופיזיקה[עריכת קוד מקור | עריכה]
- חוק הכוח של סטיבנס
- חוק וובר-פכנר
איתור גירויים ואפליה[עריכת קוד מקור | עריכה]
זיהוי גירוי[עריכת קוד מקור | עריכה]
- דגמי מצברים
- דגמי דיפוזיה
- מודלים של רשתות עצביות /חיבוריות
- דגמי מירוץ
- דגמי הליכה אקראית
- דגמי חידוש
החלטה פשוטה[עריכת קוד מקור | עריכה]
- דגם אשד
- רמה ושנה מודל מרוץ
- מודל גיוס עובדים
- SPRT
- תורת שדה ההחלטה
סריקת זיכרון, חיפוש ויזואלי[עריכת קוד מקור | עריכה]
- מחסנית דחיפה למטה
- מודל חיפוש ממצה (SES).
זמני תגובה של שגיאה[עריכת קוד מקור | עריכה]
- דגם ניחוש מהיר
אפקטים רציפים[עריכת קוד מקור | עריכה]
- מודל מפעיל ליניארי
לְמִידָה[עריכת קוד מקור | עריכה]
- מודל מפעיל ליניארי
- תורת הלמידה הסטוכסטית
תורת המדידה[עריכת קוד מקור | עריכה]
- תורת המדידה המשותפת
ביטויים מתמטיים חשובים ליחסים בין מאפיינים פיזיקליים של גירויים ותפיסה סובייקטיבית הם חוק וובר-פכנר, חוק אקמן, חוק הכוח של סטיבנס, חוק השיפוט ההשוואתי של ת'רסטון, תיאוריית זיהוי האותות (שאולה מהנדסת מכ"ם), חוק ההתאמה ו- Rescorla . -כלל וגנר להתניה קלאסית. בעוד ששלושת החוקים הראשונים כולם דטרמיניסטיים באופיים, יחסים שנקבעו מאוחר יותר הם סטוכסטיים יותר ביסודו. זה היה נושא כללי באבולוציה במודלים מתמטיים של תהליכים פסיכולוגיים: מיחסים דטרמיניסטיים כפי שנמצאו בפיזיקה הקלאסית למודלים סטוכסטיים מטבעם.
שגיאות פרמטריות בתבנית:מקור
שימוש בפרמטרים מיושנים [ תאריך ] [דרוש מקור]</link>[ <span title="This claim needs references to reliable sources. (May 2022)">צריך ציטוט</span> ]
הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]
- ^ Estes, W. K. (2001-01-01), Smelser, Neil J.; Baltes, Paul B. (eds.), International Encyclopedia of the Social & Behavioral Sciences, Pergamon: 9412–9416, doi:10.1016/b0-08-043076-7/00647-1, ISBN 978-0-08-043076-8, נבדק ב-2019-11-23
{{citation}}:|chapter=ignored (עזרה); חסר או ריק|title=(עזרה) - ^ "Psychometrics", Wikipedia (באנגלית), 2019-10-26, נבדק ב-2019-11-24
- ^ Batchelder, William H. (2015-01-01). "International Encyclopedia of the Social & Behavioral Sciences". In Wright, James D. (ed.). International Encyclopedia of the Social & Behavioral Sciences (Second Edition). Elsevier. pp. 808–815. doi:10.1016/b978-0-08-097086-8.43059-x. ISBN 978-0-08-097087-5.
{{cite encyclopedia}}:|access-date=מצריך גם|url=(עזרה) - ^ McKenzie, James (2020), "Pascal's wager", Wikipedia (באנגלית), 33 (3): 21, Bibcode:2020PhyW...33c..21M, doi:10.1088/2058-7058/33/3/24, נבדק ב-2019-11-24
- ^ 1 2 3 Leahey, T. H. (1987). A History of Psychology (Second ed.). Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall. ISBN 0-13-391764-9. שגיאת ציטוט: תג
<ref>בלתי־תקין; השם "Leahey1987" הוגדר כמה פעמים עם תוכן שונה - ^ 1 2 3 Batchelder, W. H. (2002). "Mathematical Psychology". In Kazdin, A. E. (ed.). Encyclopedia of Psychology. Washington/NY: APA/Oxford University Press. ISBN 1-55798-654-1. שגיאת ציטוט: תג
<ref>בלתי־תקין; השם "Batchelder2002" הוגדר כמה פעמים עם תוכן שונה - ^ Bush, R. R.; Mosteller, F. (1951). "A mathematical model for simple learning". Psychological Review. 58 (5): 313–323. doi:10.1037/h0054388. PMID 14883244.
- ^ Estes, W. K. (1950). "Toward a statistical theory of learning". Psychological Review. 57 (2): 94–107. doi:10.1037/h0058559.
- ^ Scott, Dana; Suppes, Patrick (ביוני 1958). "Foundational aspects of theories of measurement1". The Journal of Symbolic Logic (באנגלית). 23 (2): 113–128. doi:10.2307/2964389. ISSN 0022-4812. JSTOR 2964389.
{{cite journal}}: (עזרה) - ^ Coombs, Clyde H. (1950). "Psychological scaling without a unit of measurement". Psychological Review (באנגלית). 57 (3): 145–158. doi:10.1037/h0060984. ISSN 1939-1471. PMID 15417683.
- ^ "PsycNET". psycnet.apa.org (באנגלית). נבדק ב-2019-12-09.
- ^ Stevens, S. S. (1957). "On the psychophysical law". Psychological Review (באנגלית). 64 (3): 153–181. doi:10.1037/h0046162. ISSN 1939-1471. PMID 13441853.
- ^ 1 2 Estes, W. K. (2002). History of the Society
- ^ Luce, R. D., Bush, R. R. & Galanter, E. (Eds.) (1963). Readings in mathematical psychology. Volumes I & II. New York: Wiley.
- ^ Luce, R. D., Bush, R. R. & Galanter, E. (Eds.) (1963). Handbook of mathematical psychology. Volumes I-III. New York: Wiley. Volume II from Internet Archive
- ^ Luce, R. Duncan (1986). Response Times: Their Role in Inferring Elementary Mental Organization. Oxford Psychology Series. Vol. 8. New York: Oxford University Press. ISBN 0-19-503642-5.
[[קטגוריה:מתמטיקה שימושית]] [[קטגוריה:דפים עם תרגומים שלא נסקרו]]