פאזור (אלקטרוניקה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

פאזור הוא קבוע מרוכב המייצג פונקציה סינוסואידלית של הזמן בעלת משרעת ותדירות קבועה בעזרת האקספוננט המרוכב. פאזורים משמשים בהנדסת חשמל ובפיזיקה על מנת לפשט בעיות הכוללות משוואה דיפרנציאלית לפתרון משוואה אלגברית, או על מנת לפשט בעיות הכוללות חיבור פונקציות סינוסואידליות באותה התדירות לחיבור אלגברי של מספרים מרוכבים.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

למעלה: שתי פונקציות סינוסואידליות באותה התדירות והסכום שלהן. למטה: חיבור וקטורי של הפאזורים במישור המרוכב.

סינוסואידה (או צורת גל סינוסית) היא פונקציה מהצורה:

y(t)=A\cos{(\omega t+\phi)}\,\!

כאשר:

A \!\ משרעת השיא של הפונקציה (מספר ממשי)
\phi \!\ הוא המופע ההתחלתי (לרוב נמדד ברדיאנים)
\omega \!\ היא התדירות הזוויתית (\omega = 2\pi f \!\ כאשר f \!\ היא התדירות בהרץ)
t \!\ הוא הזמן

לפי נוסחת אוילר, ניתן לכתוב באופן שקול:

y(t)=\Re(Ae^{j(\omega{}t+\phi)})\,\! = \Re(Ae^{j\phi}e^{j\omega{}t})

כאשר j = \sqrt{-1} \!\ היא היחידה המדומה ו-\Re (z) הוא החלק הממשי של המספר המרוכב  z \!\ .

הפאזור של \ y(t) מוגדר להיות המשרעת המרוכבת של \ e^{j \omega t}, ומסומן Y:

Y = Ae^{j \phi}\,

הפאזור  Y \!\ הוא קבוע מרוכב שמכיל בתוכו את המשרעת ואת המופע של הסינוסואידה, ולעתים משתמשים בסימון המפושט של גודל וזווית:

Y = A \angle \phi \,

A הוא גודל הווקטור ו-\phi הזווית מהציר האופקי בהצגה קוטבית של המספר במישור המרוכב. בהנדסת חשמל, המופע מצוין בדרך כלל במעלות במקום ברדיאנים, והגודל ניתן לעתים על ידי שורש ממוצע הריבועים (ממוצע RMS) במקום על ידי משרעת השיא.

היתרון בשימוש בפאזורים הוא הקלות הרבה שבה פעולות האריתמטיקה נעשות על מספרים מרוכבים ביחס לפונקציות טריגונומטריות. בהנחה שהתדירות של מספר פונקציות זהה, קל יותר לבצע את פעולות החשבון על הפאזורים ורק לאחר מכן להכפיל באקספוננט המרוכב התלוי בזמן ולקחת את החלק הממשי של התוצאה.

חשבון פאזורי[עריכת קוד מקור | עריכה]

כאשר סינוסואידה מיוצגת על ידי פאזור, משוואות דיפרנציאליות הופכות למשוואות אלגבריות. תוצאה זו נובעת מהעובדה שהאקספוננט המרוכב הוא פונקציה עצמית של אופרטור הנגזרת:

\frac{d}{dt}(e^{j \omega t}) = j \omega e^{j \omega t}

כלומר רק המשרעת המרוכבת משתנה על ידי הגזירה. זאת, לעומת הפונקציה המקורית בה גזירה משנה גם את המשרעת וגם את המופע:

\frac{d}{dt} \cos{\omega t} = - \omega \sin{\omega t}\,

לכן, הנגזרת לפי זמן של סינוסואידה הופכת, בייצוג פאזורי, להכפלה בתדירות הזוויתית וביחידה המדומה. באופן דומה, אינטגרציה של פאזור בזמן שקולה לחלוקה באותה תדירות מדומה.

לדוגמה, המשוואה הדיפרנציאלית הבאה מתארת את המתח על הקבל במעגל RC:

\frac{dv_C}{dt} + \frac{1}{RC}v_C = \frac{1}{RC}v_S

כאשר מקור המתח במעגל הוא סינוסואידלי (כמו בזרם חילופין): v_S(t) = V_P \cos(\omega t + \phi)\,

המשוואה הדיפרנציאלית הופכת בייצוג פאזורי:

j \omega V_c + \frac{1}{RC} V_c = \frac{1}{RC}V_s

כאשר V_s = V_P e^{j \phi}\,

פתרון המשוואה עבור פאזור המתח על הקבל נותן:

V_c = \frac{1}{1 + j \omega RC} V_s

על מנת למצוא את המתח עצמו הנופל על הקבל, ראשית יש לבטא את כל המספרים המרוכבים בצורה קוטבית:

V_c = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}}e^{j \theta(\omega)} V_s

כאשר \theta(\omega) = -\arctan(\omega RC)\,

מכאן שהפתרון המתקבל הוא:

v_C(t) = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}} V_P \cos(\omega t + \phi + \theta(\omega))

ניתוח מעגלים[עריכת קוד מקור | עריכה]

בעזרת פאזורים, השיטות לפתרון מעגלי זרם ישר (DC) יכולות לשמש גם לפתרון מעגלי זרם חילופין (AC):

V=IZ \!\

כאשר Z \!\ נקרא עכבה חשמלית.

  • במעגל AC קיים רכיב הספק חשמלי אקטיבי P \!\ , שמציין את ההספק הממוצע הנצרך על ידי המעגל, ורכיב הספק ריאקטיבי Q \!\ , שמציין העברת הספק בין רכיבי המעגל. ניתן להגדיר את ההספק המרוכב S=P+jQ \!\ . חוק ההספק במעגל AC המבוטא בפאזורים:
S=\frac{1}{2}VI^* \!\ (כאשר I^* \!\ הוא הצמוד המרוכב של I \!\ ).

מהנאמר לעיל ניתן ליישם את השיטות לניתוח רשת נגדים בעזרת פאזורים כדי לנתח מעגלי AC בעלי תדר יחיד הכוללים נגדים, קבלים וסלילים. מעגלים בעלי ריבוי תדרים ומעגלים עם צורות גל שונות ניתן לנתח על ידי פירוק כל צורות הגל לרכיבים בעלי צורות גל סינוסיות שלכל רכיב יש תדר, גודל ופאזה משלו, ואז ניתוח כל תדר בנפרד למציאת המתח והזרם. עם זאת שיטה זו לא עובדת להספק כי ההספק מבוסס על מכפלת המתח בזרם.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא פאזור (אלקטרוניקה) בוויקישיתוף