קבוצת מנדלברוט

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

ייצוג גאומטרי של קבוצת מנדלברוט

סרטון של זום לתוך קבוצת מנדלברוט

קבוצת מנדלברוט היא קבוצה של מספרים מרוכבים אשר הגבול של ייצוגן הגאומטרי מהווה את אחת הדוגמאות המוכרות ביותר של פרקטלים במתמטיקה. קבוצת מנדלברוט תוארה לראשונה על ידי בנואה מנדלברוט בשנת 1979.

[עריכה] הגדרה

קבוצת מנדלברוט מוגדרת באמצעות הפולינומים $\ f(z)=z^2+c$ , באופן הבא. לכל מספר מרוכב c, אפשר להגדיר באופן רקורסיבי סדרה, שאיברה הראשון $\ a_0=0$ , והמשכה מחושב על-פי הכלל $\ a_{n+1}=a_n^2+c$ . הסדרה עשויה להיות חסומה או בלתי-חסומה, תלוי בערכו של c.

קבוצת מנדלברוט מורכבת מן המספרים $c \in \mathbb{C}$ שעבורם הסדרה $\ a_n$ חסומה.

[עריכה] הצגת הקבוצה כפרקטל

שרטוט הפרקטל שיוצרת קבוצת מנדלברוט יעשה בדרך כלל על מישור קרטזי בו ציר X מייצג את רכיב המספר הממשי וציר Y מייצג את הרכיב הדמיוני (מישור גאוס). ניתן להתאים כל פיקסל בשרטוט למספר מרוכב במישור גאוס ולצבוע אותו באופן הבא:

הפיקסלים התואמים למספרים השייכים לקבוצה ייצבעו בצבע אחיד -שחור בדרך כלל.
כל שאר הפיקסלים במפה ייצבעו בצבעים שונים על פי מספר האיברים בסדרה המתבדרת שערכם המוחלט קטן ממספר מסוים - 2 בדרך כלל.

קיימות דרכים נוספות לשרטט את הקבוצה, אך זוהי הדרך שמוצגת ברוב הדוגמאות.