קבוצת מנדלברוט

ייצוג גאומטרי של קבוצת מנדלברוט

סרטון של זום לתוך קבוצת מנדלברוט

קבוצת מנדלברוט היא קבוצה של מספרים מרוכבים. למרות ההגדרה הפשוטה, תנאי השייכות לקבוצה עדין ביותר, ובקרבת השפה מופיעה התנהגות פרקטלית של דמיון-עצמי בכל קנה מידה. קבוצת מנדלברוט תוארה לראשונה על ידי בנואה מנדלברוט בשנת 1979, וקרויה על שמו.

הגדרה [עריכה]

קבוצת מנדלברוט מוגדרת באופן הבא. לכל מספר מרוכב c, אפשר להגדיר באופן רקורסיבי סדרה, שאיברה הראשון $\ a_0(c)=0$ , והמשכה מחושב על-פי הכלל $\ a_{n+1}(c)=a_n(c)^2+c$ . הסדרה עשויה להיות חסומה או בלתי-חסומה, תלוי בערכו של c.

קבוצת מנדלברוט מורכבת מן המספרים $c \in \mathbb{C}$ שעבורם הסדרה $\ a_n(c)$ חסומה.

הצגת הקבוצה כפרקטל [עריכה]

את קבוצת מנדלברוט מתארים במישור המרוכב שבו הצירים מייצגים את החלק הממשי והמדומה של כל מספר. הנקודות השייכות לקבוצה (כלומר, הערכים של c שעבורם הסדרה $\ a_n(c)$ חסומה) נצבעות בשחור, וכל נקודה אחרת מקבלת צבע התלוי במספר האברים בסדרה שערכם המוחלט קטן ממספר מסוים - 2 בדרך כלל.