קבוצת מנדלברוט

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
ייצוג גאומטרי של קבוצת מנדלברוט

קבוצת מנדלברוט היא קבוצה של מספרים מרוכבים. למרות ההגדרה הפשוטה, תנאי השייכות לקבוצה עדין ביותר, ובקרבת השפה מופיעה התנהגות פרקטלית של דמיון-עצמי בכל קנה מידה. קבוצת מנדלברוט תוארה לראשונה על ידי בנואה מנדלברוט בשנת 1979, וקרויה על שמו.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

קבוצת מנדלברוט מוגדרת באופן הבא. לכל מספר מרוכב c, אפשר להגדיר באופן רקורסיבי סדרה, שאיברה הראשון \ a_0(c)=0, והמשכה מחושב על-פי הכלל \ a_{n+1}(c)=a_n(c)^2+c. הסדרה עשויה להיות חסומה או בלתי-חסומה, תלוי בערכו של c.

קבוצת מנדלברוט מורכבת מן המספרים c \in \mathbb{C} שעבורם הסדרה \ a_n(c) חסומה. מנקודת מבט שונה במקצת, לכל c, מוגדרת קבוצת ג'וליה \ J_c כשפה של קבוצת הנקודות \ z \in \mathbb{C} שעבורן הסדרה \ f_c^n(z) חסומה (כאשר \ f_c(z) = z^2+c). ג'וליה ו-Fatou הוכיחו שאם הסדרה \ f_c^n(0) חסומה (כלומר c שייכת לקבוצת מנדלברוט) אז \ J_c קשירה, ואם היא אינה חסומה, אז \ J_c בלתי קשירה לחלוטין.

הצגת הקבוצה כפרקטל[עריכת קוד מקור | עריכה]

את קבוצת מנדלברוט מתארים במישור המרוכב שבו הצירים מייצגים את החלק הממשי והמדומה של כל מספר. הנקודות השייכות לקבוצה (כלומר, הערכים של c שעבורם הסדרה \ a_n(c) חסומה) נצבעות בשחור, וכל נקודה אחרת מקבלת צבע התלוי במספר האברים בסדרה שערכם המוחלט קטן ממספר מסוים - 2 בדרך כלל.

הדגמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהדגמה שלהלן מתבצע שינוי קנה המידה. כל תמונה היא הגדלה של אזור מסוים בתמונה הקודמת. ההגדלה הכוללת מהתמונה הראשונה לאחרונה מגיעה עד כדי 60 מיליארד.

התחלה
שלב 1
שלב 2
שלב 3
שלב 4
שלב 5
שלב 6
שלב 7
שלב 8
שלב 9
שלב 10
שלב 11
שלב 12
שלב 13
שלב 14

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]