סגור (טופולוגיה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

בטופולוגיה, סְגוֹ‏‏ר של קבוצה S השייכת למרחב X הוא הקבוצה הסגורה הקטנה ביותר המכילה את S. מבחינה אינטואיטיבית אפשר לחשוב עליו כעל קבוצה המכילה את אברי S ואת כל הנקודות ש"נוגעות" בקבוצה S.

[עריכה] הגדרה פורמלית

יהא $\!\, X$ מרחב טופולוגי כלשהו, ותהא $\!\, S\subseteq X$ קבוצה. אם $\!\, \Lambda$ היא קבוצת הקבוצות הסגורות המקיימות $\!\, S\subseteq A\subseteq X$ , אז הסגור של $\!\, S$ יסומן $\!\, \mbox{Cl}(S)$ או $\!\, \bar{S}$ , ויוגדר על ידי:

$\!\, \overline{S} = \mbox{Cl}(S)=\bigcap_{A\isin\Lambda}A$ .

נביא כאן מספר הגדרות אלטרנטיביות ששקולות להגדרה שהבאנו (כלומר, ניתן להוכיח אותן מההגדרה, ואם מקבלים אותם כהגדרה, ניתן להוכיח מהם את ההגדרה המקורית):

$\!\, \mbox{Cl}(S)$ היא קבוצת כל האיברים של $\!\, X$ שבכל סביבה שלהם קיים איבר של $\!\, S$ (לא בהכרח שונה מהם).
$\!\, \mbox{Cl}(S)=S\cup S'$ , כאשר $\!\, S'$ היא הקבוצה הנגזרת של $\!\, S$ .
הגדרה באמצעות הפנים של המשלים של הקבוצה: $\!\, \mbox{Cl}(A)=\left(\mbox{Int}(A^C)\right)^C$ .

[עריכה] דוגמאות

הסגור של הקטע הפתוח $\ (a,b)$ הוא הקטע הסגור $\ [a,b]$ .
הסגור של קבוצת המספרים הרציונלים $\mathbb{Q}$ הוא הישר הממשי כולו $\mathbb{R}$ .

[עריכה] תכונות הנוגעות לסגור

כל קבוצה סגורה שווה לסגור שלה: $\!\, A=\mbox{Cl}(A)$ . בפרט הסגור הוא קבוצה סגורה ולכן $\!\, \mbox{Cl}(A)=\mbox{Cl}\left(\mbox{Cl}(A)\right)$ .
$\!\, A\subseteq B \rArr \mbox{Cl}(A)\subseteq \mbox{Cl}(B)$ .
$\!\, \mbox{Cl}\left(A\cap B\right)\subseteq \mbox{Cl}(A)\cap \mbox{Cl}(B)$ .
$\!\, \mbox{Cl}\left(A\cup B\right)= \mbox{Cl}(A)\cup \mbox{Cl}(B)$ .
$\!\, f$ היא פונקציה רציפה אם ורק אם לכל $\!\, A$ בתחום שלה מתקיים $\!\, f\left(\mbox{Cl}(A)\right)\subseteq \mbox{Cl}\left(f(A)\right)$ . בפרט, הסגור של קבוצה קשירה הוא קשיר.
אם $\!\, A$ קבוצה קשירה, לכל $\!\, A\subseteq B\subseteq \mbox{Cl}(A)$ מתקיים שגם $\!\, B$ קבוצה קשירה.
קבוצה $\!\, A$ במרחב $\!\, X$ המקיימת $\!\, \mbox{Cl}(A)=X$ נקראת קבוצה צפופה.
קבוצה $\!\, A$ במרחב $\!\, X$ המקיימת $\!\, \mbox{Int}\left(\mbox{Cl}(A)\right)=\emptyset$ נקראת קבוצה דלילה.