סגור (טופולוגיה)
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
בטופולוגיה, סְגוֹר של קבוצה S השייכת למרחב X הוא הקבוצה הסגורה הקטנה ביותר המכילה את S. מבחינה אינטואיטיבית אפשר לחשוב עליו כעל קבוצה המכילה את אברי S ואת כל הנקודות ש"נוגעות" בקבוצה S.
[עריכה] הגדרה פורמלית
יהא
מרחב טופולוגי כלשהו, ותהא
קבוצה. אם
היא קבוצת הקבוצות הסגורות המקיימות
, אז הסגור של
יסומן
או
, ויוגדר על ידי:
-
.
נביא כאן מספר הגדרות אלטרנטיביות ששקולות להגדרה שהבאנו (כלומר, ניתן להוכיח אותן מההגדרה, ואם מקבלים אותם כהגדרה, ניתן להוכיח מהם את ההגדרה המקורית):
היא קבוצת כל האיברים של
שבכל סביבה שלהם קיים איבר של
(לא בהכרח שונה מהם).
, כאשר
היא הקבוצה הנגזרת של
.- הגדרה באמצעות הפנים של המשלים של הקבוצה:
.
[עריכה] דוגמאות
- הסגור של הקטע הפתוח
הוא הקטע הסגור
. - הסגור של קבוצת המספרים הרציונלים
הוא הישר הממשי כולו
.
[עריכה] תכונות הנוגעות לסגור
- כל קבוצה סגורה שווה לסגור שלה:
. בפרט הסגור הוא קבוצה סגורה ולכן
.
.
.
.
היא פונקציה רציפה אם ורק אם לכל
בתחום שלה מתקיים
. בפרט, הסגור של קבוצה קשירה הוא קשיר.- אם
קבוצה קשירה, לכל
מתקיים שגם
קבוצה קשירה. - קבוצה
במרחב
המקיימת
נקראת קבוצה צפופה. - קבוצה
במרחב
המקיימת
נקראת קבוצה דלילה.
נשים לב שרבות מתכונות אלו מזכירות את תכונות הפנים.
| טופולוגיה קבוצתית | ||
|---|---|---|
|
||
| אנליזה מתמטית • חשבון אינפיניטסימלי • אנליזה וקטורית • טופולוגיה • אנליזה מרוכבת • אנליזה פונקציונלית • תורת המידה |