סגור (טופולוגיה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

בטופולוגיה, סְגוֹר של קבוצה השייכת למרחב הוא הקבוצה הסגורה הקטנה ביותר המכילה את . מבחינה אינטואיטיבית אפשר לחשוב עליו כעל קבוצה המכילה את אברי ואת כל הנקודות ש"נוגעות" בקבוצה .

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהא מרחב טופולוגי כלשהו, ותהא קבוצה. אם היא קבוצת הקבוצות הסגורות המקיימות (כלומר, קבוצת הקבוצות הסגורות המכילות את ), אז הסגור של יסומן או , ויוגדר על ידי:

.

להלן מספר הגדרות אלטרנטיביות ששקולות להגדרה לעיל (כלומר, ניתן להוכיח אותן מההגדרה, ואם מקבלים אותן כהגדרה, ניתן להוכיח מהן את ההגדרה המקורית):

  • היא קבוצת כל האיברים של שבכל סביבה שלהם קיים איבר של (לא בהכרח שונה מהם).
  • , כאשר היא הקבוצה הנגזרת של .
  • הגדרה באמצעות הפנים של המשלים של הקבוצה: .

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

תכונות הנוגעות לסגור[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • כל קבוצה סגורה שווה לסגור שלה: . בפרט הסגור הוא קבוצה סגורה ולכן .
  • .
  • .
  • .
  • היא פונקציה רציפה אם ורק אם לכל בתחום שלה מתקיים .
  • אם קבוצה קשירה, לכל מתקיים שגם קבוצה קשירה. בפרט, הסגור של קבוצה קשירה גם הוא קשיר.
  • קבוצה במרחב המקיימת נקראת קבוצה צפופה.
  • קבוצה במרחב המקיימת נקראת קבוצה דלילה.

נשים לב שרבות מתכונות אלו מזכירות את תכונות הפנים.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • סגור, באתר MathWorld (באנגלית)