סגור (טופולוגיה)

בטופולוגיה, סְגוֹ‏‏ר של קבוצה S השייכת למרחב X הוא הקבוצה הסגורה הקטנה ביותר המכילה את S. מבחינה אינטואיטיבית אפשר לחשוב עליו כעל קבוצה המכילה את אברי S ואת כל הנקודות ש"נוגעות" בקבוצה S.

הגדרה פורמלית

יהא $\!\, X$ מרחב טופולוגי כלשהו, ותהא $\!\, S\subseteq X$ קבוצה. אם $\!\, \Lambda$ היא קבוצת הקבוצות הסגורות המקיימות $\!\, S\subseteq A\subseteq X$, אז הסגור של $\!\, S$ יסומן $\!\, \mbox{Cl}(S)$ או $\!\, \bar{S}$, ויוגדר על ידי:

$\!\, \overline{S} = \mbox{Cl}(S)=\bigcap_{A\isin\Lambda}A$.

נביא כאן מספר הגדרות אלטרנטיביות ששקולות להגדרה שהבאנו (כלומר, ניתן להוכיח אותן מההגדרה, ואם מקבלים אותם כהגדרה, ניתן להוכיח מהם את ההגדרה המקורית):

• $\!\, \mbox{Cl}(S)$ היא קבוצת כל האיברים של $\!\, X$ שבכל סביבה שלהם קיים איבר של $\!\, S$ (לא בהכרח שונה מהם).
• $\!\, \mbox{Cl}(S)=S\cup S'$, כאשר $\!\, S'$ היא הקבוצה הנגזרת של $\!\, S$.
• הגדרה באמצעות הפנים של המשלים של הקבוצה: $\!\, \mbox{Cl}(A)=\left(\mbox{Int}(A^C)\right)^C$.

דוגמאות

• הסגור של הקטע הפתוח $\ (a,b)$ הוא הקטע הסגור $\ [a,b]$.
• הסגור של קבוצת המספרים הרציונלים $\mathbb{Q}$ הוא הישר הממשי כולו $\mathbb{R}$.

תכונות הנוגעות לסגור

• כל קבוצה סגורה שווה לסגור שלה: $\!\, A=\mbox{Cl}(A)$. בפרט הסגור הוא קבוצה סגורה ולכן $\!\, \mbox{Cl}(A)=\mbox{Cl}\left(\mbox{Cl}(A)\right)$.
• $\!\, A\subseteq B \rArr \mbox{Cl}(A)\subseteq \mbox{Cl}(B)$.
• $\!\, \mbox{Cl}\left(A\cap B\right)\subseteq \mbox{Cl}(A)\cap \mbox{Cl}(B)$.
• $\!\, \mbox{Cl}\left(A\cup B\right)= \mbox{Cl}(A)\cup \mbox{Cl}(B)$.
• $\!\, f$ היא פונקציה רציפה אם ורק אם לכל $\!\, A$ בתחום שלה מתקיים $\!\, f\left(\mbox{Cl}(A)\right)\subseteq \mbox{Cl}\left(f(A)\right)$. בפרט, הסגור של קבוצה קשירה הוא קשיר.
• אם $\!\, A$ קבוצה קשירה, לכל $\!\, A\subseteq B\subseteq \mbox{Cl}(A)$ מתקיים שגם $\!\, B$ קבוצה קשירה.
• קבוצה $\!\, A$ במרחב $\!\, X$ המקיימת $\!\, \mbox{Cl}(A)=X$ נקראת קבוצה צפופה.
• קבוצה $\!\, A$ במרחב $\!\, X$ המקיימת $\!\, \mbox{Int}\left(\mbox{Cl}(A)\right)=\emptyset$ נקראת קבוצה דלילה.

נשים לב שרבות מתכונות אלו מזכירות את תכונות הפנים.