מספר אי-רציונלי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

מספר אי רציונלי הוא מספר ממשי שאינו מספר רציונלי, כלומר שלא ניתן להציגו כמנה של שני מספרים שלמים. כל מספר ממשי הוא רציונלי או אי-רציונלי (אך לא שניהם גם יחד). לעתים קשה לקבוע לאיזו משתי הקבוצות משתייך מספר מסוים (ראו, למשל, קבוע אוילר).

לצד החלוקה של המספרים הממשיים לרציונליים ואי-רציונליים, קיימת גם חלוקה למספרים אלגבריים ולא אלגבריים:

כל מספר רציונלי הוא אלגברי (אבל לא בהכרח להפך), ולכן כל מספר טרנסצנדנטי הוא אי-רציונלי (אבל לא בהכרח להפך).

מקור השם[עריכת קוד מקור | עריכה]

סברה נפוצה ושגויה היא שהשם "אי-רציונלי" מבטא את התפיסה שמספרים אי-רציונליים נוגדים את ההגיון. למעשה המילה "רציונלי" בהקשר הזה מגיעה מהמילה "ratio" שמשמעה יחס. כלומר השם "אי-רציונלי" מבטא את העובדה שמספרים אלו אינם יחס בין שני מספרים שלמים.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הדוגמה הקלה והמפורסמת ביותר למספר אי-רציונלי היא שורש 2, שהוא מספר ממשי השווה לאורך האלכסון של ריבוע שצלעו יחידה אחת (ראו משפט פיתגורס). ההוכחה שמספר זה אינו רציונלי היא בדרך השלילה:

נניח כי \sqrt{2} הוא מספר רציונלי, כלומר קיימים מספרים שלמים זרים (כלומר, המספר היחיד שמחלק את שניהם הוא 1) m,n שמקיימים \sqrt{2}=\tfrac{m}{n} (כל מספר רציונלי ניתן להצגה בצורה זו, שהרי מספרים שאינם זרים ניתן לצמצם). כעת נעלה בריבוע את שני אגפי המשוואה ונקבל \tfrac{m^2}{n^2}=2, ולכן m^2=2n^2.
צד ימין של המשוואה הוא מספר זוגי (כי הוא מתחלק ב-2), ולכן גם צד שמאל של המשוואה הוא מספר זוגי, כלומר m^2 הוא מספר זוגי. ריבוע של מספר הוא זוגי אם ורק אם המספר עצמו הוא זוגי (כי מכפלה של שני מספרים אי זוגיים היא אי זוגית, ובפרט ריבוע של מספר אי זוגי הוא אי זוגי), כלומר קיים מספר שלם k כך שמתקיים m=2k. ולכן 2n^2=4k^2, כלומר n^2=2k^2, ולכן גם n הוא מספר זוגי.
קיבלנו כי m וגם n הם מספרים זוגיים, ולכן אינם זרים (שניהם מתחלקים ב-2). ההנחה כי \sqrt{2} הוא מספר רציונלי הובילה אותנו לסתירה, ולכן אינה נכונה, כלומר \sqrt{2} הוא מספר אי-רציונלי.

הוכחה זאת עובדת לכל מספר חופשי מריבועים. כדי להוכיח עבור מספר טבעי שאינו ריבועי אך גם אינו חופשי מריבועים, יש לפרק אותו למכפלה של מספר ריבועי ומספר חופשי מריבועים. מכפלת השורשים שלהם היא השורש של המספר המקורי, שהיא מכפלת מספר רציונלי במספר אי-רציונלי, הנותנת מספר אי-רציונלי.

שורש 2 הוא המספר הראשון שהוכח כאי-רציונלי, ואת ההוכחה הראשונה לכך מצא פיתגורס, או אחד מתלמידיו. קיומם של המספרים האי-רציונליים היה מכה קשה לפילוסופיה הפיתגוראית לגבי יופיים ושלמותם של המספרים.

לכל שני ראשוניים שונים p ו-q, המספר \ \log_q p = \tfrac{\log(p)}{\log(q)} אינו רציונלי, משום שאם היחס היה רציונלי, אפשר היה לכתוב \ \tfrac{\log(p)}{\log(q)} = \tfrac{a}{b} עבור a ו-b שלמים, אבל אז \ p^b = q^a, וזה בלתי אפשרי.

דוגמה אחרת למספר אי רציונלי היא המספר π (פאי), שהוא היחס בין היקף המעגל לקוטרו. ערכו הוא \ 3.14159265..., קרוב ל- \ \tfrac{355}{113} = 3.14159292..., אך הוכח שאין שני מספרים שלמים שחלוקתם זה בזה תיתן את ערכו המדויק של π.

אף שמספרים אי-רציונליים נפוצים פחות בחיי היום-יום, ניתן להראות כי כמעט כל המספרים הם אי-רציונליים. זאת משום שעוצמת המספרים הרציונליים היא אלף אפס בעוד עוצמת המספרים האי-רציונליים היא עוצמת הרצף (ראו האלכסון של קנטור).

מספר אי-רציונלי בחזקת מספר אי-רציונלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

מספר אי-רציונלי בחזקת מספר אי-רציונלי יכול להיות רציונלי. הוכחה לא קונסטרוקטיבית לכך ניתנת על ידי הצגת המספר \sqrt{2}^\sqrt{2} והמספר (\sqrt{2}^\sqrt{2})^\sqrt{2}=2. קל לראות שהראשון הוא מספר אי-רציונלי בחזקת אי-רציונלי ושהשני הוא מספר שלם ולכן רציונלי. מכאן נובע שלפחות אחד מהשניים מראה כי הטענה הנ"ל נכונה, שכן אם המספר הראשון הוא רציונלי אז סיימנו, אחרת השני הוא אי-רציונלי בחזקת אי-רציונלי שתוצאתו רציונלית ועל כן סיימנו.

לדוגמה זו בפרט ניתן להוכיח כי \sqrt{2}^\sqrt{2} הוא טרנסצנדנטי תוך שימוש במשפט גלפונד-שניידר האומר כי אם a הוא אלגברי שאינו 0 או 1 ו-b הוא מספר אלגברי אי-רציונלי, אז \ a^b הוא טרנסצנדנטי.‏[1]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ Rational Irrational Power, Math Fun Facts (באנגלית)