מספר אי-רציונלי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

מספר אי רציונלי הוא מספר ממשי שאינו מספר רציונלי, כלומר שלא ניתן להציגו כמנה של שני מספרים שלמים. כל מספר ממשי הוא רציונלי או אי-רציונלי (אך לא שניהם גם יחד). לעתים קשה לקבוע לאיזו משתי הקבוצות משתייך מספר מסוים (ראו, למשל, קבוע אוילר).

לצד החלוקה של המספרים הממשיים לרציונליים ואי-רציונליים, קיימת גם חלוקה למספרים אלגבריים ולא אלגבריים:

מספרים אלגבריים הם מספרים המהווים שורש של פולינום בעל מקדמים רציונליים. לדוגמה, $\sqrt{2}$ , שהוא פתרון של המשוואה $\,x^2-2=0$ , ויחס הזהב $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ , שהוא פתרון המשוואה $\,x^2 - x- 1=0\$ , הם אלגבריים.
מספרים ממשיים שאינם אלגבריים קרויים "טרנסצנדנטיים". למשל, במאה ה-19 הוכח כי π ו-e הם מספרים טרנסצנדנטיים.

כל מספר רציונלי הוא אלגברי, ולכן כל מספר טרנסצנדנטי הוא אי-רציונלי.

[עריכה] דוגמאות

הדוגמה הקלה והמפורסמת ביותר למספר אי-רציונלי היא השורש של המספר 2, שהוא מספר ממשי השווה לאורך האלכסון של ריבוע שצלעו יחידה אחת (ראו משפט פיתגורס). ההוכחה שמספר זה אינו רציונלי היא בדרך השלילה:

נניח כי $\sqrt{2}$ הוא מספר רציונלי, כלומר קיימים מספרים שלמים זרים (כלומר, המספר היחיד שמחלק את שניהם הוא 1) $\!\, m,n$ שמקיימים $\sqrt{2} = \frac{m}{n}$ (כל מספר רציונלי ניתן להצגה בצורה זו, שהרי מספרים שאינם זרים ניתן לצמצם). כעת נעלה בריבוע את שני אגפי המשוואה ונקבל $\ \frac{m^2}{n^2}=2$ , ולכן $\ m^2=2n^2$ .

צד ימין של המשוואה הוא מספר זוגי (כי הוא מתחלק ב-2), ולכן גם צד שמאל של המשוואה הוא מספר זוגי, כלומר $\ m^2$ הוא מספר זוגי. ריבוע של מספר הוא זוגי אם ורק אם המספר עצמו הוא זוגי (כי מכפלה של שני מספרים אי זוגיים היא אי זוגית, ובפרט ריבוע של מספר אי זוגי הוא אי זוגי), כלומר קיים מספר שלם $\ k$ כך שמתקיים $\ m=2k$ . ולכן $\ 2n^2 = 4k^2$ , כלומר $\ n^2 = 2k^2$ , ולכן גם $\ n$ הוא מספר זוגי.

קיבלנו כי $\ m$ וגם $\ n$ הם מספרים זוגיים, ולכן אינם זרים (שניהם מתחלקים ב-2). ההנחה כי $\sqrt{2}$ הוא מספר רציונלי הובילה אותנו לסתירה, ולכן אינה נכונה, כלומר $\sqrt{2}$ הוא מספר אי רציונלי.

באופן כללי יותר, הוכחה דומה מראה שאם $\ n$ מספר טבעי והשורש שלו אינו שלם, אז השורש גם אינו רציונלי.

שורש 2 הוא המספר הראשון שהוכח כאי-רציונלי, ואת ההוכחה הראשונה לכך מצא פיתגורס, או אחד מתלמידיו. קיומם של המספרים האי-רציונליים היה מכה קשה לפילוסופיה הפיתגוראית לגבי יופיים ושלמותם של המספרים.

לכל שני ראשוניים שונים p ו-q, המספר $\ \frac{\log(p)}{\log(q)}$ אינו רציונלי, משום שאם היחס היה רציונלי, אפשר היה לכתוב $\ \frac{\log(p)}{\log(q)} = \frac{a}{b}$ עבור a ו-b שלמים, אבל אז $\ p^b = q^a$ , וזה בלתי אפשרי.

דוגמה אחרת למספר אי רציונלי היא המספר π (פאי), שהוא היחס בין היקף המעגל לקוטרו. ערכו הוא $\ 3.14159265...$ , קרוב ל- $\ \frac{355}{113} = 3.14159292...$ , אך הוכח שאין שני מספרים שלמים שחלוקתם זה בזה תיתן את הערך המדויק של π.

קבועים אי רציונליים ידועים

מספר אפרי ‏(3)ζ • ‏2√ • יחס הזהב $φ$ • בסיס הלוגריתם הטבעי $e$ • פאי $π$

מערכות מספרים
מספרים	המספרים הטבעיים $\mathbb{N}$ • מערכת פאנו • חוג המספרים השלמים $\mathbb{Z}$ (מספרים חיוביים ושליליים, מספר שלם) • שדה המספרים הרציונליים $\mathbb{Q}$ (מספר רציונלי, מספר אי רציונלי) • שדה המספרים הממשיים $\mathbb{R}$ (הישר הממשי, מספר ממשי) • שדה המספרים המרוכבים $\mathbb{C}$ (המישור המרוכב, מספר מרוכב , מספר מדומה)
הרחבות של חוג המספרים השלמים	חוג השלמים של גאוס $\ \mathbb{Z}[i]$ • חוג השלמים האלגבריים $\ \overline{\mathbb{Z}}$
הרחבות של שדה המספרים הרציונליים	שדה מספרים • שדה המספרים האלגבריים $\ \overline{\mathbb{Q}}$ (מספר אלגברי, מספר טרנסצנדנטי) • שדה המספרים ה-p-אדיים $\mathbb{Q}_p$ (מספר p-אדי) • שדה ציקלוטומי
מעבר למרוכבים	אלגברת הקווטרניונים של המילטון $\ {\mathbb{H}}$ • אוקטוניונים $\ {\mathbb{O}}$ • אלגברות קיילי-דיקסון

מספר אי-רציונלי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

[עריכה] דוגמאות

צפיות

כלים אישיים

חיפוש

ניווט

קהילה

תיבת כלים

שפות אחרות