התפלגות מולטינומית

התפלגות מולטינומית

מאפיינים
פרמטרים	$n>0$ מספר ניסויים קטגוריאלים (מספר שלם) $k>0$ מספר קטגוריות בניסוי קטגוריאלי בודד (מספר שלם) $p_{1},\ldots ,p_{k}$ הסתברויות לקטגוריות, כאשר $p_{1}+\dots +p_{k}=1$
תומך	$\left\lbrace (x_{1},\dots ,x_{k})\,{\Big \vert }\,\sum _{i=1}^{k}x_{i}=n,x_{i}\geq 0\ (i=1,\dots ,k)\right\rbrace$
פונקציית הסתברות (pmf)	${\frac {n!}{x_{1}!\cdots x_{k}!}}p_{1}^{x_{1}}\cdots p_{k}^{x_{k}}$
תוחלת	$\operatorname {E} (X_{i})=np_{i}$
שונות	$\operatorname {Var} (X_{i})=np_{i}(1-p_{i})$ $\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=-np_{i}p_{j}~~(i\neq j)$
אנטרופיה	$-\log(n!)-n\sum _{i=1}^{k}p_{i}\log(p_{i})+\sum _{i=1}^{k}\sum _{x_{i}=0}^{n}{\binom {n}{x_{i}}}p_{i}^{x_{i}}(1-p_{i})^{n-x_{i}}\log(x_{i}!)$
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf)	${\biggl (}\sum _{i=1}^{k}p_{i}e^{t_{i}}{\biggr )}^{n}$
פונקציה אופיינית	$\left(\sum _{j=1}^{k}p_{j}e^{it_{j}}\right)^{n}$ כאשר $i^{2}=-1$

בתורת ההסתברות, התפלגות מולטינומית היא הכללה של ההתפלגות הבינומית וניתן לקבלה באופן הבא: נתון ניסוי מסוים, עם $k$ תוצאות אפשריות שונות $A_{1},A_{2},...,A_{k}$ (מאורעות זרים או קטגוריות) כאשר ההסתברות לקבל תוצאה $A_{i}$ היא $p_{i}$. חוזרים על הניסוי $n$ פעמים בלתי תלויות ומסכמים את התוצאות באמצעות משתנים מקריים בינומיים $X_{i}\sim Bin(n,p_{i})$, כאשר $X_{i}$ מציין את מספר הפעמים שהתקבלה התוצאה $A_{i}$ מתוך $n$ החזרות. לווקטור המקרי $X=(X_{1},X_{2},...,X_{k})$ יש התפלגות מולטינומית. עבור $k=1$ מקבלים את ההתפלגות קטגוריאלית.

פונקציית הסתברות

פונקציית ההסתברות של הווקטור המקרי $X$ היא:

${\begin{aligned}P(X=(x_{1},x_{2},...,x_{n}))&{}=P(X_{1}=x_{1},\dots ,X_{k}=x_{k})\\\\&{}={\begin{cases}{\displaystyle {n! \over x_{1}!\cdots x_{k}!}p_{1}^{x_{1}}\cdots p_{k}^{x_{k}}}\quad &,\sum _{i=1}^{k}x_{i}=n&{\mbox{םא }}\\\\0&&{\mbox{תרחא }}\end{cases}}\end{aligned}}$

הסבר לנוסחה

מאחר שהחזרות בלתי תלויות, ההסתברות ל-$n$-יה ספציפית של תוצאות שבה $A_{1}$ התקבל $x_{1}$ פעמים, $A_{2}$ התקבל $x_{2}$ פעמים,... ו- $A_{k}$ התקבל $x_{k}$ פעמים, היא $p_{1}^{x_{1}}\cdots p_{k}^{x_{k}}$. את המספר הזה נכפול במספר ה-$n$-יות מסוג זה ואותו ניתן לחשב בדרך באה: תחילה נחשב את מספר הדרכים למקם $x_{1}$ פעמים את התוצאה $A_{1}$ ב-$n$-יה -${\tbinom {n}{x_{1}}}={\tfrac {n!}{x_{1}!(n-x_{1}!)}}$. את המספר הזה נכפול במספר הדרכים למקם $x_{2}$ פעמים את התוצאה $A_{2}$ ב-$n-x_{1}$ המקומות הריקים שנותרו- ${\tbinom {n-x_{1}}{x_{2}}}={\tfrac {(n-x_{1})!}{x_{2}!(n-x_{1}-x_{2}!)}}$. כך נמשיך עד שבסוף נכפול את התוצאה במספר הדרכים למקם את התוצאה $A_{k-1}$ ב- $n-x_{1}-...-x_{k-2}$ המקומות שנותרו-${\tbinom {n-x_{1}-...-x_{k-2}}{x_{k-1}}}={\tfrac {(n-x_{1}-...-x_{k-2})!}{x_{k-1}!(n-x_{1}-...-x_{k-1})!}}={\tfrac {(n-x_{1}-...-x_{k-2})!}{x_{k-1}!x_{k}!}}$ . עבור $x_{k}$ הפעמים של התוצאה $A_{k}$ יוותרו בדיוק $x_{k}$ מקומות ולכן רק דרך אחת למקם אותם. בסופו של דבר תוצאת הכפל תהיה:

$${\tbinom {n}{x_{1}}}{\tbinom {n-x_{1}}{x_{2}}}\cdots {\tbinom {n-x_{1}-...-x_{k-2}}{x_{k-1}}}={\tfrac {n!}{x_{1}!(n-x_{1}!)}}{\tfrac {(n-x_{1})!}{x_{2}!(n-x_{1}-x_{2}!)}}\cdots {\tfrac {(n-x_{1}-...-x_{k-2})!}{x_{k-1}!(n-x_{1}-...-x_{k-1})!}}={\tfrac {n!}{x_{1}!\cdots x_{k}!}}$$

התוצאה הסופית של הכפל, המתקבלת כתוצאה של צמצומים, שווה למספר ה-$n$-יות המבוקש. זהו המקדם המולטינומי שמופיע כחלק מהנוסחה.

דוגמה

נתון כד ובו 10 כדורים. חמישה מהכדורים בכד כחולים, שלושה אדומים ושניים ירוקים. בכל פעם מוציאים כדור מהכד ומחזירים אותו. חוזרים על הפעולה 8 פעמים. מהי ההסתברות שמתוך 8 הפעמים ב-3 פעמים הוצא כדור כחול, ב-4 הוצא כדור ירוק ופעם אחת הוצא כדור אדום?

תשובה

במקרה כזה, הניסוי שחוזר על עצמו הוא הוצאה והחזרה של הכדור. יש לניסוי הזה שלוש תוצאות אפשריות $(k=3)$: $A_{1}$- התקבל כדור כחול, $A_{2}$- התקבל כדור אדום ו-$A_{3}$- התקבל כדור ירוק. ההסתברות לקבל כדור כחול בניסוי בודד היא $p_{1}={\frac {5}{10}}=0.5$, לקבל כדור אדום $p_{2}={\frac {3}{10}}=0.3$ ולקבל כדור ירוק $p_{3}={\frac {2}{10}}=0.2$. חוזרים על הניסוי 8 פעמים $(n=8)$. ההסתברות שמתוך 8 הפעמים ב-3 הוצא כדור כחול $(x_{1}=3)$, ב-4 הוצא כדור ירוק $(x_{2}=4)$ ופעם אחת הוצא כדור אדום $(x_{3}=1)$ היא:

$$\Pr(X=(3,4,1))=\Pr(X_{1}=3,X_{2}=4,X_{3}=1)=\displaystyle {8! \over 3!4!1!}0.5^{3}0.3^{4}0.2^{1}=5.67\%$$

קישורים חיצוניים

• התפלגות מולטינומית, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
• התפלגות מולטינומית, באתר MathWorld (באנגלית)