משולש ישר-זווית

משולש ישר-זווית

משולש ישר-זווית הוא משולש בעל זווית ישרה.

במשולש זה, שתי הצלעות שכולאות את הזווית הישרה נקראות ניצבים, והצלע שמול הזווית הישרה נקראת יתר.

משולש ישר-זווית הוא הבסיס לפונקציות הטריגונומטריות.

תכונות

• משולש ישר-זווית מקיים את משפט פיתגורס: סכום שטחי הריבועים הבנויים על הניצבים, שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר.
• התיכון ליתר שווה למחצית מהיתר, ומכאן שהתיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי-שוקיים.
• משולש ישר-זווית מקיים את משפט תאלס: אם משולש ישר-זווית חסום במעגל, אז היתר מתלכד עם קוטר המעגל, והתיכון ליתר הוא רדיוס במעגל החוסם.
• הגובה ליתר מחלק את המשולש לשני משולשים הדומים למשולש המקורי (ולכן גם דומים זה לזה). מכאן נובע משפט אוקלידס - אורך הניצב הוא הממוצע הגאומטרי של היתר ושל היטלו של הניצב על היתר.
• ריבוע הגובה ליתר שווה למכפלת שני הקטעים שהוא יוצר על היתר.
• כל ניצב הוא הגובה של הניצב השני.
• ניצב מול 30 מעלות שווה לחצי היתר. משפט הפוך: אם ניצב שווה לחצי היתר - הזווית מולו שווה ל-30 מעלות.
• חוצה הזווית הישרה חוצה גם את הזווית שבין התיכון לגובה.

אם הניצבים של המשולש הם $\ a$ ו-$\ b$, היתר הוא $\ c$ והגובה ליתר הוא $\ h$, אז מתקיים:

$\ a^{2}+b^{2}=c^{2}$ (משפט פיתגורס)

וכן:

${\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{h^{2}}}$

שטח המשולש הוא:

${\text{Area}}={\frac {ab}{2}}={\frac {ch}{2}}$

אם רדיוס המעגל החסום במשולש הוא $\ r$, אז מתקיים:

$r={\frac {1}{2}}(a+b-c)={\frac {ab}{a+b+c}}$

אם התיכונים לניצבים הם $\ m_{a}$ ו-$\ m_{b}$ והתיכון ליתר הוא $\ m_{c}$, אז מתקיים:

$m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}={\frac {5}{4}}c^{2}$

הגדרת פונקציות טריגונומטריות

ערך מורחב – פונקציות טריגונומטריות

את הפונקציות הטריגונומטריות, עבור זווית בין 0 ל-90 מעלות (${\frac {\pi }{2}}$ רדיאנים), מגדירים כיחס בין שתי צלעות במשולש ישר-זווית.

עבור זווית $\alpha$ הכלואה בין הניצב $\ b$ והיתר $\ c$ ומול הצלע $\ a$ מוגדר:

$\sin \alpha ={\frac {a}{c}},\,\cos \alpha ={\frac {b}{c}},\,\tan \alpha ={\frac {a}{b}},\,\sec \alpha ={\frac {c}{b}},\,\cot \alpha ={\frac {b}{a}},\,\csc \alpha ={\frac {c}{a}}$

עבור זווית כללית מגדירים באמצעות מעגל היחידה.

משולשים ישרי-זווית מיוחדים

בישראל משולש ישר-זווית שזוויותיו הן 90, 60, 30 מכונה לפעמים "משולש הזהב", ובו אורך היתר הוא פי 2 מאורך הניצב הקטן. משולש זה הוא חצי ממשולש שווה-צלעות. לרוב השם "משולש הזהב" שמור למשולש שווה-שוקיים בעל זוויות בסיס של 72 או 36 מעלות, שכן היחס בין השוקיים לבסיס בו הוא יחס הזהב.

בישראל מקובל גם המושג "משולש כסף", למשולש ישר-זווית ושווה-שוקיים. הזוויות שלו הן: 45, 45, 90. היחס בין אורך היתר לאורך הניצב הוא שורש 2, שהוא ככל הנראה המספר האי-רציונלי הראשון שהתגלה.

קישורים חיצוניים

• אתר עזר לפתרון תרגילים במשולש ישר-זווית
• משולש ישר-זווית, באתר MathWorld (באנגלית)