צירוף ליניארי – הבדלי גרסאות
תיקנתי שגיאת כתיב והוספתי פיסוק |
Matanyabot (שיחה | תרומות) מ בוט החלפות: \1ליניארי |
||
שורה 5: | שורה 5: | ||
מבחינה פורמלית, צירוף ליניארי מוגדר כך. בהינתן סדרה <math>\,v_1,v_2,...,v_k</math> של וקטורים במרחב, וסדרה <math>\,\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_k</math> של סקלרים, נקרא לביטוי:<math>\,\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+...+\alpha_k v_k</math> צירוף ליניארי של הווקטורים. או בקיצור: <math>\sum_{i=1}^{k}\alpha_i v_i</math>. |
מבחינה פורמלית, צירוף ליניארי מוגדר כך. בהינתן סדרה <math>\,v_1,v_2,...,v_k</math> של וקטורים במרחב, וסדרה <math>\,\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_k</math> של סקלרים, נקרא לביטוי:<math>\,\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+...+\alpha_k v_k</math> צירוף ליניארי של הווקטורים. או בקיצור: <math>\sum_{i=1}^{k}\alpha_i v_i</math>. |
||
קבוצה זו תהיה [[תלות ליניארית|תלויה ליניארית]] אם קיים בה וקטור שהוא צירוף ליניארי של וקטורים אחרים מהקבוצה. או באופן שקול, קבוצה היא תלויה ליניארית אם קיים צירוף ליניארי לא טריוויאלי של איבריה (לא כל הסקלרים אפס) ששווה לווקטור האפס. אם קיים רק הצירוף |
קבוצה זו תהיה [[תלות ליניארית|תלויה ליניארית]] אם קיים בה וקטור שהוא צירוף ליניארי של וקטורים אחרים מהקבוצה. או באופן שקול, קבוצה היא תלויה ליניארית אם קיים צירוף ליניארי לא טריוויאלי של איבריה (לא כל הסקלרים אפס) ששווה לווקטור האפס. אם קיים רק הצירוף הליניארי הטריוויאלי, הקבוצה בלתי תלויה ליניארית. |
||
בהתאם לכך וקטור האפס יהיה תמיד צירוף ליניארי של כל קבוצת וקטורים, וכשהוא יינתן בתוך קבוצה אזי הקבוצה תהיה תלויה ליניארית. |
בהתאם לכך וקטור האפס יהיה תמיד צירוף ליניארי של כל קבוצת וקטורים, וכשהוא יינתן בתוך קבוצה אזי הקבוצה תהיה תלויה ליניארית. |
גרסה מ־00:45, 1 באוגוסט 2021
צירוף ליניארי הוא סכום של מספר סופי של וקטורים שכל אחד מהם מוכפל בסקלר. בגלל סגירותו של המרחב הווקטורי ביחס לחיבור וכפל בסקלר, הצירוף הליניארי אף הוא וקטור השייך לאותו מרחב וקטורי.
בהינתן קבוצה מתאימה של וקטורים - קבוצה פורשת - ניתן לכתוב כל וקטור במרחב כצירוף ליניארי של איברים מתוך הקבוצה.
מבחינה פורמלית, צירוף ליניארי מוגדר כך. בהינתן סדרה של וקטורים במרחב, וסדרה של סקלרים, נקרא לביטוי: צירוף ליניארי של הווקטורים. או בקיצור: .
קבוצה זו תהיה תלויה ליניארית אם קיים בה וקטור שהוא צירוף ליניארי של וקטורים אחרים מהקבוצה. או באופן שקול, קבוצה היא תלויה ליניארית אם קיים צירוף ליניארי לא טריוויאלי של איבריה (לא כל הסקלרים אפס) ששווה לווקטור האפס. אם קיים רק הצירוף הליניארי הטריוויאלי, הקבוצה בלתי תלויה ליניארית.
בהתאם לכך וקטור האפס יהיה תמיד צירוף ליניארי של כל קבוצת וקטורים, וכשהוא יינתן בתוך קבוצה אזי הקבוצה תהיה תלויה ליניארית.
ראו גם
נושאים באלגברה ליניארית | ||
---|---|---|
מושגי יסוד | שדה • מרחב וקטורי • משוואה ליניארית • מערכת משוואות ליניאריות • העתקה ליניארית • מטריצה | |
וקטורים | סקלר • כפל בסקלר • צירוף ליניארי • תלות ליניארית • קבוצה פורשת • בסיס • וקטור קואורדינטות • ממד | |
מטריצות | כפל מטריצות • שחלוף • דטרמיננטה • דירוג מטריצות • דרגה • עקבה • מטריצה מצורפת • מטריצת מעבר • מטריצה משולשית • דמיון מטריצות • ערך עצמי • פולינום אופייני • לכסון מטריצות • צורת ז'ורדן | |
העתקות | העתקה ליניארית • קואורדינטות • מטריצה מייצגת • גרעין • אנדומורפיזם • איזומורפיזם • העתקה אפינית • העתקה פרויקטיבית | |
מרחבי מכפלה פנימית | מכפלה סקלרית • מכפלה וקטורית • אורתוגונליות • מטריצה סימטרית • אופרטור הרמיטי • אופרטור אוניטרי • טרנספורמציה נורמלית • נורמה • מטריקה | |
תבניות | תבנית ביליניארית • תבנית סימטרית • תבנית הרמיטית • תבנית סימפלקטית • חפיפת מטריצות • משפט סילבסטר • תבנית מולטי-ליניארית אנטי-סימטרית • אוריינטציה • צפיפות • טנזור |
קישורים חיצוניים
- צירוף ליניארי, באתר MathWorld (באנגלית)