לודוויג שלפלי

לודוויג שלפלי.

לודוויג שלפלי (15 בינואר 1814 - 20 במרץ 1895) היה מתמטיקאי שווייצרי, שהתמחה בגאומטריה ואנליזה מרוכבת והיה אחת מדמויות המפתח בפיתוח הרעיון של גאומטריה במרחבים מממדים גבוהים. מאז הרעיון של רב-ממדיות קנה לו אחיזה הולכת וגוברת בענפי המתמטיקה השונים ושיחק תפקיד חיוני בפיזיקה, והוא מרכיב שכיח בספרות המדע הבדיוני המודרנית.

חייו

ילדותו

שלפלי התגורר במשך מרבית שנות חייו בשווייץ. הוא נולד בסיברג שבקנטון ברן, בעיירת הולדתה של אמו. המשפחה עברה לאחר מכן להתגורר בבורגדורף הסמוכה, שם אביו עבד כסוחר. אביו שאף שבנו לודוויג ילך בעקבותיו, אבל אופי האינטלקט של לודוויג לא היה מוכוון לעבודה מעשית.

בניגוד לכך, ובשל כשרונותיו המתמטיים הניכרים, הוא הורשה ללמוד בגימנסיום של ברן ב-1829. עוד לפני כן הוא כבר החל ללמוד חשבון דיפרנציאלי דרך ספר הלימוד של אברהם גוטהלף קסטנר, שפורסם ב-1761 והיה נפוץ באותה תקופה. ב-1831 הוא הועבר לאקדמיה של ברן כדי להמשיך ללימודים מתקדמים יותר, אולם שלוש שנים מאוחר יותר האקדמיה הפכה לאוניברסיטת ברן והתמקדה בלימודי תאולוגיה. שלפלי אמנם לקח חלק בפקולטה לתאולוגיה, אבל מכיוון שלא רצה לפתח קריירה כתאולוג, החליט לקבל משרה כמורה למתמטיקה בבית ספר בתון. במשך עשר השנים הבאות, שלפלי שילב בין משרות אלו, וניצל את זמנו הפנוי ללימוד עצמי של מתמטיקה גבוהה ובוטניקה, בד בבד עם מילוי חובותיו האקדמיות באוניברסיטת ברן, אותה פקד אחת לשבוע.

קריירה אקדמית

התפנית בקריירה האקדמית של שלפלי אירעה בסתיו 1843, כאשר שלפלי תכנן לבקר בברלין ונזדמן לו לערוך היכרות עם הקהילה המתמטית שלה, ובמיוחד עם יאקוב שטיינר, שהיה אז אחד המתמטיקאים השווייצרים הנודעים ביותר. במסגרת היכרותם, שטיינר התרשם מאוד לא רק מידיעותיו המתמטיות של שלפלי, אלא שהוא גם התעניין מאוד בשליטתו ורהיטותו בשפות האיטלקית והצרפתית. שטיינר הציע לשלפלי להיות לעזר כמתורגמן עבורו ועבור עמיתיו המתמטיקאים הנודעים מברלין, ביניהם קרל גוסטב יעקב יעקובי, פטר גוסטב לז'ן דיריכלה וקרל וילהלם בורכרדט, במסגרת מסעם המתקרב לאיטליה. לשלפלי הייתה כעת הזדמנות ללמוד ישירות ממיטב המתמטיקאים באותה תקופה. דיריכלה הנחה אותו באופן יום יומי בתורת המספרים, ובעבודותיו המאוחרות יותר של שלפלי על תבניות ריבועיות ניכר החותם שהותירה בו ההכשרה המוקדמת הזאת. באותה תקופה, שלפלי תרגם גם שני חיבורים של שטיינר ושני חיבורים של יעקובי לאיטלקית.

ב-1853, שלפלי מונה לתפקיד פרופסור באוניברסיטת ברן. בעודו בברן, שלפלי השתקע בחקר שתי בעיות מרכזיות, האחת בתורת האלימינציה והאחרת בגאומטריה רב-ממדית, והוא פרסם את ממצאיו בשני חיבורים מקיפים חשובים. הבעיה הראשונה נידונה בחיבורו "על הרזולטנטה של מערכת של כמה משוואות אלגבריות, תרומה לתורת האלימינציה". בעבודה זאת, תוך שהוא מתבסס על עבודותיהם של יעקובי וקיילי, שלפלי הציג יישומים למקרים פרטיים רבים. לאחר מכן הוא פיתח את משפטי היסוד על המחלקה והדרגה של יריעה אלגברית, משפטים שמשכו את תשומת לבם של גאומטרנים מהאסכולה האיטלקית. חיבורו זה מסיים בדיון בעקומים מסוימים ממעלה שלישית.

עבודתו השנייה מתקופה זאת, והמשמעותית יותר מבחינת איכות הממצאים בה, היא חיבורו "התאוריה של יריעות רציפות", שנדחתה על ידי האקדמיות בווינה וברלין מפאת אורכה הרב ולמעשה פורסמה במלואה רק ב-1901. במשך שנים רבות רק חלקים ממנה הופיעו בדפוס, בין היתר במגזין המתמטי Crelle. בלב העבודה הזאת עומד הניסיון לפתח את הגאומטריה של המרחב במספר שרירותי של ממדים, והיא כוללת חקירות מגוונות על פאונים רב-ממדיים. שלפלי ביסס חלק מחקירותיו על העובדה שפאונים משוכללים ניתנים לאפיון על ידי סדרת מספרים, שכונתה מאז סימון שלפלי לפאונים משוכללים.

מחקריו המאוחרים יותר נגעו בנושאים מגוונים מאנליזה מתמטית כגון חקר פונקציות אליפטיות מודולריות, המשוואה ממעלה חמישית, תנועת מטוטלות, כמו גם נושאים מגאומטריה דיפרנציאלית כמו מערכות אורתוגונליות של משטחים וגאומטריה רימנית.

שנים אחרונות

שלפלי נותר פעיל במסגרת משרתו באוניברסיטת ברן עד פרישתו ב-1891. בשנותיו האחרונות הוא הקדיש את זמנו ללימוד עצמי של שפת סנסקריט ולתרגום כתב הקודש ההינדי ריג ודה לגרמנית, פעילות שהעסיקה אותו עד מותו ב-1895.

אף על פי ששלפלי היה דמות מוכרת בקרב מתמטיקאים במחצית השנייה של המאה ה-19, במיוחד עקב תרומותיו לאנליזה מרוכבת, עבודותיו הגאומטריות המוקדמות, ובמבט רטרוספקטיבי החשובות ביותר, לא זכו לתשומת לב הראויה בקרב בני זמנו. במהלך המאה ה-20 חלה התעניינות מחודשת מסוימת בהישגיו בתחום הגאומטריה הרב-ממדית, במיוחד דרך עבודתם של גאומטרנים כהרולד סקוט מקדונלד קוקסטר וג'ון קונווי. ישנן בעיות פתוחות רבות בתחום מחקר זה, ששלפלי היה בין מייסדיו.

עבודתו

גאומטריה בממדים גבוהים

שלפלי נחשב לאחד משלושת היוצרים העיקריים של הרב-ממדיות הגאומטרית בצורתה המודרנית, יחד עם ארתור קיילי וברנהרד רימן. בסביבות 1850 המושג הכללי של מרחב אוקלידי לא הוגדר בצורה מפורשת דיה - אף על פי שההיבטים השונים של פתרון מערכות משוואות ליניאריות ב-$n$ נעלמים היו מובנים היטב. בשנים 50–1840 ויליאם רואן המילטון פיתח את הקווטרניונים בעוד שג'ון גרייבס וארתור קיילי פיתחו את האוקטוניונים. שתי המערכות האחרונות פעלו במסגרות אלגבריות של ארבעה ושמונה איברי בסיס, בהתאמה, ורמזו במידת מה על ההיתכנות של תיאור גאומטרי של מרחבים בממד גבוה יותר.

בין השנים 52–1850 חיבר שלפלי את המגנום אופוס שלו, "התאוריה של יריעות רציפות" (מגרמנית: Theorie der vielfachen Kontinuität), שבה התניע את המחקר הגאומטרי של מרחבים $n$-ממדיים. בעבודה חשובה זאת הוא פיתח את התאוריה של פאונים משוכללים בממד גבוה מ-3, והראה שישנם בדיוק שישה פאונים משוכללים בממד ארבע ורק שלושה כאלו בממד חמש ומעלה. הוא הכליל את נוסחת אוילר לפאונים לממד שרירותי, במה שמהווה למעשה הניסוח המתמטי המדויק הראשון של מאפיין אוילר עבור יריעה כללית. בעבודה זאת מופיעה בפעם הראשונה גם נוסחת הנפח של ספירה $n$-ממדית.

באחד הפרקים בעבודתו זו שלפלי עסק בהכללה של גאומטריה לא-אוקלידית לממד גבוה יותר, ובפרט הציע כי ניתן לראות בפני השטח של כדור 4-ממדי (כלומר ספירה תלת-ממדית) מרחב כדורי תלת-ממדי. בעבודתו שלפלי הראה גם כיצד לחשב את הנפח של ארבעון לא רק במרחב כדורי אלא גם במרחב היפרבולי, אף על פי שהקדימו אותו בולאי ולובצ'בסקי (ששלפלי ככל הנראה לא היה מודע לעבודתם). אחד הכלים שפיתח לצורך פתרון בעיות חישוב נפחים כאלו הוא נוסחת שלפלי, התקפה לכל יריעה $n$-ממדית עם עקמומיות קבועה.

שלפלי חקר גם את השאלה מהו המרחב בעל הממד המינימלי המאפשר שיכון של יריעה אנליטית מממד $n$; ההשערה שהעלה בנוגע לשאלה זאת הוכחה רק ב-1927 על ידי אלי קרטן.

אנליזה מרוכבת

שלפלי פיתח את התאוריה האנליטית של פונקציית בסל ופונקציית גמא, ושמונה מאמריו על פונקציות בסל שיחקו תפקיד חשוב בפרסומים של מתמטיקאים מאוחרים יותר על פונקציות מיוחדות. הוא חקר גם משוואות דיפרנציאליות חלקיות ופונקציות אליפטיות מודולריות, ובכתביו הלא מפורסמים נמצאו מספר תוצאות בנוגע לפונקציות מודולריות כעשור לפני גילויים מקבילים של ריכרד דדקינד והיינריך מרטין ובר על שמורות מחלקה (class invariants).

שלפלי זכה בפרס שטיינר של האקדמיה של ברלין ב-1870 על עבודתו על המשטח המעוקב הכללי מעל שדה המרוכבים. הוא החל לחקור נושא זה לאחר ששטיינר יידע אותו על גילויו של קיילי של 27 הקווים הישרים על משטח מעוקב, ובעקבות כך פיתח תיאור גאומטרי מלא של המבנה המורכב של משטחים כאלו. עבודתו זו על המיון של משטחים מעוקבים הובילה אותו גם למסקנה חשובה בתחום הטופולוגיה (תחום מחקר שהיה עדיין בוסרי באותה תקופה) לפיה המישור הפרויקטיבי הוא חד-צדדי (בדומה לטבעת מביוס שנתגלתה מעט מוקדם יותר), קביעה אותה ניסח לראשונה במכתב לפליקס קליין בשנת 1874.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא לודוויג שלפלי בוויקישיתוף

• לודוויג שלפלי, באתר פרויקט הגנאלוגיה במתמטיקה
• לודוויג שלפלי, באתר MacTutor (באנגלית)
• לודוויג שלפלי, באתר Encyclopedia.com .
• Ruth Kellerhals, Ludwig Schlafli – ein genialer Schweizer Mathematiker (עמ' 1-13), מאמר סקירה על חייו ועבודתו של לודוויג שלפלי (בגרמנית)