אופרטור הרמיטי – הבדלי גרסאות
שינוי קל בניסוח |
מ הסרת לפשט - הסבר בדף השיחה |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
⚫ | |||
{{לפשט}} |
|||
⚫ | |||
==הגדרה== |
==הגדרה== |
גרסה מ־20:51, 7 במאי 2011
במתמטיקה, אופרטור הרמיטי הוא סוג של אופרטור, ליתר דיוק אופרטור לינארי ממרחב הילברט לעצמו, המקיים תכונות מיוחדות שהופכות אותו לשימושי במיוחד. לאופרטור ההרמיטי חשיבות מיוחדת במכניקת הקוונטים.
הגדרה
יהי מרחב הילברט מעל המספרים המרוכבים ותהי < , > מכפלה פנימית.
הצמוד ההרמיטי
יהי A אופרטור לינארי חסום. נגדיר את הצמוד ההרמיטי של A ונסמנו באופן הבא:
ממשפט ההצגה של ריס מובטחים לנו קיומו ויחידותו של הצמוד ההרמיטי, וכן שהוא אופרטור לינארי וחסום גם כן.
סימון מקובל אחר לצמוד ההרמיטי הוא (מבוטא "A דאגר"). סימון זה שכיח בעיקר בקרב פיזיקאים.
תכונות הצמוד ההרמיטי:
אם נגדיר נורמה אופרטורית על ידי
אזי
- .
יתרה מכך,
אוסף האופרטורים הלינאריים החסומים מעל עם הפעולות של חיבור נקודתי, כפל בסקלר נקודתי, הרכבה של אופרטורים והצמדה הרמיטית ועם הנורמה לעיל מגדירים מבנה שנקרא אלגברת סי כוכב או אלגברה *C.
אופרטור הרמיטי
אנו נאמר שאופרטור A הוא הרמיטי (מונח מקובל נוסף הוא צמוד לעצמו) אם
שזה שקול ל
כלומר, אפשר ל"הקפיץ" את האופרטור בין שני אגפי המכפלה הפנימית.
אופרטורים הרמיטיים הם מאוד שימושיים בגלל משפט הפירוק הספקטרלי. מעל מרחב הילברט ספרבילי מובטח לנו שאם A אופרטור הרמיטי, אזי:
- הוא מספר ממשי לכל וקטור x. במילים האחרות, העקבה של A ממשית.
- כל הערכים העצמיים של A הינם ממשיים.
- סט הווקטורים העצמיים שלו מהווים בסיס אורתונורמלי.
- האופרטור A ניתן לליכסון יוניטרי כך שכל הע"ע הם ממשיים.
משפט הפירוק הספקטרלי הוא הבסיס לאנליזת פורייה ופיתוח לטור פורייה.
הגדרה יותר ריגורוזית
כאשר האופרטור A איננו מוגדר על כל מרחב הילברט H עושים הבחנה בין אופרטור הרמיטי לאופרטור צמוד לעצמו.
אופרטור A המוגדר מעל תחום הצפוף ב נקרא הרמיטי (או סימטרי), אם:
- ו .
חשוב להדגיש שכאן האופרטור הצמוד מוגדר על תחום רחב יותר מאשר A ולכן קיימים איברים שעבורם הצמוד מוגדר אך A לא! לכן, A איננו שווה ל A-צמוד, אלא רק מזדהה איתו על תת-תחום מסוים.
לעומת זאת, אופרטור A המוגדר מעל תחום הצפוף ב נקרא צמוד לעצמו, אם . כלומר: A אופרטור הרמיטי שמקיים . כאן, יש להדגיש, מתקיים שוויון ממש בין האופרטורים.
מטריצה הרמיטית
מקרה פרטי חשוב ונפוץ של אופרטור הרמיטי הוא מטריצה הרמיטית. כזכור, כל אופרטור לינארי שפועל על מרחב ממימד סופי אפשר לתאר באמצעות מטריצה (שהיא המטריצה המייצגת בבסיס שנקבע מראש).
עבור מטריצה מעל שדה המרוכבים נהוג לא להשתמש בשחלוף גרידא אלא בשחלוף והצמדה (מרוכבת).
את הצמוד ההרמיטי של מטריצה A מגדירים:
כאשר t מסמן שחלוף ו הוא לקיחת צמוד מרוכב. הערה: קל לבדוק שהגדרה זו היא אכן מקרה פרטי של ההגדרה הכללית כאשר מפרשים מכפלה סקלרית ככפל מטריצות רגיל של וקטור שורה בוקטור עמודה.
מטריצה ששווה לעצמה לאחר שחלוף והצמדה של האיברים, כלומר , נקראת מטריצה הרמיטית. מטריצה הרמיטית היא סימטרית אם כל האיברים בה הם ממשיים.
מטריצה הרמיטית היא מטריצה טובה, ומאחר שתמיד אפשר ללכסן אותה כך שהמטריצה המלכסנת היא יוניטרית (זה מקרה פרטי של משפט הפירוק הספקטרלי והליכסון היוניטרי). במטריצה אלכסונית הרבה יותר קל לבצע חישובים (כגון כפל מטריצות).
יישומים
פיזיקה
לאופרטור ההרמיטי חשיבות מיוחדת במכניקת הקוונטים. על פי תורה זו כל הגדלים הפיזיקליים המדידים (דוגמת אנרגיה, תנע או תנע זוויתי) מיוצגים על ידי אופרטורים הרמיטיים. תוצאות המדידה האפשריות הן הערכים העצמיים של האופרטור. הסיבה לכך היא שגודל מדיד חייב להיות מספר ממשי (לא ייתכנו גדלים מדידים מדומים) ולאופרטורים הרמיטיים ערכים עצמיים (=ערכי מדידה) ממשיים בלבד.
יישומים אחרים
- משפט באלגברה לינארית: כל מטריצה סימטרית ממשית ניתנת לליכסון אורתוגונלי.
- פתרון משוואות דיפרנציאליות באמצעות תורת שטורם-ליוביל.
- אנליזת פורייה.
נושאים באלגברה ליניארית | ||
---|---|---|
מושגי יסוד | שדה • מרחב וקטורי • משוואה ליניארית • מערכת משוואות ליניאריות • העתקה ליניארית • מטריצה | |
וקטורים | סקלר • כפל בסקלר • צירוף ליניארי • תלות ליניארית • קבוצה פורשת • בסיס • וקטור קואורדינטות • ממד | |
מטריצות | כפל מטריצות • שחלוף • דטרמיננטה • דירוג מטריצות • דרגה • עקבה • מטריצה מצורפת • מטריצת מעבר • מטריצה משולשית • דמיון מטריצות • ערך עצמי • פולינום אופייני • לכסון מטריצות • צורת ז'ורדן | |
העתקות | העתקה ליניארית • קואורדינטות • מטריצה מייצגת • גרעין • אנדומורפיזם • איזומורפיזם • העתקה אפינית • העתקה פרויקטיבית | |
מרחבי מכפלה פנימית | מכפלה סקלרית • מכפלה וקטורית • אורתוגונליות • מטריצה סימטרית • אופרטור הרמיטי • אופרטור אוניטרי • טרנספורמציה נורמלית • נורמה • מטריקה | |
תבניות | תבנית ביליניארית • תבנית סימטרית • תבנית הרמיטית • תבנית סימפלקטית • חפיפת מטריצות • משפט סילבסטר • תבנית מולטי-ליניארית אנטי-סימטרית • אוריינטציה • צפיפות • טנזור |