אידיאל (אלגברה)

באלגברה, אידאל הוא תת-קבוצה של חוג, המקיימת תנאים מסוימים. תנאים אלה מבטיחים שאפשר יהיה לבנות חוגי מנה, מהם ניתן לשאוב מידע על החוג המקורי. תפקידם של האידאלים בתורת החוגים דומה לזה של תת החבורות הנורמליות בתורת החבורות.

האידאלים הוצעו לראשונה על ידי ריכארד דדקינד בתור הכללה של מושג ה"מספרים האידאלים" של ארנסט קומר, שניסה להוכיח באמצעותם את המשפט האחרון של פרמה. קומר הבחין שאפשר להתאים בין מספר $\,n$ לבין קבוצת המספרים המתחלקים ב-$\,n$, ובחן דרכים להכליל את הרעיון לחוגי שלמים. לאחר מכן הורחב הנושא בידי דויד הילברט ובמיוחד בידי תלמידתו אמי נתר.

אפשר להבדיל בין ארבעה סוגים של תת-קבוצות חשובות בחוג נתון:

1. קבוצה הסגורה לפעולת החיבור היא תת-חבורה של החוג, אלא שדרישה זו מתעלמת לחלוטין מן הכפל.
2. קבוצה S שהיא סגורה גם לפעולת הכפל נקראת "תת חוג"; אלא שלחוג טיפוסי יש תת-חוגים רבים, וקשה ללמוד מהם על החוג עצמו.
3. אם הכפלת איבר של החוג, משמאל, בכל איבר של תת-חבורה חיבורית, נותנת איבר השייך גם הוא לתת-חבורה, תת-חבורה זו נקראת אידאל שמאלי; באופן דומה אפשר להגדיר אידאל ימני. אלו הם אידאלים חד-צדדיים, המהווים דוגמאות בסיסיות למודול מעל החוג.
4. אידאל הוא קבוצה שהינה אידאל ימני ושמאלי גם יחד. דרישות אלה מן האידאל שקולות לכך שניתן יהיה להגדיר על קבוצת המנה פעולות, ההופכות אותה לחוג מנה.

הגדרה פורמלית

יהא $\ R$ חוג. נגיד על תת-קבוצה אמיתית $\ I\subsetneqq R$ שהיא אידאל שמאלי אם יתקיימו שתי הדרישות הבאות:

1. $\ (I,+)$ היא תת-חבורה של $\ (R,+)$.
2. לכל $\ r\in R$ ולכל $\ i\in I$ מתקיים $\ r\cdot i\in I$.

נגיד על קבוצה זו שהיא אידאל ימני של $\ R$ אם:

1. $\ (I,+)$ היא תת חבורה של $\ (R,+)$.
2. לכל $\ r\in R$ ולכל $\ i\in I$ מתקיים $\ i\cdot r\in I$.

ונכנה קבוצה זו אידאל אם תהיה הן אידאל ימני והן אידאל שמאלי, כלומר:

1. $\ (I,+)$ היא תת חבורה של $\ (R,+)$.
2. לכל $\ r\in R$ ולכל $\ i\in I$ מתקיים $\ i\cdot r,r\cdot i\in I$.

נשים לב שהגדרות אלה אינן שקולות מאחר שהחוג אינו בהכרח חילופי.

אידאל (בחוג עם יחידה) איננו יכול להכיל את איבר היחידה 1 של החוג, משום שאז ההגדרה תאלץ אותו להכיל את החוג כולו. מכאן נובע שאידאל שמאלי אינו יכול להכיל איברים הפיכים משמאל, בעוד שאידאל ימני אינו יכול להכיל איברים הפיכים מימין.

בחוג חילופי, כל אידאל שמאלי או ימני הוא אידאל. בחוג לא חילופי יש הבדלים רבים בין שתי התכונות. בדרך כלל, מועיל לחשוב על אידאל שמאלי כקבוצה "גדולה", בעוד שאידאל (דו-צדדי) הוא קבוצה "קטנה". הסיבה היא שאידאלים דו-צדדיים מנועים מלכלול הרבה יותר איברים מאשר האידאלים החד-צדדיים.

דוגמאות

אידאל ראשי

אם $\ a\in R$, אז $\ Ra=\{ra|r\in R\}$ הוא "האידאל השמאלי הנוצר על ידי $\,a$", וכך לאידאל הימני. אידאל כזה נקרא אידאל ראשי. תחום שלמות שבו כל האידאלים ראשיים נקרא תחום ראשי.

האידאל (הדו-צדדי) הנוצר על ידי $\,a$ הוא קבוצה גדולה בהרבה: $\ RaR=\{r_{1}ar_{1}'+\dots r_{n}ar_{n}'\}$, הכוללת את כל המכפלות $\ rar'$ וכל הסכומים שלהן. כל אידאל הוא סכום (לאו דווקא סופי) של אידאלים כאלה.

לדוגמה, בחוג המספרים השלמים, הקבוצה $\ 3\mathbb {Z}$, קבוצת כל המספרים השלמים המתחלקים בשלוש, היא אידאל ראשי. קל לוודא שמדובר באידאל. (כיוון שהפרש שתי כפולות של שלוש הוא כפולה של שלוש ומכפלת מספר המתחלק בשלוש בכל מספר שלם אחר תתחלק גם היא בשלוש.)

גרעין של הומומורפיזם

דוגמה נוספת לאידאל היא גרעין של הומומורפיזם בין חוגים. יהיו $\ R,S$ חוגים, ו$\ \varphi :R\rightarrow S$ הומומורפיזם

נתבונן בגרעין $\ {\mbox{Ker}}(\varphi )$, קבוצת כל האיברים המותאמים על ידי ההומומורפיזם לאיבר האפס של $\ S$. קבוצה זו היא אידאל, כיוון ש:

1. לכל $\ r_{1},r_{2}\in {\mbox{Ker}}(\varphi )$, מתקיים:

$\ \varphi (r_{1}-r_{2})=\varphi (r_{1})-\varphi (r_{2})=0-0=0$

ולכן, $\ r_{1}-r_{2}\in {\mbox{Ker}}(\varphi )$.

2. לכל $\ r_{1}\in {\mbox{Ker}}(\varphi ),r_{2}\in R$, מתקיים:

$\ \varphi (r_{1}r_{2})=\varphi (r_{1})\varphi (r_{2})=0\varphi (r_{2})=0$

ולכן, $\ r_{1}r_{2}\in {\mbox{Ker}}(\varphi )$.

3. לכל $\ r_{1}\in {\mbox{Ker}}(\varphi ),r_{2}\in R$, מתקיים:

$\ \varphi (r_{2}r_{1})=\varphi (r_{2})\varphi (r_{1})=\varphi (r_{2})0=0$

ולכן, $\ r_{1}r_{2}\in {\mbox{Ker}}(\varphi )$.

הגדרות ומשפטים הנוגעים לאידאלים

ישנם כמה סוגים חשובים במיוחד של אידאלים, המוגדרים על-פי תכונות של חוג המנה. אידאל ראשוני הוא אידאל P של החוג, שעבורו החוג $\ R/P$ הוא חוג ראשוני. אפשר לנסח תכונה זו גם כך: לכל שני אידאלים A,B, אם המכפלה AB מוכלת ב- P, אז אחד מן האידאלים מוכרח להיות מוכל ב- P. בחוג חילופי, אידאל הוא ראשוני אם ורק אם אינו יכול להכיל מכפלה ab של איברים, בלי להכיל אחד מן האיברים.

דוגמה: בחוג המספרים השלמים $\ \mathbb {Z}$, כל אידאל הוא מהצורה $\ \mathbb {Z} n$. אידאל כזה הוא ראשוני אם ורק אם המספר n הוא מספר ראשוני, או אפס. אכן, אם מספר ראשוני p מחלק מכפלה ab של מספרים שלמים, אז הוא חייב לחלק אחד מהם.

אידאל מקסימלי הוא אידאל שאינו מוכל באידאל גדול יותר, ולכן הוא מקסימלי עבור יחס ההכלה. ניתן להוכיח באמצעות הלמה של צורן שבכל חוג עם יחידה, כל אידאל מוכל באידאל מקסימלי. כל אידאל מקסימלי הוא ראשוני, אבל ההיפך אינו נכון (לדוגמה, אידאל האפס של חוג השלמים הוא ראשוני ואינו מקסימלי). חוג שמכיל אידאל מקסימלי יחיד נקרא חוג מקומי.

בניסוח שקול, M הוא אידאל מקסימלי אם ורק אם חוג המנה $\ R/M$ הוא חוג פשוט. (כלומר, חוג שאין בו אידאלים לא טריוויאליים) מכאן שלכל חוג קיימים חוגי מנה פשוטים; תכונה זו הופכת את החוגים הפשוטים לאבני הבניין של תורת החוגים. כל חוג חילופי פשוט הוא שדה.

למרות שלכאורה מדובר בתכונות סימטריות, אידאלים מינימליים (כאלו שאינם מכילים אף אידאל פרט לאפס) הם בעלי תכונות שונות לחלוטין מאלו של אידאלים מקסימליים. בראש וראשונה, אידאלים כאלה לא תמיד קיימים (למשל, בחוג השלמים). כל אידאל מינימלי הוא ראשי, אבל ההיפך אינו נכון.