משפט ערך הביניים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

המחשה גרפית של משפט ערך הביניים

בחשבון אינפיניטסימלי, משפט ערך הביניים מספק ביסוס פורמלי לתכונה האינטואיטיבית של פונקציות רציפות כפונקציות ש"ניתן לצייר אותן מבלי להרים את העיפרון מהדף". המשפט אומר כי כאשר פונקציה רציפה מקבלת שני ערכים שונים, היא תקבל גם כל ערך שביניהם.

[עריכה] ניסוח פורמלי

תהי $f: \left[ a,b \right] \to \mathbb{R}$ פונקציה רציפה, המקיימת $f \left( a \right) = c$ , וכן $f \left( b \right) = d$ , עבור $c,d \in \mathbb{R}$ .
נניח בלי הגבלת הכלליות $\ c \le d$ .
אזי לכל מספר ממשי $\ y \in \left[ c,d \right]$ קיים $\ x \in \left[ a,b \right]$ המקיים $\ f(x)=y$ .

[עריכה] ניסוח נוסף

קיים ניסוח שקול למשפט ערך הביניים, שנותן תמונה גאומטרית יותר של המצב.

בהינתן קטע סגור $\ I= [a,b]\subseteq\mathbb{R}$ ופונקציה רציפה $\ f:I\rightarrow \mathbb{R}$ , אזי :

תמונת הקטע $\ f(I)$ היא גם קטע.
מתקיים או ש $\ [f(a),f(b)]\subseteq f(I)$ או ש $\ [f(b), f(a)] \subseteq f(I)$ .

[עריכה] הוכחה

אנו רוצים למצוא מספר $\ x\isin(a,b)$ כך ש- $\ f(x)=y$ עבור $\ y\isin(c,d)$ . נגדיר את הקבוצה הבאה: $\ A=\left\{t\isin[a,b]|f(t)\le y\right\}$ . ברור כי $\ a\isin A$ ולכן זוהי קבוצה לא ריקה. מכאן שיש לה חסם עליון, על פי אקסיומת השלמות של המספרים הממשיים. נסמן חסם עליון זה $\ x$ , וכעת נוכיח כי $\ f(x)=y$ .

נניח כי $\ f(x)>y$ , אז $\ f(x)-y>0$ , ולכן, מרציפות $\ f$ נובע שקיים $\ \delta>0$ כך שלכל $\ |t-x|<\delta$ מתקיים $\ |f(t)-f(x)|<f(x)-y$ , כלומר $\ f(t)>f(x)-(f(x)-y)=y$ . אבל מאחר ש- $\ x$ הוא חסם עליון של $\ A$ , בכל סביבה שלו יש איבר מתוך $\ A$ , ובפרט קיים $\ t\isin A$ כך ש- $\ |t-x|<\delta$ , אבל זו סתירה, כי מהגדרת $\ A$ נובע ש- $\ f(t)\le y$ .

נניח כי $\ f(x)<y$ , אז $\ y-f(x)>0$ ולכן קיים $\ \delta>0$ כך שלכל $\ |t-x|<\delta$ מתקיים $\ |f(t)-f(x)|<y-f(x)$ , כלומר $\ f(t)<f(x)+(y-f(x))=y$ . כלומר, מצאנו איבר $\ t>x$ שעבורו $\ f(t)<y$ , בסתירה להיות $\ x$ חסם עליון.

מאחר ששללנו את האפשרויות $\ f(x)>y,f(x)<y$ , בהכרח $\ f(x)=y$ , כמבוקש.

חשבון אינפיניטסימלי
מושגי יסוד:	חשבון אינפיניטסימלי \| סדרה \| גבול \| סדרת קושי \| טור \| אינפיניטסימל \| שדה המספרים הממשיים \| ערך מוחלט \| אי-שוויון המשולש \| אי-שוויון קושי-שוורץ
פונקציות:	פונקציה \| גרף פונקציה \| פונקציה לינארית \| פונקציה מונוטונית \| נקודת קיצון \| פונקציה קעורה \| פונקציה קמורה \| פונקציה רציפה \| רציפות במידה שווה \| נקודת אי רציפות \| נגזרת \| טור טיילור \| סדרת פונקציות \| התכנסות במידה שווה
משפטים:	משפט בולצאנו-ויירשטראס \| משפטי ויירשטראס \| משפט קנטור \| משפט ערך הביניים \|משפט פרמה \| משפט רול \| משפט הערך הממוצע של לגראנז' \| משפט הערך הממוצע של קושי \| משפט דארבו \| כלל השרשרת \| כלל הסנדוויץ' \| כלל לופיטל \| משפט שטולץ \| אריתמטיקה של גבולות
האינטגרל:	אינטגרל \| אינטגרל לא אמיתי \| המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי \| אינטגרציה בחלקים \| שיטות אינטגרציה
אנליזה מתקדמת:	פונקציה מרוכבת \| אנליזה וקטורית \| שיטת ניוטון-רפסון \| משוואה דיפרנציאלית \| טופולוגיה \| תורת המידה
אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - טופולוגיה - אנליזה מרוכבת - אנליזה פונקציונלית - תורת המידה