משפט ערך הביניים

המחשה גרפית של משפט ערך הביניים

בחשבון אינפיניטסימלי, משפט ערך הביניים מספק ביסוס פורמלי לתכונה האינטואיטיבית של פונקציות רציפות כפונקציות ש"ניתן לצייר אותן מבלי להרים את העיפרון מהדף". המשפט אומר כי כאשר פונקציה רציפה מקבלת שני ערכים שונים, היא תקבל גם כל ערך שביניהם.

ניסוח פורמלי

תהי $f: \left[ a,b \right] \to \mathbb{R}$ פונקציה רציפה, המקיימת $f \left( a \right) = c$, וכן $f \left( b \right) = d$, עבור $c,d \in \mathbb{R}$.
נניח בלי הגבלת הכלליות $\ c \le d$.
אזי לכל מספר ממשי $\ y \in \left[ c,d \right]$ קיים $\ x \in \left[ a,b \right]$ המקיים $\ f(x)=y$.

ניסוח נוסף

קיים ניסוח שקול למשפט ערך הביניים, שנותן תמונה גאומטרית יותר של המצב.

בהינתן קטע סגור $\ I= [a,b]\subseteq\mathbb{R}$ ופונקציה רציפה $\ f:I\rightarrow \mathbb{R}$, אזי :

• תמונת הקטע $\ f(I)$ היא גם קטע.
• מתקיים או ש $\ [f(a),f(b)]\subseteq f(I)$ או ש $\ [f(b), f(a)] \subseteq f(I)$.

הוכחה

אנו רוצים למצוא מספר $\ x\isin(a,b)$ כך ש-$\ f(x)=y$ עבור $\ y\isin(c,d)$. נגדיר את הקבוצה הבאה: $\ A=\left\{t\isin[a,b]|f(t)\le y\right\}$. ברור כי $\ a\isin A$ ולכן זוהי קבוצה לא ריקה. מכאן שיש לה חסם עליון, על פי אקסיומת השלמות של המספרים הממשיים. נסמן חסם עליון זה $\ x$, וכעת נוכיח כי $\ f(x)=y$.

נניח כי $\ f(x)>y$, אז $\ f(x)-y>0$, ולכן, מרציפות $\ f$ נובע שקיים $\ \delta>0$ כך שלכל $\ |t-x|<\delta$ מתקיים $\ |f(t)-f(x)|<f(x)-y$, כלומר $\ f(t)>f(x)-(f(x)-y)=y$. אבל מאחר ש-$\ x$ הוא חסם עליון של $\ A$, בכל סביבה שלו יש איבר מתוך $\ A$, ובפרט קיים $\ t\isin A$ כך ש-$\ |t-x|<\delta$, אבל זו סתירה, כי מהגדרת $\ A$ נובע ש-$\ f(t)\le y$.

נניח כי $\ f(x)<y$, אז $\ y-f(x)>0$ ולכן קיים $\ \delta>0$ כך שלכל $\ |t-x|<\delta$ מתקיים $\ |f(t)-f(x)|<y-f(x)$, כלומר $\ f(t)<f(x)+(y-f(x))=y$. כלומר, מצאנו איבר $\ t>x$ שעבורו $\ f(t)<y$, בסתירה להיות $\ x$ חסם עליון.

מאחר ששללנו את האפשרויות $\ f(x)>y,f(x)<y$, בהכרח $\ f(x)=y$, כמבוקש.

הטענה ההפוכה

הטענה כי "אם לכל מספר ממשי $\ y \in \left[ c,d \right]$ קיים $\ x \in \left[ a,b \right]$ המקיים $\ f(x)=y$, אז f רציפה", אינה נכונה. דוגמה נגדית למשפט היא הפונקציה $\ f(x) = \sin(1/x)$ שמקיימת את התנאי אך היא אינה רציפה בנקודה x=0 (שם מגדירים f(x)=0). דוגמה נגדית חזקה יותר, בה הפונקציה אינה רציפה באף נקודה, היא פונקציית הבסיס-13 של קונוויי.

ראו גם

• משפט דארבו