מטריצה מצורפת

באלגברה ליניארית, המטריצה המצורפת או המטריצה הצמודה הקלאסית (להבדיל ממטריצה צמודה הרמיטית), של מטריצה ריבועית היא מטריצה הדומה במידה מסוימת למטריצה ההופכית, אולם ניתן לחשב אותה לכל מטריצה ריבועית, גם עבור מטריצות שאינן בהכרח הפיכות.

המטריצה המצורפת של $\,A$ מסומנת ב-$\,\mathrm {adj} (A)$ (מן המילה adjoint או adjugate) וכל איבר בה מוגדר באופן הבא:

$$\,\mathrm {adj} (A)_{i,j}=(-1)^{i+j}|M_{j,i}|\,$$

כאשר $\,M_{j,i}$ הוא המינור של האיבר במקום ה-$\,j,i$ במטריצה $\,A$, כלומר המטריצה המתקבלת כאשר מוחקים את שורה $\,j$ ועמודה $\,i$ במטריצה $\,A$. כמו כן, מתכונות הדטרמיננטה, אפשר לחשב את המטריצה המצורפת בעזרת המינור של המטריצה המשוחלפת מהנוסחה:

$$\,\mathrm {adj} (A)_{i,j}=(-1)^{i+j}|M_{i,j}^{T}|\,$$

דוגמאות

דוגמה למטריצה מסדר $\,2\times 2$:

$A={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}},$

אז:

${\mbox{adj}}(A)={\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}}.$

אם נסתכל על 1 אז המינור שנשאר הוא בדיוק 4 ולהפך, כמו כן אם נסתכל על 2 (האיבר בשורה 1 ובעמודה 2) אז המינור שנשאר הוא 2 (מורידים את שורה 2 ואת עמודה 1) והמקדם מינוס אחת,

וכנ"ל ל-3 (המינור הוא 3 והמקדם הוא מינוס אחת).

דוגמה כללית יותר: בהינתן מטריצה כלשהי מסדר $\,2\times 2$

$A={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}},$

אז:

${\mbox{adj}}(A)={\begin{pmatrix}A_{22}&-A_{12}\\-A_{21}&A_{11}\end{pmatrix}}.$

דוגמה למטריצה מסדר $\,3\times 3$:

$\operatorname {adj} {\begin{pmatrix}2&1&1\\0&-1&2\\0&2&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}-1&2\\2&-1\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}0&2\\0&-1\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}0&-1\\0&2\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}2&1\\0&-1\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}2&1\\0&2\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}2&1\\0&2\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}2&1\\0&-1\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}^{T}={\begin{pmatrix}-3&0&0\\3&-2&-4\\3&-4&-2\end{pmatrix}}^{T}={\begin{pmatrix}-3&3&3\\0&-2&-4\\0&-4&-2\end{pmatrix}}.$

הערך 4- בשורה האחרונה ובעמודה השנייה חושב על ידי השמטת העמודה האחרונה והשורה השנייה של המטריצה המקורית וחישוב הדטרמיננטה:

$(-1)^{3+2}\;\operatorname {det} {\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}}=(-1)(4)=-4.$

דוגמה כללית יותר: בהינתן מטריצה כלשהי מסדר $\,3\times 3$

$A={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{pmatrix}},$

(adj(A היא מטריצה המשוחלפת של מטריצה C (באנגלית: cofactor)

$\mathbf {C} ={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}A_{22}&A_{23}\\A_{32}&A_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}A_{21}&A_{23}\\A_{31}&A_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}A_{21}&A_{22}\\A_{31}&A_{32}\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}A_{12}&A_{13}\\A_{32}&A_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{13}\\A_{31}&A_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{12}\\A_{31}&A_{32}\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}A_{12}&A_{13}\\A_{22}&A_{23}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{13}\\A_{21}&A_{23}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}$

לכן המטריצה המצורפת של A היא:

${\mbox{adj}}(A)=C^{T}={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}A_{22}&A_{23}\\A_{32}&A_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}A_{12}&A_{13}\\A_{32}&A_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}A_{12}&A_{13}\\A_{22}&A_{23}\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}A_{21}&A_{23}\\A_{31}&A_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{13}\\A_{31}&A_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{13}\\A_{21}&A_{23}\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}A_{21}&A_{22}\\A_{31}&A_{32}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{12}\\A_{31}&A_{32}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}.$

המשפט המרכזי

המשפט המרכזי עבור מטריצה מצורפת הוא:

לכל מטריצה ריבועית $\,A$ מסדר $\,n$ מתקיים:

$$\qquad A\,\mathrm {adj} (A)=\mathrm {adj} (A)\,A=\det(A)\,I$$

כאשר $\,I$ היא מטריצת יחידה מסדר $\,n$.

כלומר, תוצאת הכפל היא מטריצת היחידה כפולה בדטרמיננטה של המטריצה.

את המשפט ניתן להוכיח על ידי כפל ישיר של A במטריצה המצורפת. באופן הזה במקום ה-ij של המטריצה שתיווצר יופיע פיתוח הדטרמיננטה של מטריצה אחרת המתקבלת על ידי החלפת השורה ה-j ב-A בשורה ה-i, ללא שינוי השורה ה-i, כאשר פיתוח הדטרמיננטה נעשה לפי השורה ה-j. אם i אינו j, הדטרמיננטה המתקבלת היא של מטריצה בה השורה ה-i מופיעה פעמיים ולכן היא אפס. אם i שווה ל-j, מתקבלת הדטרמיננטה של המטריצה A.

מסקנות

מסקנות מהגדרת המטריצה המצורפת ומן המשפט המרכזי:

• $\mathrm {adj} (I)=I\,$.
• לכל מטריצה ריבועית $\,A$ מתקיים $\,\mathrm {adj} (A^{t})=(\mathrm {adj} (A))^{t}$.
• אם $\,A$ מטריצה הפיכה אזי $\,A^{-1}={\frac {\mathrm {adj} (A)}{\det(A)}}$.
• מטריצה ריבועית $\,A$ היא הפיכה אם ורק אם $\,\mathrm {adj} (A)$ הפיכה.
• אם $\,A$ מטריצה הפיכה אזי $\,\mathrm {adj} (A^{-1})=(\mathrm {adj} (A))^{-1}$.
• לכל מטריצה ריבועית $\,A$ מגודל n×n מתקיים $\det(\mathrm {adj} (A))=\det(A)^{n-1}\,$.
• לכל שתי מטריצות ריבועיות $\,A,B$ מאותו סדר מתקיים $\mathrm {adj} (AB)=\mathrm {adj} (B)\,\mathrm {adj} (A)\,$.