יחס שקילות

עיגול מחולק למחלקות שקילות המסומנות בצבעים שונים.

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, יחס שקילות [1] הוא דרך לאגד, באופן טכני ומדויק, עצמים מופשטים שיש להם תכונות משותפות. קבוצות אלה נקראות מחלקות שקילות. לדוגמא, אפשר לחלק את כל המשולשים למחלקות, כאשר כל המשולשים במחלקה חופפים זה לזה. חלוקה כזו חוקרת למעשה את יחס החפיפה, בכך שהיא מתאימה בין משולשים חופפים ומפרידה משולשים שאינם חופפים.

מרכזיותו של מושג זה בחשיבה המתמטית מודגמת באמרתו המפורסמת של אנרי פואנקרה, מגדולי המתמטיקאים במחצית השנייה של המאה התשע-עשרה: "מתמטיקה היא האמנות של קריאה באותו שם לדברים שונים". יחס שקילות אינו אלא פירוק למחלקות, המהוות כל אחת מעין שם משותף לעצמים שבתוכה.

הדוגמא הפשוטה ביותר ליחס שקילות היא יחס השוויון. דוגמאות נוספות כוללות דמיון משולשים, איזומורפיות של מבנים ועוד. במובן מסוים, אפשר לומר שחלק נכבד מן המחקר המתמטי קשור בזיהוי וחישוב של יחסי שקילות מעניינים.

הגדרה פורמלית

יחס בינארי R מעל קבוצה A הוא תת-קבוצה של המכפלה הקרטזית $A\times A$. בסימנים: $\ {\mathcal {R}}\subseteq A\times A$. כלומר: הוא קבוצה של זוגות סדורים כך שכל איבר בזוג שייך ל-A. אם $\ (a,b)\in {\mathcal {R}}$ אזי מקובל לסמן $\ a{\mathcal {R}}b$.

יחס R מעל קבוצה A נקרא יחס שקילות אם הוא מקיים את התכונות הבאות:

1. רפלקסיביות: כל איבר עומד ביחס עם עצמו, כלומר $\ a{\mathcal {R}}a$ לכל $\ a\in A$. לדוגמא, תכונה זו מתקיימת תמיד עבור היחס "שווה ל", כי כל איבר תמיד שווה לעצמו.
2. סימטריות: אם a עומד ביחס עם b אזי גם b עומד ביחס עם a, כלומר $\ a{\mathcal {R}}b\Leftrightarrow b{\mathcal {R}}a$. לדוגמא: יחס האחווה "אח של" הוא סימטרי כי אם a אח של b אז גם b אח של a. לעומת זאת, יחס ההורות "a אב של b" איננו סימטרי.
3. טרנזיטיביות: אם a נמצא ביחס ל-b ו-b נמצא באותו היחס ל-c אזי גם בין a ל-c מתקיים אותו היחס, ובניסוח פורמלי: $\ a{\mathcal {R}}b,b{\mathcal {R}}c\Rightarrow a{\mathcal {R}}c$. לדוגמא, אם לסוס a צבע זהה לזה של סוס b, ול- b צבע זהה לשל c, אז ל- a אותו צבע כמו ל- c.

סימטריות וטרנזיטיביות אינן מספיקות כדי להכריח יחס להיות רפלקסיבי. לדוגמא, היחס הריק (שלא מתקיים לאף זוג איברים) על קבוצה לא ריקה הוא סימטרי וטרנזיטיבי באופן ריק, אך אינו רפלקסיבי.

מחלקות שקילות

יחס שקילות מחלק את הקבוצה, שמעליה הוא מוגדר, למחלקות שקילות: בהינתן קבוצה A ויחס שקילות R שהוגדר עליה, מגדירים את מחלקת השקילות של איבר כלשהו כקבוצת כל האיברים השקולים לו. מתכונות יחס השקילות עולה שכל איבר בקבוצה יהיה שייך למחלקת שקילות אחת בלבד, ולכן יחס השקילות מחלק את הקבוצה לתת קבוצות זרות שהאיחוד שלהן הוא הקבוצה כולה.

בנוסף, בהינתן חלוקה של הקבוצה, ניתן לבנות יחס שקילות כך שכל זוג איברים נמצא ביחס שקילות אם ורק אם שני האיברים היו באותה קבוצה בחלוקה.

לדוגמא: בהנחה שכל אדם בעולם הוא תושב של מדינה אחת ויחידה, הרי היחס "בעל תושבות משותפת" מחלק את כל תושבי העולם למחלקות שקילות, שכל אחת מהן מכילה את כל תושביה של מדינה מסוימת.

קבוצת המנה

אוסף מחלקות השקילות של קבוצה על פי יחס שקילות מסוים מכונה קבוצת המנה שלה. כל מחלקה מיוצגת לרוב על ידי איבר ("נציג") מהקבוצה המקורית. בדוגמא לעיל, תהיה קבוצת המנה לפי יחס השקילות שהוגדר, קבוצה המכילה את כל המדינות בעולם.

הגדרה זו משמשת, בין השאר, לצורך בניה של מערכות מספרים, על ידי הגדרת מספר רציונלי כמחלקת שקילות של היחס $\ \{(\,(a,b),(x,y)\,):ay=xb\}$. בצורה הזו קבוצת המספרים הרציונליים היא קבוצת המנה של $\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \setminus 0)$ לפי אותו יחס. גם בניית המספרים הממשיים מתוך הרציונליים יכולה להיעשות על ידי שימוש במחלקות שקילות, כאשר בונים את המספרים הממשיים על ידי השלמה של המספרים הרציונליים.

במקרים רבים במתמטיקה מגדירים פונקציות בין מחלקות שקילות על ידי נציגים של אותן מחלקות. במקרה כזה כדי שמה שיתקבל יהיה באמת פונקציה צריך לוודא שהערך המתקבל אינו תלוי בנציג שנבחר. לדוגמא כאשר מגדירים חיבור בין המספרים הרציונליים (שמוגדרים כמחלקות שקילות של זוגות סדורים של מספרים טבעיים) מגדירים זאת על ידי נציגים. במקרה הזה יש לוודא שלפעולה ${\frac {1}{3}}+{\frac {2}{3}}$ ולפעולה ${\frac {2}{6}}+{\frac {8}{12}}$ יש תוצאות שקולות.

דוגמאות

• יחס השוויון: $\ a{\mathcal {R}}b\Leftrightarrow a=b$
• יחס שקילות מודולו p: $\ a{\mathcal {R}}b\Leftrightarrow \exists k\in \mathbb {Z} \ \ a-b=k\cdot p$
• באופן כללי בהינתן חוג R ואידאל דו-צדדי I, ניתן להגדיר יחס שקילות ~ על R על ידי:

$\ a\sim b$ $\ \Leftrightarrow$ $\,b-a\in I$.

• כל פונקציה מגדירה יחס שקילות של שני איברים המועתקים לאותו איבר: $\ a{\mathcal {R}}b\Leftrightarrow f(a)=f(b)$.
• חפיפה ודמיון הם יחסי שקילות.