לדלג לתוכן

יחס שקילות – הבדלי גרסאות

נוספו 81 בתים ,  לפני 5 שנים
אין תקציר עריכה
מ (ביטול קישור מדף לעצמו#)
אין תקציר עריכה
[[קובץ:Set partition.svg|שמאל|ממוזער|250px|[[מעגל#עיגול|עיגול]] מחולק ל[[#מחלקות שקילות|מחלקות שקילות]] המסומנות ב[[צבע]]ים שונים.]]
{{סימון מתמטי}}
ב[[מתמטיקה]], '''יחס שקילות''' [https://en.wikipedia.org/wiki/Equivalence_relatio|Equivalence-Relation] הוא דרך לאגד, באופן טכני ומדויק, עצמים מופשטים שיש להם תכונות משותפות. קבוצות אלה נקראות '''מחלקות שקילות'''. לדוגמהלדוגמא, אפשר לחלק את כל ה[[משולש|משולשים]] למחלקות, כאשר כל המשולשים במחלקה חופפים זה לזה. חלוקה כזו חוקרת למעשה את יחס החפיפה, בכך שהיא מתאימה בין משולשים חופפים ומפרידה משולשים שאינם חופפים.
 
מרכזיותו של מושג זה בחשיבה המתמטית מודגמת באמרתו המפורסמת של [[אנרי פואנקרה]], מגדולי המתמטיקאים במחצית השנייה של המאה התשע-עשרה: "מתמטיקה היא האמנות של קריאה באותו שם לדברים שונים". יחס שקילות אינו אלא פירוק למחלקות, המהוות כל אחת מעין שם משותף לעצמים שבתוכה.
 
הדוגמההדוגמא הפשוטה ביותר ליחס שקילות היא יחס ה[[שוויון (מתמטיקה)|שוויון]]. דוגמאות נוספות כוללות [[דמיון משולשים]], [[איזומורפיזם|איזומורפיות]] של מבנים ועוד. במובן מסוים, אפשר לומר שחלק נכבד מן המחקר המתמטי קשור בזיהוי וחישוב של יחסי שקילות מעניינים.
==הגדרה פורמלית==
 
 
[[יחס]] R מעל קבוצה A נקרא '''יחס שקילות''' אם הוא מקיים את התכונות הבאות:
# [[יחס רפלקסיבי|רפלקסיביות]]: כל איבר עומד ביחס עם עצמו, כלומר <math>\ a\mathcal{R}a</math> לכל <math>\ a\isin A</math>. למשללדוגמא, תכונה זו מתקיימת תמיד עבור היחס "שווה ל", כי כל איבר תמיד שווה לעצמו.
# [[יחס סימטרי|סימטריות]]: אם a עומד ביחס עם b אזי גם b עומד ביחס עם a, כלומר <math>\ a\mathcal{R}b\Leftrightarrow b\mathcal{R}a</math>. לדוגמהלדוגמא: יחס האחווה "אח של" הוא סימטרי כי אם a אח של b אז גם b אח של a. לעומת זאת, יחס ההורות "a אב של b" איננו סימטרי.
# [[טרנזיטיביות]]: אם a נמצא ביחס ל-b ו-b נמצא באותו היחס ל-c אזי גם בין a ל-c מתקיים אותו היחס, ובניסוח פורמלי: <math>\ a\mathcal{R}b,b\mathcal{R}c\Rightarrow a\mathcal{R}c</math>. למשללדוגמא, אם לסוס a צבע זהה לזה של סוס b, ול- b צבע זהה לשל c, אז ל- a אותו צבע כמו ל- c.
 
סימטריות וטרנזיטיביות אינן מספיקות כדי להכריח יחס להיות רפלקסיבי. לדוגמהלדוגמא, היחס הריק (שלא מתקיים לאף זוג איברים) על קבוצה לא ריקה הוא סימטרי וטרנזיטיבי באופן ריק, אך אינו רפלקסיבי.
 
==מחלקות שקילות==
בנוסף, בהינתן [[חלוקה (תורת הקבוצות)|חלוקה]] של הקבוצה, ניתן לבנות יחס שקילות כך שכל זוג איברים נמצא ביחס שקילות [[אם ורק אם]] שני האיברים היו באותה קבוצה בחלוקה.
 
לדוגמהלדוגמא: בהנחה שכל אדם בעולם הוא תושב של מדינה אחת ויחידה, הרי היחס "בעל תושבות משותפת" מחלק את כל תושבי העולם למחלקות שקילות, שכל אחת מהן מכילה את כל תושביה של מדינה מסוימת.
 
==קבוצת המנה==
אוסף מחלקות השקילות של קבוצה על פי יחס שקילות מסוים מכונה '''קבוצת המנה''' שלה. כל מחלקה מיוצגת לרוב על ידי איבר ("נציג") מהקבוצה המקורית. בדוגמהבדוגמא לעיל, תהיה קבוצת המנה לפי יחס השקילות שהוגדר, קבוצה המכילה את כל המדינות בעולם.
 
הגדרה זו משמשת, בין השאר, לצורך בניה של [[מערכות מספרים]], על ידי הגדרת [[מספר רציונלי]] כמחלקת שקילות של היחס <math>
\ \{(\,(a,b),(x,y)\,): ay=xb\}</math>. בצורה הזו קבוצת המספרים הרציונליים היא קבוצת המנה של <math>\mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}\setminus 0)</math> לפי אותו יחס. גם בניית [[שדה המספרים הממשיים|המספרים הממשיים]] מתוך הרציונליים יכולה להיעשות על ידי שימוש במחלקות שקילות, כאשר בונים את המספרים הממשיים על ידי [[מרחב מטרי שלם|השלמה]] של המספרים הרציונליים.
 
במקרים רבים במתמטיקה מגדירים פונקציות בין מחלקות שקילות על ידי נציגים של אותן מחלקות. במקרה כזה כדי שמה שיתקבל יהיה באמת [[פונקציה]] צריך לוודא שהערך המתקבל אינו תלוי בנציג שנבחר. לדוגמהלדוגמא כאשר מגדירים חיבור בין המספרים הרציונליים (שמוגדרים כמחלקות שקילות של זוגות סדורים של מספרים טבעיים) מגדירים זאת על ידי נציגים. במקרה הזה יש לוודא שלפעולה <math>\frac{1}{3}+\frac{2}{3}</math> ולפעולה <math>\frac{2}{6}+\frac{8}{12}</math> יש תוצאות שקולות.
 
==דוגמאות==
משתמש אלמוני