צירוף ליניארי

באלגברה ליניארית, צירוף ליניארי הוא סכום של מספר סופי של וקטורים שכל אחד מהם מוכפל בסקלר. בגלל סגירותו של המרחב הווקטורי ביחס לחיבור וכפל בסקלר, הצירוף הליניארי אף הוא וקטור השייך לאותו מרחב וקטורי. בהינתן קבוצה מתאימה של וקטורים - קבוצה פורשת - ניתן לכתוב כל וקטור במרחב כצירוף ליניארי של איברים מתוך הקבוצה.

מבחינה פורמלית, צירוף ליניארי מוגדר כך. בהינתן סדרה $\,v_{1},v_{2},...,v_{k}$ של וקטורים במרחב, וסדרה $\,\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{k}$ של סקלרים, נקרא לביטוי

$\,\alpha _{1}v_{1}+\alpha _{2}v_{2}+...+\alpha _{k}v_{k}$

צירוף ליניארי של הווקטורים. בקיצור ניתן לכתוב $\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}v_{i}$

קבוצה תיקרא תלויה ליניארית אם קיים בה וקטור שהוא צירוף ליניארי של וקטורים אחרים מהקבוצה. או באופן שקול, קבוצה היא תלויה ליניארית אם קיים צירוף ליניארי לא טריוויאלי של איבריה (לא כל הסקלרים אפס) ששווה לווקטור האפס.

בהתאם לכך וקטור האפס יהיה תמיד צירוף ליניארי של כל קבוצת וקטורים, וכשהוא יינתן בתוך קבוצה אזי הקבוצה תהיה תלויה ליניארית.