מעוין

מעוינים ואלכסוניהם

מעוין הוא מרובע שווה-צלעות. מעוין הוא מקרה פרטי של דלתון ושל מקבילית. ריבוע הוא מקרה פרטי של מעוין שבו הזוויות שוות.

בגאומטריה אנליטית ניתן להגדיר מעוין, שאלכסוניו p ו-q מונחים על הצירים, כמקום הגאומטרי של הנקודות (x, y) שמקיימות:

$\left|{\frac {x}{p}}\right|\!+\left|{\frac {y}{q}}\right|\!=1$.

פאון שכל פאותיו הן מעוינים נקרא "מעוינון".

תכונות המעוין

מעוין

• כל הצלעות שוות באורכן. בציור: AB = BC = CD = DA.
• צלעות נגדיות מקבילות (AB || CD ; BC || DA).
• זוויות נגדיות שוות זו לזו ($\angle A=\angle C;\angle B=\angle D$).
• כל הגבהים שווים בארכם (בציור הגובה מסומן ב-h).
• היקף המעוין שווה לאורך הצלע כפול 4 ($\ P=4a$).
• בכל מעוין ניתן לחסום מעגל שרדיוסו $r={\frac {a\sin \alpha }{2}}$
• חבורת הסימטריות של מעוין שאינו ריבוע היא חבורת הארבעה של קליין.

האלכסונים

• האלכסונים מאונכים זה לזה ($AC\perp BD$).
• האלכסונים חוצים זה את זה (AS = CS; BS = DS).
• האלכסונים חוצים את זוויות המעוין.

את אורך האלכסונים p = AC ו- q = BD ניתן להציג לפי אורך הצלע ואחת הזוויות באמצעות הנוסחאות הבאות, שנובעות ממשפט הקוסינוסים:

$p=a{\sqrt {2+2\cos {\alpha }}}$

$q=a{\sqrt {2-2\cos {\alpha }}}$

שטח המעוין

קיימות דרכים אחדות לחישוב שטח המעוין:

• מחצית מכפלת האלכסונים זה בזה. נובע מכך שהאלכסונים מחלקים את המעוין לארבעה משולשים ישרי זווית.
• אורך צלע כפול הגובה (בציור: $K=a\cdot h$). בהתאם לנוסחה לחישוב שטח מקבילית.
• אורך צלע בריבוע כפול סינוס של אחת הזוויות. בציור: $K=a^{2}\cdot \sin \alpha =a^{2}\cdot \sin \beta$
• הגובה בריבוע חלקי סינוס של אחת הזוויות. בציור: $K={\frac {h^{2}}{\sin \alpha }},$
• חצי ההיקף של המעוין כפול רדיוס המעגל החסום. בציור: $K=2a\cdot r$

משפטים הפוכים

• מקבילית שאלכסוניה מאונכים זה לזה היא מעוין.
• מקבילית שבה אלכסון חוצה את הזווית היא מעוין.
• מקבילית עם זוג צלעות סמוכות שוות היא מעוין.
• מרובע שכל צלעותיו שוות הוא מעוין.

ריצוף המישור

באמצעות מעוינים זהים ניתן ליצור ריצוף של המישור בשלוש דרכים:

ריצוף ששקול טופולוגית לריצוף ריבועי		ריצוף במעוינים שזוויותיהם 60 ו-120 מעלות

תכונות דואליות

המצולע הדואלי של המעוין הוא המלבן:

• במעוין כל הצלעות שוות ובמלבן כל הזוויות שוות.
• במעוין זוויות נגדיות שוות ובמלבן צלעות נגדיות שוות.
• למעוין יש מעגל חסום ולמלבן יש מעגל חוסם.
• למעוין יש ציר סימטריה דרך כל זוג זוויות נגדיות, ולמלבן יש ציר סימטריה דרך כל זוג צלעות נגדיות.
• האלכסונים של מעוין נפגשים בזוויות שוות, ואלכסונים של מלבן נחתכים באורכים שווים.
• חיבור אמצעי הצלעות של מעוין יוצר מלבן, וחיבור אמצעי הצלעות של מלבן יוצר מעוין.

ראו גם

• ארגייל - דוגמת סריגה פופולרית של תבנית מעוינים

קישורים חיצוניים

• מעוין, באתר MathWorld (באנגלית)