התפלגות בולצמן

התפלגות בולצמן היא מושג מרכזי במכניקה סטטיסטית.

ההתפלגות מתארת את ההסתברות של מערכת הנמצאת בשיווי משקל תרמודינמי עם מאגר חום בטמפרטורה T, להיות במצב מסוים המתואר על ידי האינדקס i, כאשר אנרגיית המערכת היא E_i.

הסתברות זו נתונה על ידי:

$p_{i}={\frac {\exp(-E_{i}/k_{B}T)}{Z}}$

כאשר:

• $Z=\sum _{i}\exp \left({\frac {-E_{i}}{k_{B}T}}\right)$ היא פונקציית החלוקה
• ו-k_B הוא קבוע בולצמן

במכניקה סטטיסטית מתייחסים לאוסף המערכות המוגדרות על ידי אותה הבעיה הפיזיקלית, ואותם גדלים מקרוסקופיים (טמפרטורה, לחץ, פוטנציאל כימי, וכדומה), אך נבדלים על ידי המצב המיקרוסקופי של כל החלקיקים. אוסף זה נקרא צבר (ensemble), ועל ידי התייחסות למשקלים סטטיסטיים בהתאם להתפלגות ההסתברות, מתאר צבר זה נכונה מערכות בשיווי משקל תרמודינמי. התפלגות בולצמן מתאימה לצבר קנוני, המוגדר על ידי מספר קבוע של חלקיקים בכל המערכות, ועל ידי הטמפרטורה של הצבר בכללותו.

בגבול שבו מתקרבת הטמפרטורה לאפס המוחלט, מתבדרת פונקציית החלוקה (או מתקרבת ל-0 אם כל האנרגיות חיוביות), וההסתברויות עבור מערכת ללא ניוון נוטות כולן ל-1 ול-0, עבור מצב היסוד ומצבים מעוררים בהתאמה. במקרה שיש יותר ממצב אחד עם אנרגיה מינימלית, נאמר שמצב היסוד מנוון, והאנטרופיה תהיה שונה מ-0 גם בטמפרטורה 0 קלווין.

בכל טמפרטורה סופית יהיה סיכוי לאכלוס של מצבים בעלי אנרגיות גבוהות יותר. ככל שהאנרגיה של מצב גבוהה יותר, ההסתברות להימצא בו נמוכה יותר. סיכוי סביר לאכלוס יהיה במצבים שהפרש האנרגיה שלהם ממצב היסוד הוא בסדר גודל של k_BT.

עבור מערכות קלאסיות, התפלגות בולצמן נותנת את התפלגות מקסוול-בולצמן למהירויות. בנוסף, ההתפלגות חסרת זיכרון בהיותה התפלגות מעריכית.

לפי התאוריה הארגודית כל מערכת דינמית תגיע לבסוף לשיווי משקל, שבו הסיכויים לאכלוס מצב מתוארים על ידי התפלגות בולצמן. למרות זאת, העולם שסביבנו רווי במערכות שאינן בשווי משקל. אנרגיית השמש מחזיקה את אטמוספירת כדור הארץ מחוץ לשיווי משקל ובכך מאפשרת את תופעות מזג האוויר, הנובעות משאיפת המערכת לחזור לשיווי משקל תרמודינמי. עקרון הפעולה של הלייזר מבוסס על דחיפת מערכת קוונטית אל מחוץ לשיווי משקל ליצירת היפוך אוכלוסייה.