התפלגות חצי המעגל של ויגנר

התפלגות חצי המעגל של ויגנר

פונקציית צפיפות ההסתברות
פונקציית ההסתברות המצטברת
מאפיינים
פרמטרים	$\ R>0$ הרדיוס (ממשי)
תומך	$x\in [-R,R]\!$
פונקציית צפיפות הסתברות (pdf)	${\frac {2}{\pi R^{2}}}\,{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}\!$
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf)	${\frac {1}{2}}+{\frac {x{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}{\pi R^{2}}}+{\frac {\arcsin \!\left({\frac {x}{R}}\right)}{\pi }}\!$ עבור $-R\leq x\leq R$
תוחלת	$0\,$
חציון	$0\,$
ערך שכיח	$0\,$
שונות	${\frac {R^{2}}{4}}\!$
אנטרופיה	$\ln(\pi R)-{\frac {1}{2}}\,$
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf)	$2\,{\frac {I_{1}(R\,t)}{R\,t}}$
פונקציה אופיינית	$2\,{\frac {J_{1}(R\,t)}{R\,t}}$
צידוד	$\ 0$
גבנוניות	$\ -1$

התפלגות חצי המעגל של ויגנר, הקרויה על שם הפיזיקאי זוכה פרס נובל יוג'ין ויגנר, היא התפלגות על הקטע $[-R,R]\!$ כך שפונקציית הצפיפות שלה מתארת חצי מעגל ״מכווץ״ (או ״מנופח״), כלומר חצי אליפסה הממורכזת בראשית הצירים $(0,0)$:

$f(x)={\begin{cases}{\dfrac {2}{\pi R^{2}}}{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}&{\text{if }}|x|\leq R\\[1ex]0&{\text{if }}|x|>R\end{cases}}$

הפרמטר $\ R$לרוב נקרא הרדיוס של ההתפלגות.

פונקציית ההתפלגות המצטברת של ההתפלגות היא:

$F(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<-R\\\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {x{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}{\pi R^{2}}}+{\frac {\arcsin \!\left({\frac {x}{R}}\right)}{\pi }}&{\text{if }}|x|\leq R,\\1&{\text{if }}x>R.\end{cases}}$

התפלגות זו מתארת את אחת התכונות הבסיסיות של מטריצות אקראיות לפיה לערכים העצמיים של מטריצה סימטרית ממשית (או הרמיטית במקרה המרוכב) אקראית (תחת תנאים מסוימים) התפלגות של חצי המעגל של ויגנר בגבול, כאשר הממד של המטריצה האקראית שואף לאינסוף.

תכונות

פונקציית הצפיפות של התפלגות חצי המעגל של ויגנר היא סימטרית ומקבלת ערך מקסימלי ב-0. לפיכך, התוחלת, החציון והערך השכיח של ההתפלגות שווים לאפס.

מומנטים

מטעמי סימטריה, כל המומנטים מסדר אי-זוגי שווים לאפס. המומנטים מסדר זוגי הם:

$\mu _{2k}=E[X^{2k}]={\frac {(2k)!}{k!(k+1)!}}{\frac {R^{2k}}{2^{2k}}}=({\tfrac {R}{2}})^{2k}C_{k}$

כאשר $C_{k}$ הם מספרי קטלן. בפרט במקרה שבו $R=2$ המומנטים הזוגיים הם בדיוק מספרי קטלן:

${\begin{aligned}\mu _{2k}&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-2}^{2}x^{2k}{\sqrt {4-x^{2}}}dx\\&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2}x^{2k}{\sqrt {4-x^{2}}}dx\\({\text{sub: }}x=2{\sqrt {y}})&={\frac {2^{2k+1}}{\pi }}\int _{0}^{1}y^{k-1/2}(1-y)^{1/2}dy\\&={\frac {2^{2k+1}}{\pi }}B(k+1/2,3/2)\\&={\frac {2^{2k+1}}{\pi }}{\frac {\Gamma (k+1/2)\cdot \Gamma (3/2)}{\Gamma (k+2)}}\\&={\frac {1}{k+1}}{\binom {2k}{k}}\\&=C_{k}\end{aligned}}$

במעברים נעשה שימוש בתכונות של פונקציית בטא ופונקציית גמא. למומנטים הללו חשיבות רבה כאשר מוכיחים התכנסות בהתפלגות של סדרת משתנים מקריים להתפלגות חצי המעגל של ויגנר באמצעות שיטת המומנטים.

פונקציה יוצרת מומנטים

הפונקציה יוצרת מומנטים עבור ההתפלגות נתונה על ידי:

$g(t)=E[e^{tX}]=2{\frac {I_{1}(Rt)}{Rt}}$,

כאשר $I_{1}$ היא פונקציית בסל מותאמת מהסוג הראשון.

פונקציה אופיינית

הפונקציה האופיינית של ההתפלגות נתונה על ידי:

$\phi (t)=E[e^{itX}]=2{\frac {J_{1}(Rt)}{Rt}}$

כאשר $J_{1}$ היא פונקציית בסל מהסוג הראשון.

טרנספורמציית סטילטיס

טרנספורמציית סטילטיס של ההתפלגות נתונה על ידי:

$s(z)=-{\frac {2}{R^{2}}}(z-{\sqrt {z^{2}-R^{2}}})$

עבור z מספר מרוכב עם חלק מדומה חיובי והקונבנציה שבשורש ריבועי מרוכב נלקח הערך עם החלק המדומה החיובי. בעזרת הטרנספורמציה, בנוסף לשיטת המומנטים, נעשה שימוש על מנת להוכיח התכנסות סדרת התפלגויות להתפלגות חצי המעגל של ויגנר.

חוק חצי המעגל של ויגנר במטריצות אקראיות

אחת הבעיות המרכזיות בתורת המטריצות האקראיות, שזכתה לתשומת הלב הרבה ביותר, היא הבנת הערכים העצמיים של מטריצות אקראיות. אין זו באמת בעיה יחידה, אלא מחלקה רחבה של בעיות: ישנן דרכים רבות לבנות מטריצה אקראית (מה שמוביל להתפלגויות ערכים עצמיים שונות באופן דרסטי), וישנם הרבה היבטים שונים להבנת הערכים העצמיים בכל מודל מטריצה אקראית נתון.

רוב היישומים המוקדמים של תורת המטריצות האקראיות עסקו בהתנהגות הגבולית של הספקטרום כאשר גודל המטריצה שואף לאינסוף, בין אם לפיתוח הבנה סטטיסטית של מטריצות "גדולות מאוד", או שימוש במטריצות גדולות כדי לקרב אופרטורים ממימד אינסופי. מאז סוף שנות ה-50 של המאה ה-20, המחקר על ניתוח ספקטרלי גבולי של מטריצות אקראיות בממדים גבוהים מושך עניין רב בקרב מתמטיקאים, חוקרי הסתברות וסטטיסטיקאים.

כלי חשוב להבנת הערכים העצמיים של מטריצה אקראית הוא ההתפלגות הספקטרלית האמפירית (ESD): עבור מטריצה אקראית $M$ בעלת ערכים עצמיים $\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}$ ה-ESD של $M$, המסומנת $\mu _{M}$, מוגדרת כך:

$\mu _{M}={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\delta _{\lambda _{j}}$

עבור מטריצה אקראית הרמיטית (או סימטרית, במקרה הממשי) הערכים העצמיים שלה כולם ממשיים (על סמך משפט הפירוק הספקטרלי) ולכן ה-ESD של המטריצה תהיה התפלגות חד-ממדית ממשית.

במאמר פורץ דרך, הוכיח ויגנר כי עבור מטריצות אקראיות, ממשיות וסימטריות $M_{n}$, ממימד $n$, תחת האילוצים הבאים (עבור סימון איברי המטריצות בתור $v_{ij}$):

• איברי המטריצה על האלכסון הראשי ומעליו ($v_{ij}$ עבור $i\leq j$) מתפלגים באופן בלתי-תלוי.
• $v_{ij}$ מתפלגים באופן סימטרי.
• ל-$v_{ij}$ קיימים כל המומנטים והם חסומים (לא תלויים ב-${i,j}$). בפרט, מסימטריות, כל המומנטים האי-זוגיים מתאפסים.
• $v_{ij}$ בעלי מומנט שני השווה לקבוע: $m^{2}$.

ה-ESD של סדרת המטריצות המנורמלות $W_{n}:={\frac {1}{\sqrt {n}}}M_{n}$ מתכנס בתוחלת להתפלגות חצי המעגל.

תוצאה זו, הקרויה, חוק חצי המעגל של ויגנר, מהווה את אחת התוצאות האוניברסליות המרכזיות בתורת המטריצות האקראיות. עבודתו המקורית של ויגנר הוכללה והורחבה רבות לאורך השנים ולהלן ״שיפור״ ל-התכנסות כמעט תמיד (קרוי לפעמים חוק חצי המעגל החזק):

נניח כי $\{x_{ij}\}_{1\leq i\leq j}$ אוסף אינסופי של משתנים מקריים ממשיים כך ש-$\{x_{ij}\}_{1\leq i<j}$ הם בלתי תלויים ושווי התפלגות ($iid$) עם שונות 1 ומומנט רביעי סופי וכן $\{x_{ii}\}_{1\leq i}$ הם $iid$. יהיו $X_{n}$ המטריצות האקראיות הסימטריות המורכבות מהאיברים $\{x_{ij}\}_{1\leq i,j\leq n}$ וכן $\mu _{n}$ ה-ESD של המטריצות המנורמלות: ${\frac {1}{\sqrt {n}}}X_{n}$. אז, כאשר $n$ שואף לאינסוף, $\mu _{n}$ מתכנסת כמעט תמיד להתפלגות חצי המעגל של ויגנר. למעשה, עבור ערך עצמי אקראי $\lambda$ במטריצה $X_{n}$ מסדר $n$:

$\ \lim _{n\rightarrow \infty }P(\lambda <t{\sqrt {n}})=\int _{-2}^{t}{\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {4-x^{2}}}dx$.

אילוסטרציה של חוק חצי המעגל של ויגנר למטריצות אקראיות עם משתנים מקריים גאוסיים, סימטריות ומנורמלות מגדלים שונים

קשר להסתברות חופשית

הסתברות חופשית היא ענף מתמטי תחת תורת ההסתברות, המהווה הרחבה של תורת ההסתברות, שעוסק במשתנים מקריים ״לא קומוטטיביים״. בהסתברות חופשית, להתפלגות חצי המעגל של ויגנר תפקיד המקביל לזה של ההתפלגות הנורמלית בהסתברות הקלאסית. בתורת ההסתברות החופשית, תפקידם של הקומולנטים נתפס על ידי "קומולנטים חופשיים" ובדיוק כפי שהקומולנטים מדרגה גבוהה מ-2 של התפלגות הם כולם אפס אם ורק אם ההתפלגות היא נורמלית, כך גם ה״קומולנטים החופשיים״ מדרגה גבוהה מ-2 של התפלגות הם כולם אפס אם ורק אם ההתפלגות היא התפלגות חצי המעגל של ויגנר.

ראו גם

• מטריצות אקראיות
• התפלגות טרייסי-וידום
• התפלגות מרצ'נקו-פסטור
• כלל המעגל

קישורים חיצוניים

• התפלגות חצי המעגל של ויגנר, באתר MathWorld (באנגלית)

• Bai & Silverstein, Spectral Analysis of Large Dimensional Random Matrices, 2010
• Wolfram Language & System Documentation Center WignerSemicircleDistribution
• Elizabeth Meckes, The Eigenvalues of Random Matrices
• Terence Tao, Topics in random matrix theory