מרחב מכפלה פנימית

באלגברה לינארית, מרחב מכפלה פנימית הוא מרחב וקטורי, עבורו מוגדרת פונקציית כפל בין איברי המרחב, המכונה מכפלה פנימית. בעזרתה של מכפלה זו, ניתן להכליל מושגים של אורך ושל זווית.

הגדרה פורמלית

יהי $\,V$ מרחב וקטורי מעל השדה $\mathbb {F}$, כאשר $\mathbb {F}$ הוא שדה המספרים הממשיים או שדה המספרים המרוכבים. פונקציה $\langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\rightarrow \mathbb {F}$ תיקרא מכפלה פנימית על המרחב אם היא מקיימת את התכונות הבאות:

• אדיטיביות ברכיב הראשון:

$\forall a,b,c\in V:\langle a+b,c\rangle =\langle a,c\rangle +\langle b,c\rangle$

• הומוגניות ברכיב הראשון:

$\forall a,b\in V,\lambda \in \mathbb {F} :\langle \lambda a,b\rangle =\lambda \langle a,b\rangle$

• הרמיטיות (מעל הממשיים - סימטריות):

$\forall x,y\in V,\ \langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}$

• חיוביות לחלוטין:

$\forall x\in V\ \langle x,x\rangle \geq 0$ ושוויון קיים אם ורק אם $\ x=0$

נשים לב לכמה דברים:

• תכונת החיוביות דורשת שמכפלת וקטור בעצמו תהיה ניתנת להשוואה על ידי יחס סדר. על המרוכבים לא מוגדר יחס סדר שכזה, אלא רק על הממשיים, מכאן שעל המכפלה הזו להחזיר תמיד מספר ממשי. תכונת ההרמיטיות מבטיחה זאת:

$\langle x,x\rangle ={\overline {\langle x,x\rangle }}$ פירושו כי $\langle x,x\rangle$ הוא מספר ממשי.

• האדיטיביות ניתנת להכללה באמצעות ההרמיטיות גם לרכיב השני. לעומת זאת ההומוגניות תישמר רק עד כדי צמוד מרוכב - כאשר מוציאים סקלר מהמכפלה הפנימית, יש להצמיד אותו:

$\langle x,\lambda y\rangle ={\overline {\lambda }}\langle x,y\rangle$

• מהאדיטיביות נובע כי תמיד מתקיים: $\langle 0,0\rangle =0$

המרחב $\,V$ בתוספת מכפלה פנימית ייקרא מרחב מכפלה פנימית.

במכפלה הפנימית משתמשים בין היתר כדי להגדיר את מושגי האורתוגונליות והנורמה.

דוגמאות למכפלות פנימיות

• יהי $V=\{{\vec {x}}=(x_{1},\cdots ,x_{n})|x_{i}\in \mathbb {F} \}=\mathbb {F} ^{n}$ מרחב וקטורי.
  • אם $\ \mathbb {F} =\mathbb {R}$ אזי המכפלה הסקלרית הבאה $\langle {\vec {x}},{\vec {y}}\rangle =x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n}$ היא מכפלה פנימית.
  • אם $\ \mathbb {F} =\mathbb {C}$ אזי המכפלה הסקלרית הבאה $\langle {\vec {x}},{\vec {y}}\rangle =x_{1}{\overline {y_{1}}}+\cdots +x_{n}{\overline {y_{n}}}$ היא מכפלה פנימית.
• המכפלה הסקלרית הסטנדרטית במרחב האוקלידי $\mathbb {R} ^{3}$ שנתונה על ידי ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \theta$ (כאשר $\theta$ היא הזווית בין הווקטורים) היא מכפלה פנימית.
• מכפלת וקטור שורה בוקטור עמודה לפי החוקים של כפל מטריצות מהווה מכפלה פנימית.
• את המכפלה הסקלרית אפשר לתאר באמצעות כתיב מטריציוני: $\langle {\vec {x}},{\vec {y}}\rangle ={\vec {x}}^{T}I{\vec {y}}$ . אם נחליף את $\ I$ (מטריצת היחידה) במטריצה $\ A$ חיובית לחלוטין נקבל גם כן מכפלה פנימית.
• במרחב כל הפונקציות האינטגרביליות בריבוע במובן לבג בתחום $\,I$, שמסומן $\ L^{2}(I)$, המכפלה הפנימית היא $\langle f,g\rangle =\int _{I}{f(x)\ {\overline {g(x)}}\ dx}$. מכפלה זו הופכת את המרחב למרחב הילברט, לפי משפט ריז-פישר.
• בפיזיקה קוונטית, משתמשים בסימון דיראק (מכונה סימון "ברה-קט") לציון המכפלה הפנימית שפירושה הוא הטלת מצב קוונטי מסוים על מצב אחר. נהוג לקבוע שהיא הומוגנית דווקא ברכיב הימני ולא בשמאלי (בניגוד למוסכמה הנהוגה במתמטיקה): $\ \langle a\phi |b\psi \rangle =a^{*}b\langle \phi |\psi \rangle$. כאשר הכוכבית מסמנת צמוד מרוכב.