כלל השרשרת

פרק זה טעון עריכה. אנא תרמו לוויקיפדיה ועזרו לערוך אותו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.

בחשבון אינפיניטסימלי, כלל השרשרת הוא כלל המאפשר למצוא את הנגזרת של פונקציה שמורכבת ממספר פונקציות אחרות.

ניסוח פורמלי

המקרה הפרטי של פונקציות סקלריות

הגרסה הנפוצה ביותר של כלל השרשרת היא זו שעוסקת בהרכבה של פונקציה סקלרית ממשית במשתנה יחיד על פונקציה סקלרית ממשית נוספת במשתנה יחיד.

תהיינה $\ f(x),g(x):\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ פונקציות, כך שתחום ההגדרה של $\ f$ מקיים שהטווח של $\ g$ חלקי לו, וכך ששתיהן גזירות בתחום ההגדרה שלהן. אז גם הפונקציה המורכבת $\ h(x)=f(g(x))$ גזירה בתחום ההגדרה שלה, ומתקיים $\ h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)$.

כלומר, הנגזרת של $\ h$ בנקודה כלשהי היא מכפלת הנגזרות של $\ f,g$, כאשר $\ g'$ מחושבת בנקודה, ואילו $\ f'$ מחושבת בתמונת הנקודה על פי $\ g$.

סגנון כתיבה מקובל אחר (שמיוחס ללייבניץ) לכלל השרשרת הוא באמצעות הסימון $\ {\frac {dh}{dx}}$: ניתן לכתוב $\ {\frac {dh}{dx}}={\frac {dh}{dg}}\cdot {\frac {dg}{dx}}$. כלומר, לכאורה "מצמצמים" דיפרנציאלים (אולם בפועל מדובר בסימון בלבד, שמקל על זכירת הנוסחה).

מקרה כללי של פונקציות ממשיות

בצורתו הכללית, שתקפה גם לפונקציות וקטוריות של מספר משתנים, כלל השרשרת בעצם אומר: שהדיפרנציאל של פונקציה מורכבת - היא הרכבת הדיפרנציאלים של הפונקציות שמרכיבות אותה. זאת תחת דרישת הדיפרנציאביליות.

אם הפונקציה $\ f$ דיפרנציאבילית בנקודה $\ x$ והפונקציה $\ g$ דיפרנציאבילית בנקודה $\ f(x)$ , אז:

${\mbox{D}}_{x}\left(g\circ f\right)={\mbox{D}}_{f\left(x\right)}\left(g\right)\circ {\mbox{D}}_{x}\left(f\right)$

כאשר $\ D_{x}$ פירושו הדיפרנציאל בנקודה $\ x$ .

כלל השרשרת בנוגע לפונקציות מרובות משתנים

$\ {\frac {\partial f\left(x(t),y(t)\right)}{\partial t}}={\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial t}}$

הוכחה

לפי הגדרת הנגזרת, עלינו לחשב את $\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(g(x))-f(g(x_{0}))}{x-x_{0}}}$

נכפיל מונה ומכנה בביטוי $g(x)-g(x_{0})$ ונקבל:

$\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(g(x))-f(g(x_{0}))}{g(x)-g(x_{0})}}\cdot {\frac {g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}}$

על פי הגדרת הנגזרת, המוכפל השמאלי שווה לנגזרת של f לפי g והמוכפל הימני לנגזרת של g.

דוגמה לשימוש בכלל

נרצה לגזור את הפונקציה h(x) = (x² + 1)³.

נשים לב כי $\ h(x)=f(g(x))$ עם $\ g(x)=1+x^{2}$ ו- $\ f(x)=x^{3}$ ולכן מכלל השרשרת:

$\ h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)$

$\ f'(g(x))=3(1+x^{2})^{2}$

$\ g'(x)=2x$

וע"י הצבה נקבל:

$\ h'(x)=3(1+x^{2})^{2}\cdot 2x$