מתומן

מתומן משוכלל
מתומן משוכלל
צלעות וקודקודים	8
דיאגרמת קואקסטר-דייקין
חבורת סימטריות	חבורה דיהדראלית (D8)
שטח (t הוא אורך הצלע)	$2(1+{\sqrt {2}})t^{2}$ $\simeq 4.828427t^{2}.$
זווית פנימית (מעלות)	135°

מתומן (אנגלית: Octagon) הוא מצולע בעל שמונה צלעות. סכום זוויותיו הפנימיות הוא 1080°. במתומן יש 20 אלכסונים.

שימושים

תמרור עצור הוא התמרור היחיד שצורתו מתומן משוכלל, וצורה זו נבחרה כדי להבליט אותו.

ישנם מבנים מפורסמים, שבסיסם הוא מתומן. מסגד כיפת הסלע בעל בסיס מתומן. המבנה נבנה בסגנון אופייני לכנסיית באותה תקופה.. כנסיית בית פטרוס, שבכפר נחום, מתומנת, כמו גם הקתיסמה - כנסייה הרוסה בין ירושלים לבית לחם. המגדל וארבעת חדרי התצוגה של מוזיאון רוקפלר בירושלים הם מתומנים. קתדרלת בורגוס הגותית בספרד מפורסמת בין השאר בזכות מגדל המצלב שלה וקפלת קונדסטייבל, שניהם מבנים מתומנים שבולטים מהם שמונה צריחים מחודדים. המגדלור שבנה הורדוס בקיסריה היה בעל בסיס מתומן.

• 
  תמרור עצור הוא מתומן משוכלל
• 
  אריזת פיצה, בצורת מתומן (לא משוכלל)
• 
  מגדל מתומן; חזית מוזיאון רוקפלר בשנות ה-30 של המאה ה-20
• 
  מסגד כיפת הסלע במראה אווירי חצי-צידי. בסיס המסגד הוא מתומן משוכלל

מתומן משוכלל

מתומן משוכלל הוא מתומן שכל צלעותיו שוות וכל זוויותיו הפנימיות שוות. מתומן משוכלל מיוצג בסימול שלאפלי {8}. הזווית הפנימית בכל קודקוד של מתומן משוכלל היא 135°.

השטח של מתומן משוכלל שאורך הצלע שלו הוא a נתון בנוסחה

$A=2\cot {\frac {\pi }{8}}a^{2}=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\simeq 4.828427a^{2}$

כאשר משתמשים ב-R (רדיוס המעגל החוסם) השטח הוא

$A=4\sin {\frac {\pi }{4}}R^{2}=2{\sqrt {2}}R^{2}\simeq 2.828427R^{2}$

כאשר משתמשים ב-r (רדיוס המעגל החסום) השטח הוא

$A=8\tan {\frac {\pi }{8}}r^{2}=8({\sqrt {2}}-1)r^{2}\simeq 3.3137085r^{2}$

שני המקדמים האחרונים מגדילים את ערכו של הקבוע המתמטי פאי.

שטח המתומן (בכחול) שווה לשטח הריבוע
פחות שטחי המשולשים (בירוק)

נוסחה נוספת למציאת השטח היא

$\ A=S^{2}-a^{2}$

כאשר $\ S$ הוא הגובה של המתומן, או האלכסון השני באורכו, ו-$\ a$ הוא האורך של אחת הצלעות. ניתן להוכיח זאת אם לוקחים מתומן, מציירים סביב הצד החיצוני שלו ריבוע, כאשר ארבע מתוך שמונה הצלעות של המתומן נוגעות בכל אחת מצלעות הריבוע, ואז לוקחים את המשולשים ישרי הזווית שנותרו בצדדים ומניחים אותם כאשר הזווית הישרה מצביעה פנימה, ויוצרים ריבוע. הצלעות של ריבוע זה הן באותו אורך של צלעות המתומן. לכן שטח המתומן שווה לשטח הריבוע הגדול (שחוסם את המתומן) פחות שטח הריבוע הקטן (שמורכב מהמשולשים), כלומר $\ A=S^{2}-a^{2}$.

בנייה

בנייה בסרגל ובמחוגה של מתומן משוכלל מודגמת להלן:

אטימולוגיה עברית

בניגוד למצולעים אחרים, המילה המתארת "מתומן" והמילה המתארת את מספר צלעותיו,"שמונה", אינן חולקות אותו שורש. המתומן אינו נקרא "משומן" כדי להבדילו מהמילה המתארת חפץ המרוח בשמן. האות ש' הוחלפה במילה "מתומן" לאות ת' וכך השורש שלו הוחלף לשורש של המילה המקבילה למילה "שמונה", בשפות שמיות אחרות, כמו ערבית וארמית.

ההחלטה על ההחלפה הזו היא החלטה מאוחרת יחסית ונתן למצוא מקורות ישנים, בהם היא עדיין לא מופיעה. בבניין מוזיאון רוקפלר, בירושלים, לדוגמה, המגדל וחלק מהחדרים הם מתומנים ובתבליט הקיר שבהם, הם מכונים "המשומן הדרומי", "המשומן הצפוני" וכיוצא בזה.

קישורים חיצוניים

• כיצד לחשב את שטח המתומן
• הגדרה ותכונות של מתומן (כולל אנימציות)
• מתומן, באתר MathWorld (באנגלית)