מספר טרנסצנדנטי

במתמטיקה, מספר טרנסצנדנטי הוא מספר שאינו אלגברי, כלומר, מספר שאינו מהווה פתרון של משוואה פולינומית (שונה מאפס) שמקדמיה הם מספרים רציונליים. מספרים טרנסצנדנטיים נודעים הם הקבועים המתמטייים π ו-e. כל מספר טרנסצנדנטי הוא מספר אי רציונלי, אך ההיפך אינו נכון: ${\sqrt {2}}$, למשל, הוא מספר אי רציונלי שאינו מספר טרנסצנדנטי, שכן הוא פתרון למשוואה הפולינומית x² − 2 = 0. למונח הוצע גם השם העברי מספר נעלה.

במבט ראשון נראים המספרים הטרנסצנדנטיים כחריגים, וברור שאין אנו מרבים לפגוש אותם בחיי היומיום, אך ניתן להוכיח שמרבית המספרים הם דווקא מספרים טרנסצנדנטיים. במינוח מתמטי: מבין כל המספרים הממשיים, שעוצמתם היא $\aleph$, עוצמת המספרים שאינם טרנסצנדנטיים היא $\aleph _{0}$ (קרי: אלף אפס), ולכן עוצמת המספרים הטרנסצנדנטיים היא $\aleph$. בניסוח אחר: המספרים הטרנסצנדנטיים אינם בני מנייה. תכונה זו הוכחה על ידי גאורג קנטור בשנת 1874.

ההוכחה שמספר נתון כלשהו הוא מספר טרנסצנדנטי איננה פשוטה. קיומם של מספרים טרנסצנדנטיים הוכח לראשונה בשנת 1844 על ידי המתמטיקאי הצרפתי ז'וזף ליוביל, שאף הביא דוגמאות, ובהן "מספר ליוביל", השווה ל-

$\sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}=0.110001000000000000000001000....$

במספר ליוביל הספרה ה-n מימין לנקודה העשרונית היא 1 כאשר n הוא עצרת, ו-0 אחרת (ראו קירובים רציונליים, להלן). המספר הראשון שהוכח שהוא מספר טרנסצנדנטי, מבלי שהמספר נבנה מלכתחילה למטרה זו, הוא הקבוע המתמטי e. את ההוכחה סיפק שארל הרמיט בשנת 1873.

בשנת 1882 הוכיח פרדיננד לינדמן ש-$\,\pi$ (פאי) הוא מספר טרנסצנדנטי. מהוכחה זו נובע שלא ניתן לבנות ריבוע השווה בשטחו לעיגול נתון, משום שבבנייה בסרגל ומחוגה בלבד לא ניתן לבנות יחס טרנסצנדנטי. הוכחה זו פתרה את בעיית ריבוע העיגול, שהיא אחת משלוש הבעיות של ימי קדם, שראשיתן ביוון העתיקה.

הילברט ובעיית המספר הטרנסצנדנטי

הבעיה השביעית ב-23 הבעיות של הילברט ביקשה תשובה לשאלה: האם $\ a^{b}$ טרנסצנדנטי, כאשר $\ a\neq 0,1$ אלגברי ו-$\ b$ אלגברי אי-רציונלי? הבעיה הוצגה על ידי הילברט בשנת 1900, ותשובה חיובית לה ניתנה בשנת 1934 על ידי אלכסנדר גלפונד, במשפט הידוע בשם משפט גלפונד. השאלה הכללית יותר, האם $\ a^{b}$ טרנסצנדנטי כאשר $\ a\neq 0,1$ אלגברי ו-$\ b$ אי-רציונלי, נותרה בלתי פתורה.

קירובים רציונליים

סדרה של שברים ${\frac {n_{i}}{m_{i}}}$ מהווה "סדרת קירובים רציונליים מסדר $\,t$" של המספר הממשי $\,a$, אם סדרת המכנים $\,m_{i}$ עולה, ו- $|a-{\frac {n_{i}}{m_{i}}}|<{\frac {x}{m_{i}^{t}}}$ כאשר $\,x>0$ קבוע.

את הטרנסצנדנטיות של מספר ליוביל אפשר להוכיח בעזרת משפט ליוביל: מספר אלגברי מדרגה d אינו ניתן לקירוב מסדר גבוה מ-d; מכיוון שכך, מספר שיש לו סדרת קירובים רציונליים מכל סדר, מוכרח להיות טרנסצנדנטי.

הכללה

על אברים אלגבריים וטרנסצנדנטיים בהקשר רחב יותר, ראו אלגברה.