ויקיפדיה:הכה את המומחה/שאלות במדעים מדויקים/ארכיון 19

"וקטור" האנרגיה הקינטית של גוף, שנע רק בציר המאוזן אך לא בציר האנכי. למה לא בעצם?

מקובל ללמד שאנרגיה קינטית היא סקלר ולא וקטור, אבל לא ברור לי למה. אחדד: כלפי המסה למשל - מוצדק להתייחס בתור סקלר - משום שמערכת הצירים אינה רלוונטית אל גודל המסה, אבל תנע למשל - זה סיפור אחר: ואכן אם גוף נע רק בציר המאוזן אך לא בציר האנכי, אז [מקובל לטעון כי] התנע של הגוף מתגלה בתור וקטור, משום שמהירות הגוף - שבה תלוי התנע - קיימת כגודל חיובי רק בציר אחד. אז למה לא נגיד אותו הדבר לגבי האנרגיה הקינטית של מערכת? הבה נגיד, שהאנרגיה הקינטית של המערכת מתגלית בתור וקטור, משום שריבוע מהירות המערכת - שבו תלויה האנרגיה הקינטית - קיים כגודל חיובי רק בציר אחד. לסיכום: מה גורם להבדל, שבין ההתייחסות המקובלת לתנע בתור וקטור, לבין ההתייחסות המקובלת לאנרגיה הקינטית בתור סקלר?

אמנם ניתן לסנגר - על ההתייחסות הסקלרית אל האנרגיה הקינטית - בטיעון, שכל התייחסות וקטורית יודעת להבחין - בין צד ימין לבין צד שמאל - של הציר המאוזן שבו נע הגוף, מה שריבוע המהירות - שבו תלויה האנרגיה הקינטית - אינו יודע לעשות. ועדין תמוהה בעיניי ההתעלמות המוחלטת - של ההתיחסות הסקלרית הזאת - מהעובדה שהגוף נע רק בציר המאוזן ולא בציר האנכי. אחדד: אם גוף אחד נע ימינה, והשני שמאלה, אז השוני הזה בין שניהם גורם לנו להתייחס לשניהם כבעלי תנע שונה - גם אם הם בעלי אותה מסה ובעלי אותו ערך מוחלט של מהירות. אז למה לא נגיד אותו דבר על אנרגיה קינטית? הבה נגיד, שאם גוף אחד נע רק בציר המאוזן, וגוף שני נע רק בציר האנכי, אז השוני הזה בין שניהם אמור לגרום לנו להתייחס לשניהם כבעלי אנרגיה קינטית שונה - גם אם הם בעלי אותה מסה ובעלי אותו ערך מוחלט של מהירות. 2A06:C701:7469:F000:21B3:2273:921C:D9AC 10:23, 15 ביוני 2023 (IDT)

1. חשוב על גוף בתנועה מעגלית. במערכת אינרציאלית פועל עליו רק הכח הצנטריפטלי שניצב לכיוון תנועתו ולכן לא מבצע עליו עבודה, ולכן לאורך התנועה היינו מצפים מהאנרגיה שלו להישמר.

2. באופן עקרוני, התנע הוא כח כפול זמן (באינטגרל); הכח הוא וקטור והזמן סקלר, ולכן התנע הוא וקטור. לעומתו, האנרגיה היא כח כפול מיקום; שניהם וקטרים וזו מכפלה סקלרית, ולכן האנרגיה היא סקלר.

3. מה יהיו רכיבי הוקטור המוצע של האנרגיה הקינטית? לשם פשטות נתעלם מהמסה והמקדם של חצי; כדי שההגדרה תהיה עקבית במקרה של גוף שנע לאורך ציר x למשל, צריך שרכיב x יהיה vx^2; וכן לשאר הצירים. אבל אז הגודל של הוקטור הזה לא יהיה v^2; הוא יהיה שורש סכום החזקות הרביעיות של רכיבי המהירות. ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 11:31, 15 ביוני 2023 (IDT)

1. אתה מציג את הניסוי המחשבתי הבא: נסתכל על כח שפועל בניצב לתנועת גוף נתון, שנאלץ אפוא לנוע בתנועה מעגלית, עד שהוא...מסיים רבע סיבוב נניח. בגלל - ניצבותו של הכח לתנועת הגוף - בכל רגע נתון, יוצא כי - באף רגע כזה - לא בוצעה עבודה על הגוף. מסקנה: בתום רבע סיבוב, הגוף שמר על האנרגיה הקינטית שלו. עד כאן מה שאתה טוען, ואני מסכים עם הטיעון הזה, ועם התוצאה שלו. אני רק טוען, שניתן להציג ניסוי מחשבתי אחר, שמוביל לתוצאה הפוכה: כח כלשהו, מתחיל לפעול בציר המאוזן בלבד, וכך מתחיל להזיז גוף נח, במהלך-פרק זמן כלשהו. מנגד, כח שני, בעל אותו ערך מוחלט כמו של הכח הראשון, מתחיל לפעול בציר האנכי בלבד, וכך מתחיל להזיז גוף נח שני, במהלך-אותו פרק זמן כמו הקודם. התוצאה בסופו של אותו פרק זמן עצמו היא אפוא, שני גופים בעלי אותו ערך מוחלט של מהירות, כשהשוני ביניהם הוא רק בציר של מהירותם: מאוזן או אנכי. אני טוען, שהפעם - כבר לא תהיה רלוונטית הסיבה הקודמת - כדי להחשיב אותם כבעלי אותה אנרגיה קינטית שהרי, שלא כמו בניסוי המחשבתי הראשון שאתה היצעת, בניסוי המחשבתי החדש כבר לא ניתן להעלות את טיעון ניצבותו של הכח לתנועת הגוף. אדרבא: הכח פעל הפעם דווקא במקביל לתנועת הגוף. אני גם טוען, שהפעם יש דווקא סיבה טובה להחשיב את שני הגופים כבעלי אנרגיה קינטית שונה: הסיבה היא, אותה סיבה שבגללה יש להחשיב אותם כבעלי תנע שונה. כלומר מה שתגיד כדי להצדיק את טענת השוני הקיים לגבי וקטור התנע שלהם, תגיד גם כדי להצדיק את טענת השוני הקיים לגבי "וקטור" האנרגיה הקינטית שלהם.

2. לא כל מכפלת וקטורים היא סקלר. כח לורנץ למשל, הוא וקטור שמוגדר כמכפלת שני וקטורים (אם כי בשונה מהגדרת האנרגיה הקינטית, אי התאפסות וקטור כח לורנץ מותנית בכך ששני הוקטורים המוכפלים לא יהיו מקבילים זה לזה). ספציפית לגבי הגדרת הכח [האנרגיה] שעליה היצבעת, כלומר לגבי הגדרתה בתור המכפלה - של הכח הפועל על המערכת - באורך שנגמע על ידיה ושמקביל אל כיוון הכח: ובכן חישוב קל מראה שזאת כמובן המכפלה, של מסת הגוף בעל המהירות שעליו פועל בכח, ושל רכיב ריבוע מהירות זו שקיים באותו ציר שבו פועל הכח. לאור כל זאת, משמעות שאלתי המקורית היא אפוא, למה לא להחשיב את ריבוע המהירות הזה, בתור וקטור שפועל בכיוון החיובי של הציר שבו פועל הכח. אמנם הוקטור הזה יהיה קיים בכיוון החיובי בלבד של הציר שבו פועל הכח (בגלל שהוקטור מחושב כאמור בתור ריבוע המהירות), אבל עדין הוא וקטור כי הוא נמצא רק בציר שבו פועל הכח, וזה לפי עצם הגדרת האנרגיה הקינטית.

3. כהצעתך, נתעלם מהמסה ומהמקדם של חצי. ובכן נכון, אם מתייחסים לאנרגיה הקינטית בתור וקטור, אז נוסחת חיבור רכיבי וקטור האנרגיה הקינטית, תהיה השורש הריבועי של ריבועי רכיבי ריבוע-המהירות. אפשר גם לקחת את זה לכיוון ההפוך: בהינתן "וקטור" של אנרגיה קינטית, שיוגדר אפוא (אחרי ההתעלמות מהמסה וממקדם החצי) בתור ריבוע המהירות, הרי שההטל של האנרגיה הקינטית על הציר המאוזן יהיה - מכפלת הוקטור בקוסינוס - של זוית הוקטור יחסית לציר המאוזן, ואותו דבר יהיה עם ההטל השני - רק שהפעם בהחלפת קוסינוס בסינוס. שים לב ששני דרכי החישוב, הישר וההפוך, מתיישבים זה עם זה.

2A06:C701:7469:F000:21B3:2273:921C:D9AC 14:23, 15 ביוני 2023 (IDT)

1. א. לגוף אין "זכרון" לגבי מה הביא איתו למצב שהוא נמצא בו. במכניקה ניוטונית המצב של גוף מאופיין על ידי המיקום והמהירות שלו, וכל הגדלים האחרים (תנע, אנרגיה, תנע זויתי וכו') נגזרים מהם (ומבחירת מערכת הייחוס). המסקנה היא ששני המצבים שתיארנו - גוף לפני ואחרי ביצוע רבע סיבוב במהירות v, ושני גופים שמואצים ממנוחה ע"י כוחות ניצבים עד למהירות v - בלתי ניתנים להבחנה. אם אתה מסכים שבמערכת הראשונה יש לגוף את אותה אנרגיה לפני ואחרי רבע הסיבוב, המסקנה היא שלשני הגופים במערכת השניה יש את אותה אנרגיה. אתה צודק לגמרי שבמערכת השניה הכוחות פעלו במקביל לתנועת הגופים; זו בדיוק הסיבה שהאנרגיה שלהם לא נשארה אפס.

1. ב. אין שום מקום להקיש כאן בין תנע ואנרגיה. כח שפועל בניצב לכיוון התנועה של גוף כן משנה את התנע שלו ולא משנה את האנרגיה שלו, לא ניתן ללמוד מזה על זה. כלומר אי אפשר להשתמש בגוף שבתנועה מעגלית כדי לטעון שגם התנע שלהם שווה. אגב, אתה בהחלט יכול להגדיר וקטור שגודלו כגודל האנרגיה וכיוונו ככיוון המהירות של הגופים, ואז הוא באמת יהיה שונה בין שניהם; אבל אז הוא ישתנה גם בתנועה המעגלית, והסכמנו ששם האנרגיה נשמרת, ולכן לא ראוי לכנות אותו אנרגיה. יש עוד בעיות עם הגדרת הגודל הזה, ראה 3 להלן.

2. כח לורנץ הוא מכפלה וקטורית, ואתה צודק שמכפלה וקטורית של שני וקטורים היא אכן וקטור. שים לב שדיברתי לעיל על מכפלה סקלרית, שהיא זו שמופיעה בהגדרה של העבודה, עיין למשל כאן.

3. כתוב לעצמך בפירוט את התוצאה שתתקבל מהחישוב, ותיווכח שהגדלים לא עקביים. לצורך העניין נניח מהירות של 2 בכיוון 45 מעלות לצירים. האנרגיה תהיה 4 (לשם הנוחות נמשיך להשמיט את המסה והחצי, או לחלופין נניח שהמסה שווה 2, כך שהאנרגיה שווה למהירות בריבוע). היטל המהירות על כל אחד מהצירים יהיה שורש שתיים, והיטל האנרגיה על כל אחד מהצירים יהיה פעמיים שורש שתיים. אבל עכשיו האנרגיה בציר איקס לא שווה לריבוע המהירות בציר איקס.

איך שלא תסובב את זה, ההגדרה הזו לא עקבית ויווצרו בה סתירות.

זה כמובן לא צריך למנוע ממך להגדיר וקטור כזה אם אתה מוצא שהוא שימושי עבורך למטרה כלשהי. פשוט חשוב להיות מודעים לתכונות שלו. מהסיבה הזו לא הייתי קורא לו "אנרגיה". ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 16:04, 15 ביוני 2023 (IDT)

אני רואה עכשיו שבזמן שכתבתי את התשובה, הוספת פיסקה לסעיף 2. לא התייחסתי אליה כי לא ראיתי אותה בזמן כתיבת התשובה שלי. ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 16:13, 15 ביוני 2023 (IDT)

קראתי עכשיו את התוספת שלך לסעיף 2; התשובה שלי עונה גם עליה. מה שכתבת בסוגריים הוא בדיוק תוצאה של העובדה שכח לורנץ הוא מכפלה וקטורית. במשפט הבא אחרי הסוגריים התייחסת להגדרת האנרגיה (התכוונת לכתוב אנרגיה אני חושב, ולא כח, בהופעה הראשונה של "כח" אחרי הסוגריים). "ריבוע המהירות" הוא לא גודל וקטורי אלא סקלרי. הוא לא קיים בציר מסוים מהסיבה הזו. האמת שהטעות הזו הופיעה כבר בהודעה המקורית שלך, כשרצית להצדיק את ההיקש מתנע לאנרגיה, ולא התייחסתי אליה אז - סליחה אם זה הוביל לבלבול בהמשך. ריבוע המהירות היא המכפלה הסקלרית של וקטור המהירות בעצמו. אתה לא יכול לבנות אותה כוקטור (אם למשל תנסה לבצע מכפלה וקטורית של המהירות בעצמה תקבל אפס); אם תנסה להגדיר וקטור של ריבוע המהירות שכיוונו ככיוון המהירות, תסבול בדיוק מאותן בעיות שהצגתי לעיל לגבי וקטור האנרגיה (כל ההבדל ביניהם הוא פקטור של חצי המסה). זה יצור לא עקבי ולא כך נכון להתייחס לריבוע המהירות. ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 16:30, 15 ביוני 2023 (IDT)

1. א. דומני שלא ירדת לסוף דעתי: כשציינתי שאני מסכים עם טענתך לגבי הניסוי הראשון שהיצגת אתה - לגבי התנועה המעגלית, התכוונתי לטעון, שיש כאן לכאורה פרדוקס, כי מצד אחד מוסכם על שנינו שבניסוי שהיצגת, האנרגיה הקינטית של גוף שנע בציר המאוזן, היא אותה אנרגיה קינטית של הגוף שנע בציר האנכי. מצד שני, בניסוי שהיצגתי אני - לגבי שתי התנועות הקוויות הניצבות זו לזו, זאת לא אותה אנרגיה קינטית (בגלל שמצד אחד בניסוי השני כבר לא רלוונטית הסיבה שבגללה הוסקה מסקנת הניסוי הראשון ומצד שני קיים ההיקש בין תנע לאנרגיה שעליו אתה אמנם חולק אך עוד אשוב לכך בפיסקה הבאה). מצד שלישי, כמו שאתה כותב בתחילת דבריך: "לגוף אין זכרון לגבי מה הביא אותו למצב שהוא נמצא בו", ולכן הגוף לא יכול לדעת האם מה שהביא אותו למצבו הוא הניסוי הראשון או הניסוי השני. כשמחברים את שלוש העובדות האלה, מתקבל פרדוקס.

1. ב. גם כאן לא ירדת לסוף דעתי. כשהיקשתי בין תנע לאנרגיה, לא התכוונתי להתייחס לניסוי הראשון, משום שלגביו באמת אין סיבה להקיש, שהרי כח שפועל בניצב אל כיוון התנועה אינו עושה עבודה ולכן תרומתו לאנרגיה של הגוף היא אפס. אבל מה קורה בניסוי השני? הרי בו, כל מה שתגיד כדי להצדיק את טענת השוני הקיים לגבי וקטור התנע של שני הגופים, אגיד אני כדי להצדיק גם את טענת השוני הקיים לגבי "וקטור" האנרגיה הקינטית שלהם, משום שהפעם בניסוי השני לא תוכל לטעון את טענת ניצבותו של הכח ביחס לכיוון תנועת הגוף.

2. כזכור, בשאלתי המקורית היקדמתי "מקובל ללמד שאנרגיה קינטית היא סקלר ולא וקטור, אבל לא ברור לי למה". כעת אתה טוען, שאנרגיה היא בהגדרה - מכפלה סקלרית, ולכן היא סקלר, וגם מפנה אותי לקישור. זה בערך כמו שתענה לי: "כי ככה מקובל להגדיר". ועדין נשארה שאלתי המקורית: למה כך מקובל [להגדיר]? האם מסיבות אמפיריות? לוגיות? מתודולוגיות? דידקטיות? לא ברור לי. בתגובתך האחרונה אתה טוען עוד: "ריבוע המהירות הוא לא גודל וקטורי אלא סקלרי...ריבוע המהירות היא המכפלה הסקלרית של וקטור המהירות בעצמו. אתה לא יכול לבנות אותה כוקטור (אם למשל תנסה לבצע מכפלה וקטורית של המהירות בעצמה תקבל אפס)". ובכן אני רק שאלתי, למה לא להתייחס אל ריבוע המהירות בתור וקטור, בלי קשר לשום מכפלה וקטורית ולשום מכפלה סקלרית (לפרטים ראה בסעיף 3). אחר כך אתה מפרט יותר: "אם תנסה להגדיר וקטור של ריבוע המהירות שכיוונו ככיוון המהירות, תסבול בדיוק מאותן בעיות שהצגתי לעיל לגבי וקטור האנרגיה". לא ברור לי אלו בעיות יתעוררו, אחרי שלהבנתי היתרתי את כל הבעיות הקודמות שהיצגת.

3. להבנתי, בסעיף זה אתה מניח את המבוקש, כלומר מניח שהמהירות היא וקטור בעל רכיבים בשני הצירים, מה שאכן מונע את האפשרות החשבונית להניח שגם ריבוע המהירות הוא וקטור בעל רכיבים בשני הצירים. אבן כמובן מי שטוען שריבוע המהירות הוא וקטור בעל רכיבים בשני הצירים, גם יטען שאין אפשרות חשבונית להניח שגם המהירות היא וקטור בעל רכיבים בשני הצירים. כמובן גם התנע לא יוכל אז להיות וקטור בעל רכיבים בשני הצירים.

על כל פנים, מהשיחה איתך אני יותר ויותר מתרשם, שהסיבה להגדרת האנרגיה הקינטית בתור סקלר, היא לא מהותית/אמפירית, אלא יותר מתודולוגית. כלומר, כדי להקל על החישובים, יותר נוח להתייחס לאנרגיה בתור סקלר, למרות שתיאורטית היה ניתן להתייחס לאנרגיה בתור וקטור, מה שהיה מצריך לבצע רפורמה כללית בכל דרך הטיפול המקובלת במצבים הפיזיקליים השונים.

2A06:C701:7469:F000:21B3:2273:921C:D9AC 18:15, 15 ביוני 2023 (IDT)

מה יהיה סכום האנרגיה של מערכת שבה שני חלקיקים עם אותה מסה הנעים בכיוונים מנוגדים? 0? אסף השני - שיחה 17:00, 15 ביוני 2023 (IDT)

כן, ממש כמו שטוענים לגבי התנע. [תוספת מאוחרת: כשם שהוא נשמר, כך האנרגיה נשמרת, ממש באותה מידה. לפרטים נוספים, שגם מתייחסים בהרחבה לשאלתך, ראה בסעיף ב' שבתגובתי האחרונה ל: E.L. Yekutiel]. 2A06:C701:7469:F000:21B3:2273:921C:D9AC 18:15, 15 ביוני 2023 (IDT)

ואם שני חלקיקים כאלו שנעים אחד לקראת השני יתנגשו ויידבקו ויווצר חום: זה לא מקיים את חוק שימור האנרגיה. כך גם לגבי שני אלקטרונים הנדחים זה מזה על חשבון האנרגיה החשמלית, ושני כוכבים השועטים זה מזה על חשבון אנרגיית הגרוויטציה. אסף השני - שיחה 18:34, 15 ביוני 2023 (IDT)

אז בשביל מה צריך את זה? יש כבר תנע!

התנע והאנרגיה הם שני גדלים פיזיקליים שהמצאנו כי אפשר להוכיח שבכל מיני נסיבות הם נשמרים.

והם מתארים תכונות שונות. בשביל כל מה שקשור לתכונות הווקטוריות שיכולות להשמר, יש את התנע.

בשביל התכונות הסקלריות, שנשמרות גם בלי קשר לכיוון, יש את האנרגיה.

קח למשל גוף שנמצא במנוחה ומתפוצץ. שימור התנע יאמר לנו שחלקים צריכים להתפזר לכל הכיוונים. (בפרט, אם יש רק שניים, אז לכיוונים מנוגדים). אבל מה יהיה גודל המהירות של כל אחד מהם? בשביל זה נצטרף גם את האנרגיה.

עוד דוגמה שתמחיש. גוף מחליק בלי חיכוך במדרון מגובה h. לא משנה מה יהיה המסלול, ובאיזו זווית הוא יגיע לתחתית, תהיה אותה מהירות. זה כי לאנרגיה "לא אכפת" הכיוון. גודל שכן היה "אכפת" לו הכיוון, לא היה "מספר" לנו את זה. eman • שיחה • ♥ 19:11, 15 ביוני 2023 (IDT)

eman • שיחה • ♥ 19:11, 15 ביוני 2023 (IDT)

כמו שכתבת - לא מספיק תנע - אלא צריך גם אנרגיה קינטית, משום שלפי ההצעה - שהאנרגיה הקינטית תהיה וקטור - מוכח שהתנע כבר לא יוכל להיות וקטור ויצטרך אפוא להיות סקלר. לפרטים נוספים, ראה בסעיף ב' שבתגובתי האחרונה ל: E.L. Yekutiel. בכל מקרה, תודה על תגובתך. 2A06:C701:7469:F000:21B3:2273:921C:D9AC 15:41, 16 ביוני 2023 (IDT)

1א. הצגת שלוש טענות, ואתה אומר בצדק שמנכונות שלושתן מתקבלת סתירה. הסתירה נפתרת עם ההבנה שהטענה השנייה (שבניסוי השני האנרגיה שונה) שגויה. כל זה נאמר כבר לעיל, כתבתי שמנכונות שתי הטענות האחרות (איתן הסכמת) נסתרת הטענה השנייה. אתה טוען שהיא כן נכונה, ואת זה נשאר לברר. ראה 1ב.

1ב. אני לגמרי לא חולק על כך שהוקטור שהגדרת יהיה שונה בין הגופים. אני חוזר על מה שכתבתי לעיל, הוא יהיה שונה גם במערכת הראשונה, בה הסכמת שהאנרגיה לא משתנה. האם אתה מתעקש להמשיך ולזהות אותו עם האנרגיה?

2. שאלת פה כמה שאלות. לגבי מדוע האנרגיה מוגדרת כך, התשובה היא שזה הגודל שמקיים את חוק שימור האנרגיה. הוקטור לא מקיים אותו, כמו שרואים בדוגמה המעולה של @אסף השני.

לגבי המכפלה הוקטורית בתור ריבוע המהירות, כתבתי "למשל", לא אמרתי שזה מה שהצעת.

לגבי ההמשך, בעיות העקביות שהצגתי עומדות בעינן, לא התרת אף אחת מהן. אתה אפילו מזכיר אותן שוב ב3. אפשר לסכם אותן כך: לא ניתן להגדיר וקטור שגודלו יהיה ריבוע המהירות ורכיביו יהיו ריבועי רכיבי המהירות, ושיישאר כזה בכל בחירה של מערכת הצירים.

3. מה המבוקש שאני מניח? אתה מוזמן להניח שהמהירות היא לא וקטור, ולקוות שתגיע מזה למודל שיתאר משהו במציאות. המהירות מוגדרת כנגזרת הזמנית של המיקום, ובהמשך לקו הלוגי שהצגת, תטען שגם המיקום הוא לא וקטור (אחרת המהירות היתה צריכה להיות וקטור). בסופו של דבר כמו שכתבתי למעלה אתה יכול להגדיר ולהניח מה שאתה רוצה, השאלה היא האם תגיע מכך למשהו מעניין. ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 19:22, 15 ביוני 2023 (IDT)

סליחה @Eman, לא שמתי לב לתשובה שלך, תודה! התשובה שלי לא התייחסה אליה כמובן. ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 19:23, 15 ביוני 2023 (IDT)

הבה נפריד, בין טענתך המעין-לוגית (שבה אפתח מייד בשורה הבאה), לבין טענתך האמפירית (לגבי האנרגיה הקינטית בתור גודל שמתגלה אמפירית כמקיים את חוק שימור האנרגיה).

א. לגבי טענתך המעין לוגית, סיכמת אותה כך: "לא ניתן להגדיר וקטור שגודלו יהיה ריבוע המהירות ורכיביו יהיו ריבועי רכיבי המהירות, ושיישאר כזה בכל בחירה של מערכת הצירים...בהמשך לקו הלוגי שהצגת, תטען שגם המיקום הוא לא וקטור". ובכן מעולם לא היצעתי עמדה שמתנגשת עם טענתך הנוכחית שלא ניתן להגדיר וקטור, אשר גודלו יהיה ריבוע המהירות ורכיביו יהיו ריבועי רכיבי המהירות, ואשר יישאר כזה בכל בחירה של מערכת הצירים. אבל אני כן טוען, כפי שגם טענתי כבר בסעיף 3 של תגובתי הלפני-קודמת, כי כן ניתן להגדיר וקטור - אשר גודלו יהיה ריבוע המהירות ורכיביו יהיו רכיבי ריבוע המהירות - ואשר יישאר כזה בכל בחירה של מערכת הצירים. מה שבעצם התכוונתי בכך לטעון הוא, שברגע שקיים וקטור ריבוע המהירות, כבר אין צורך בוקטור המהירות: האנרגיה הקינטית תהיה וקטור, בעוד שהמהירות והתנע יהיו סקלרים. מה הבעיה עם זה? אני כעת מדבר רק בהיבט הלוגי (והמעין-לוגי) - ובמיוחד בהיבט של העקביות, משום שבהיבט האמפירי אדון בסעיף הבא. כנ"ל לגבי טענתך הנוכחית על המיקום: ברגע שמחליטים - שהוקטור הוא ריבוע המהירות - מה שכאמור אפשרי חשבונית, אז ברור כי - למרות שאז נקבל שהמיקום אינו וקטור - עדין נוכל לקבל שריבוע המיקום יהיה וקטור. לכן, אינני מוצא פגם לוגי (או מעין לוגי) בהצעתי כפי שהוצגה בשאלתי המקורית. עוד אתה כותב: "בעיות העקביות שהצגתי [E.L Yekutiel] עומדות בעינן, לא התרת אף אחת מהן. אתה אפילו מזכיר אותן שוב ב3". לא זכור לי שהיזכרתי בסעיף 3 בעייה כלשהי: איזו בעייה, שהוצגה כאן (מצידי או מצידך), לא היתרתי? כמובן חוץ מעצם בעיית הפרדוקס שאותו היזכרתי, אבל לא ניתן לטעון כלפיי שלא פתרתי אותו, אחרי שאני בעצמי היצגתי אותו לראשונה וגם שאלתי איך פותרים אותו. זה היה שורש השאלה שלי למעשה (למרות שלא כך היא הוצגה בנוסח המקורי שלה).

ב. לגבי טענתך האמפירית, שרק אנרגיה קינטית שתוגדר בתור סקלר תוכל לציית אל חוק שימור האנרגיה. כעת אני שם לב, שיתכן שלטענה הזו כיוונת גם בתחילת תגובתך הלפני אחרונה: "לגוף אין זכרון לגבי מה הביא אותו למצב שהוא נמצא בו". כנראה לזה כיוונת גם כשציינת בעבר, שההגדרה של הוקטור שאותו תיארתי לא תוכל לתאר "אנרגיה". לגופו של עניין, אחדד יותר את שאלתי המקורית: מה שאני מציע בה הוא, הן ציות אל חוק שימור התנע (כדלהלן) והן ציות אל חוק שימור האנרגיה (כדלהלן). התנע יוגדר - בתור סקלר - ע"י סקלר המהירות (וכמובן גם ע"י סקלר המסה), כלומר ללא הבחנה צירית בין תנע ביחס אל ציר האורך - לבין תנע ביחס אל ציר הרוחב - לבין תנע ביחס אל ציר הגובה. אבל עדין סקלר התנע - ממש כמו סקלר המהירות, יוכל להיות מספר ממשי - לאו דווקא חיובי, כך שלמשל במערכת - שעליה לא פועל כח חיצוני - ושמורכבת משני כדורים אלסטיים בעלי מסה זהה שכל אחד מהם נע לקראת השני במהירויות שזהות זו לזו בערכן המוחלט, שני הכדורים יצטרכו ברגע התנגשותם לשנות כיוון ולהתרחק זה מזה במהירויות ששוב תהיינה זהות זו לזו בערכן המוחלט (תכף נברר האם הן גם תהיינה זהות לראשונות בערכן המוחלט), וזאת כדי שישמר חוק שימור סקלר תנע המערכת - שהיה אפס ונשאר אפס. מאידך: האנרגיה הקינטית, תוגדר כאמור - בתור וקטור - ע"י וקטור ריבוע המהירות (וכמובן גם ע"י סקלר המסה), כלומר עם הבחנה צירית בין אנרגיה קינטית ביחס אל ציר האורך - לבין אנרגיה קינטית ביחס אל ציר הרוחב - לבין אנרגיה קינטית ביחס אל ציר הגובה. אבל עדין וקטור האנרגיה הקינטית - ממש כמו וקטור ריבוע המהירות, יוכל להיות רק מכפלה של מספר חיובי בוקטור היחידה (הוקטור שקובע את הציר שבו נמצאת האנרגיה הקינטית הזו), כך שלמשל במערכת הנ"ל - שעליה כאמור לא פועל כח חיצוני - ושמורכבת כאמור משני כדורים אלסטיים בעלי מסה זהה שכל אחד מהם נע לקראת השני במהירויות שזהות זו לזו בערכן המוחלט, שני הכדורים יצטרכו ברגע התנגשותם לשמור על אותו סכום - של וקטורי-ריבועי המהירויות - שהיה לשני הכדורים לפני ההתנגשות, וזאת כדי שישמר חוק שימור וקטור האנרגיה הקינטית של המערכת - שהיה בלתי מאופס ונשאר בלתי מאופס. בשורה התחתונה: בגלל חוק שימור סקלר התנע עם חוק שימור וקטור האנרגיה הקינטית (שתקפים בזכות היעדר כח חיצוני), התהליך יסתיים בתוצאה האמפירית הידועה.

2A06:C701:7469:F000:21B3:2273:921C:D9AC 15:41, 16 ביוני 2023 (IDT)

אנרגיה, בשונה מתנע, מתגלגלת לצורות שאינן מכניות (חום, פוטנציאל חשמלי וכו'). בהתנגשות גופים נוצרת אנרגיית חום, בדחיית מטענים חשמליים אובדת אנרגיה חשמלית. ההבדל בין אנרגיה ותנע הוא שהתנע היה ונשאר אפס, אבל בהצעה שלך, ה"אנרגיה" לא נשמרת. קרא היטב מה כתב @אסף השני. חבל שאתה מנסה לסתור כל דבר שנכתב לך במקום לנסות ללמוד.

לגבי וקטור ריבוע המהירות, אני לא בטוח שאתה מבין. מה יהיה כיוונו? ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 16:24, 16 ביוני 2023 (IDT)

הבהרה (למקרה שזה לא היה ברור): נוצרת אנרגיית חום - הכוונה על חשבון אנרגיה קינטית; אובדת אנרגיה חשמלית - לטובת אנרגיה קינטית. האנרגיה הכוללת נשמרת בכל מצב. אבל אצלך האנרגיה הקינטית היא תמיד אפס במצבים האלה, ואין לך הסבר מה קורה לאנרגיית החום ולאנרגיה החשמלית. ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 16:27, 16 ביוני 2023 (IDT)

אם אני מרגיש שאני לא מצליח להבין תיאוריה עד הסוף, אז האופן היחיד שנשאר לי כדי להתמודד איתה, הוא לנסות ולהציג מודל שיפריך אותה. אני לא מכיר אופן מוצלח יותר לנסות להבין תיאוריה עד הסוף, כשאני מרגיש שעדין לא הצלחתי להבינה. כבר קרל פופר רמז לכך (אם כי לא בהקשר של ניסיון להבין תיאוריה אלא בהקשר של ניסיון לאמתה). לכן, לא היצלחתי לעמוד על פשר המשפט האחרון שבפיסקה הראשונה שלך.

לגבי שאלתך, מה יהיה כיוון וקטור ריבוע המהירות: כבר ציינתי זאת במפורש, בפיסקה ב' של תגובתי הקודמת, ואפילו הידגשתי שם את המילה הקריטית שהיתה מיועדת מלכתחילה לענות על כל שאלה כמו שלך, כדי שאף אחד לא יוכל להעלות על דעתו שאלה כזו. המילה הקריטית שם, היא המילה המודגשת האחרונה שבפיסקה ב' שם.

לא הבנתי למה להבנתך "אצלך האנרגיה הקינטית היא תמיד אפס במצבים כאלה". דווקא בפיסקה ב' הנ"ל טרחתי לפרט היטב מה קורה במצבים כאלה, ובדומיהם, על מנת שאף אחד (גם לא אסף השני שבטענתו כבר היספקתי עד אז לעיין היטב) - לא יוכל לטעון - שבהם האנרגיה הקינטית היא כביכול אפס אצלי. ספציפית התייחסתי שם למצב אלסטי שבו לא נוצרת אנרגיית חום, אבל אין הבדל עקרוני בין שני המצבים, כי בשניהם האנרגיה הקינטית אינה אפס אצלי.

2A06:C701:7469:F000:21B3:2273:921C:D9AC 17:42, 16 ביוני 2023 (IDT)

שואל יקר. הסיבה העיקרית לא להגדיר את האנרגיה כווקטור היא שכבר הגדירו את גודל האנרגיה כסקלר. בעזרת הגדרה הגיעו פיסיקאים לתובנות מעניינות. דבר לא מונע ממך להגדיר גודל נוסף - קרא לו בכל שם אחר פרט לאנרגיה, כי השם כבר תפוס - ומצא תובנות חדשות ומעניינות בעזרתו. אפשר גם להגדיר גודל השווה למכפלת האנרגיה בחודש הלועזי הנוכחי. השאלה האמיתית אם ניתן להפיק מזה תובנות פיסיקליות חדשות ומעניינות. נראה שהגדרת האנרגיה כסקלר הצליחה. אתה מוזמן להגדיר את וקטור האנרגיה ולהגיע איתו לתובנות חדשות. עד אז, לכל שאלה "למה לא מגדירים ככה וככה" צריכה להיענות בתשובה "כי זה לא מוביל לשום מקום מעניין". אסף השני - שיחה 17:54, 16 ביוני 2023 (IDT)

אסף השני היקר: להגדיר גודל חדש בתור מכפלת האנרגיה בחודש הלועזי הנוכחי, באמת לא מוביל לשום מקום. אבל בפיסקה ב' של תגובתי הלפני-אחרונה ל: E L Yekutie, הראיתי איך ההגדרה שלי עבור וקטור האנרגיה הקינטית כן תוכל להוביל למשהו. אפילו פירטתי שם תרחיש ספציפי בשביל זה. 2A06:C701:7469:F000:21B3:2273:921C:D9AC 18:05, 16 ביוני 2023 (IDT)

פנטסטי! אז תגדיר את הגודל החדש (כאמור, אל תקרא לו אנרגיה כי זה משהו אחר), ותוכל לחדש משהו מעניין בעולם הפיסיקה. אסף השני - שיחה 18:21, 16 ביוני 2023 (IDT)

לא בטוח שאני לא רשאי להשתמש בשם "אנרגיה קינטית" עבור המושג שאותו אני מגדיר, כי אולי יתברר שההגדרה שלי וההגדרה המקובלת הן הגדרות שקולות - מבחינת יכולת הסבר התופעות (כל תופעה שמוסברת לפי ההגדרה הראשונה גם מוסברת לפי האחרת ולהפך), ואז השאלה תהיה למה להגדיר את האנרגיה הקינטית דווקא כפי שמקובל ולא כפי שאני מגדיר, אם בסופו של דבר מדובר באותו דבר, ואם בסופו של דבר מתברר - שההגדרה שלי טובה יותר - מבחינה דידקטית או מבחינה מתודולוגית. למעשה זה בדיוק מה שאני מנסה לברר מלכתחילה: האם מדובר באותו דבר. 2A06:C701:7469:F000:21B3:2273:921C:D9AC 18:34, 16 ביוני 2023 (IDT)

בתשובה שלך לשאלה הראשונה של אסף, ענית שה"אנרגיה" הכוללת היא אפס (סכום וקטורים שגודלם שווה וכיווניהם מנוגדים. אלא אם החלטת גם להגדיר מחדש סכום וקטורים). אפס אנרגיה במצב ההתחלתי (שני גופים שנעים זה לעבר זה) הופך לאנרגיה שאינה אפס במצב הסופי (אנרגיית חום). זו הפעם השלישית (לפחות, אולי פספסתי אחת) שאנחנו מביאים לך את אותה דוגמה שמראה שה"אנרגיה" שלך לא נשמרת, אבל אתה ממשיך להתעלם מכך. לזה התכוונתי בלנסות ללמוד מהתשובות. כמובן שאין כל פסול בשימוש בדוגמאות נגדיות, אבל כשהן נסתרות, צריך לדעת לקבל את זה.

מעבר לכך שה"אנרגיה" לא מקיימת את חוק שימור האנרגיה, אני מנסה לעזור לך להבין בעיה עקרונית בהגדרה שלך. לא ענית על שאלתי אלא הפנית אותי לסעיף ב. חיפשתי ולא מצאתי בו תשובה. מה הכיוון של וקטור ריבוע המהירות שאתה מייחס לגוף בתנועה? האם זה כיוון התנועה של הגוף? האם זה משהו אחר? ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 18:43, 16 ביוני 2023 (IDT)

המנהג שלך לשנות תשובות בדיעבד מקשה מאוד על שמירה על קוהרנטיות הדיון. אתה מוסיף עכשיו שהתייחסת למצב בו לא נוצרת אנרגיית חום. אני שואל על מצב בו נוצרת אנרגיית חום. קודם כתבת שהאנרגיה שלך היא אפס. עכשיו אתה כותב שהאנרגיה איננה אפס. אני לא מצליח להבין איך סכום הוקטורים של האנרגיה לא מתאפס במצב של שני גופים זהים שנעים זה לעבר זה באותה מהירות. ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 18:50, 16 ביוני 2023 (IDT)

הערה מקדימה ראשונה: שמתי לב שכאשר אתה מנסה להבהיר דברים קודמים שלך שכבר פורסמו אך טרם קיבלו תגובה, אתה מבהיר אותם בתגובה נפרדת, כמו שלמשל עשית כעת (ובעוד הרבה מקרים אחרים). אבל בשונה ממך, כשאני מבהיר דברים קודמים של עצמי שטרם קיבלו תגובה, אני עושה זאת על ידי עריכתם מחדש, מתוך תקוה שמי שיגיב להם טרם קרא את גירסתם הישנה והבלתי מובהרת דיה. הציפייה שלי היא אפוא, שכל מי שיקרא לראשונה את דבריי יעשה זאת אחרי שיתקל בהם רק לפי גירסתם החדשה בלבד. כמובן לעיתים יכולים לקרות מקרים מצערים, שבהם אתה מתחיל להגיב לגירסה ישנה של דברי שלא היתה מובהרת דיה, ותוך כדי שאתה מנסה להגיב להם, ומבלי שאדע על ניסיונך להגיב להם, אני מגלה שהם טעונים הבהרה, ואז אני עורך אותם מחדש כדי שיהיו בהירים יותר, פשוט כי אינני מודע לכך שאתה מנסה להגיב להם לפי גירסתם הישנה. אמנם מקרים מצערים כאלה יכולים לקרות, אבל לעניין זה יש לזכור את הכלל המוסכם בויקיפדיה, שזכותו של עורך לערוך את דברי עצמו מתוך תקוה שעדין אף אחד לא מנסה להגיב להם לפי גירסתם הישנה והבלתי מובהרת דיה.

הערה מקדימה שניה: כדי שלא אתבלבל בין הדיון שלי איתך לבין הדיון שלי עם אסף, אני מציע שנתמקד במה שכתבתי לך, לא במה שכתבתי לאסף.

לגופו של עניין: לא זכור לי שכתבתי שהאנרגיה היא אפס. מי שכתב "0" היה אסף. למען הסר ספק, בכל הדוגמאות שאליהן התייחסתי, האנרגיה אצלי לא היתה מאופסת. יותר מזה: מיום עומדי על דעתי בלימודי פיזיקה, תמיד חשבתי שמערכת שמכילה גופים נעים היא בעלת אנרגיה קינטית בלתי מאופסת. אני מציע אפוא, לא לייחס לי עמדה הפוכה, כי זה יבלבל אותי. באמת אני מתחיל להתבלבל כשאני מגלה שהצד שדן איתי מייחס לי עמדה, שמעולם לא עלתה על דעתי - מיום עומדי על דעתי.

אתה שוב שואל, אבל הפעם גם מפרט: "מה הכיוון של וקטור ריבוע המהירות שאתה מייחס לגוף בתנועה? האם זה כיוון התנועה של הגוף? האם זה משהו אחר?". ובכן: הואיל וקראת את פיסקה ב' שבתגובתי לך שקדמה לתגובתי האחרונה לך, אז בטח קראת שם גם את המילה המודגשת האחרונה. אז אנא קרא שוב את כל המשפט שבו היא מופיעה. אשמח אם גם תצטט אותו עבורי, כדי להפתיע אותי - איך מתוך משפט כזה ברור שלי - לא מובנת התשובה לשאלתך: הרי במשפט ההוא שלי, הכול מופיע ממש שחור על גבי לבן, לטעמי לפחות. אבל כיוון שהפעם פירטת יותר את שאלתך, אז גם אני אפרט יותר את תשובתי: ובכן, אם הגוף נע רק בציר נתון (מתוך שלושת הצירים), אז בציר ההוא נמצא גם וקטור האנרגיה הקינטית של הגוף. לוקטור הזה יש גודל חיובי (כי הוא ריבוע של סקלר ממשי), ולכן: הוקטור הזה יהיה בכיוון של תנועת הגוף - ובלבד שגם הגוף נע בכיוון החיובי של הציר הנ"ל, אחרת - כיוון וקטור האנרגיה הקינטית של הגוף - יהיה מנוגד אל כיוון תנועת הגוף. דומני שבכך קיבלת תשובה מלאה לשאלתך (הראשונה).

אתה חוזר על שאלתך השניה, על מצב שבו נוצרת אנרגיית חום, אז אחזור גם אני על תשובתי לשאלה זו: בפיסקה ב' הנ"ל, תיארתי מצב שבו האנרגיה אינה מאופסת. ההתייחסות שם היא אמנם למצב של התנגשות בין כדורים אלסטיים, אבל אם תחליף "אלסטיים" ב"פלסטיים", תקבל את אותו המצב בדיוק - של אנרגיה קינטית תחילית בלתי מאופסת - אך הפעם היא הופכת לאנרגיית חום. לכן, אני שוב לא מצליח לרדת אל פשר שלושת המשפטים האחרונים שבפיסקה הראשונה שלך (מתוך שלוש). על אירוע דומה שקרה לי, סיפרתי במשפט האחרון שבפיסקה הראשונה שבתגובתי האחרונה לך.

2A06:C701:7469:F000:21B3:2273:921C:D9AC 19:18, 16 ביוני 2023 (IDT)

אסף השני (בתגובתו הראשונה): "מה יהיה סכום האנרגיה של מערכת שבה שני חלקיקים עם אותה מסה הנעים בכיוונים מנוגדים? 0?"

אתה (בתשובתך לשאלתו): "כן, ממש כמו שטוענים לגבי התנע."

כפי שהיטבת לומר, "שחור על גבי לבן".

אבל אין דבר, אתעלם מההאשמות האחרונות כמו שהתעלמתי מאמירות לא ענייניות אחרות שלך.

תודה רבה על שהואלת לפרט יותר ולכתוב את הגרסה הנוכחית של המודל שלך בצורה שאינה משתמעת לשתי פנים. קיוויתי שהבנתי משהו לא נכון, ורציתי להיות בטוח שאכן לזה התכוונת.

אז עכשיו אתה אומר שהאנרגיה מכוונת בכיוון החיובי של הציר בו נע הגוף. כלומר כיוון הוקטור תלוי בבחירת מערכת הצירים. אם נהפוך את הציר, כיוון וקטור האנרגיה יתהפך לכיוון החיובי החדש. הזוי, אבל נזרום עם זה, זה לא מפריע לבעיה שרציתי להגיע אליה, אם כי זה יכול להוביל אותך לבעיות נוספות כשתרצה לפתח את התיאוריה שלך ולחפש תוצאות שימושיות ממנה.

במאמר מוסגר, כדאי שתשים לב לכך שאתה מתרחק פה מהתנהגות של וקטור ומתקרב להתנהגות של סקלר: כרגע אין שום הבדל מתמטי בין ה"וקטור" שלך לבין שלושה סקלרים, אחד שמתאים לכל ציר - הערך המספרי של "רכיב" של הוקטור שלך לא משתנה כשמחליפים את כיוון הציר למשל, וכו'. חשוב על כך. אגב מעניין אותי מה דעתך על שני גופים זהים שנעים זה לעבר זה, מתנגשים אלסטית וניתזים זה מזה בתשעים מעלות לכיוון תנועתם המקורי. איך האנרגיה נשמרת עכשיו? אולי תאמר שיש לסכום את שלושת הסקלרים, ובעצם זה יהיה הערך האמיתי של "וקטור" האנרגיה? סוף מאמר מוסגר.

יפה, אנחנו מתקדמים לאט לאט. יש לי עוד שאלה אחת לשאול. סליחה שאני שואל על הבסיס, אבל חשוב שניישר קו על מה ההנחות של המודל לפני שאנחנו ממשיכים הלאה. יש עוד נקודות שכתבת עליהן בתשובות הקודמות שלך שעדיין לא התייחסתי אליהן, אגיע לחלקן בתשובה הבאה שלי.

השאלה היא: האם הרעיון הוא שכל רכיב של הוקטור מושפע מהתנועה באותו הציר בלבד? או ששינוי של התנועה בציר איקס, בלי שינוי של התנועה בציר וואי, יכול להשפיע על רכיב האנרגיה בציר וואי? ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 22:59, 17 ביוני 2023 (IDT)

האשמות? לא זכור לי שאי פעם האשמתי כאן מישהו, בטח לא אותך, כמי שנחלץ כאן לעזרתי לא פעם, וכמי שנחשב אדם בעל ערך עבורי. כל מה שאני זוכר, זה רק שהודיתי לך כאן, לא האשמתי חלילה. זה בהחלט מבלבל אותי לנהל דיון שבו מיוחסת לי עמדה כלפי הזולת שמעולם לא עלתה על דעתי, ושהיא למעשה הפוכה במאה ושמונים מעלות אל מה שאני באמת חושב על הזולת. מה שכן, אם תצטט מדבריי את המשפט שגרם לך לחשוב שהאשמתי אותך חלילה, אז הריני מתנצל עליו כעת מראש, וגם מבטיח לך נאמנה שאמחק אותו מייד, כדי שהוא לא יובן חלילה בניגוד לכוונתי. כנ"ל לגבי "אמירות לא ענייניות" שלי (כלשונך). אם תצטט לי אותן, אמחק אותן, כי אני מעוניין בשיח מכובד ומכבד. אבל כל עוד שאינני יודע מה הן, אינני יודע מה ראוי שאמחק, כי טרם מצאתי בדבריי אמירות לא ענייניות.

לגבי "שחור על גבי לבן": היצעתי שתצטט מפיסקה ב' ההיא שבתגובתי ההיא לך, את המשפט שלי - שלדעתך אינו נותן תשובה לשאלתך על כיוון ריבוע המהירות - למרות שלדעתי המשפט הזה עונה "שחור על גבי לבן" (כלשוני) על השאלה ההיא שלך. רציתי שתצטט אותו, כדי שתוכל להפתיע אותי. ובכן?

מצד שני: כן ציטטת, "שחור על גבי לבן" (כלשונך), מתוך תגובה שלי לידידי אסף היקר (לא לחינם אני מכנה אותו יקר), שראה את עצמו חופשי - לבחוש בה כבתוך שלו - כנראה מתוך בדיחות הדעת, כשהספיק עוד לפני תגובתך האחרונה להחזיר - בגירסה הזאת של דף הכה את המומחה - את המילה "לא" לפני המילה "ממש" שבתגובתי הנ"ל אליו, אחרי "שהעזתי" עוד קודם לכן להוסיף בדיעבד לתגובתי הנ"ל אליו "תוספת מאוחרת" [בתוך סוגרים רבועים] - שנועדה למנוע מאחרים לפרש בטעות שכביכול התכוונתי לענות לו - שכשם שבמערכת שעליה הוא שאל יש תנע אפס כך יש בה גם אנרגיה קינטית אפס (בעוד שבפועל התכוונתי לענות רק כי כשם שבמערכת הזו נשמר התנע כך נשמרת בה גם האנרגיה הקינטית). אני חוזר ומציע אפוא, שהעניינים שביני לבין אסף היקר - ישארו ביני לבינו (למעשה הם קשורים לתקופה, שבה עוד למדנו יחד באותן מסגרות לימודיות, ושבה על כל דבר הוא היה אומר לי "לא ממש" בעוד שאני על כל דבר הייתי אומר לו "כן ממש", וגם זה היה בבדיחות הדעת). לכן גם היצעתי לך לא לערבב, את הדיון שמתקיים ביני לבינך, עם הדיון שמתקיים ביני לבין אסף היקר. על כל פנים, אני מעולם לא כתבתי שיש אנרגיה קינטית אפס: כפי שציינתי בתגובתי הקודמת, רק אסף היקר היה זה שהזכיר "0".

כתבת: "תודה רבה על שהואלת לפרט יותר ולכתוב את הגרסה הנוכחית של המודל שלך בצורה שאינה משתמעת לשתי פנים". לא ברור לי אל מה התכוונת במילים: "הגרסה הנוכחית". האם אי פעם היתה לי גירסה אחרת עבור המודל? לא זכורה לי עוד גירסה שלו. אמנם ממש על ההתחלה, כששאלתי למה לא נחשיב את האנרגיה הקינטית בתור "וקטור", לא פירטתי מהו המודל של "וקטור" כזה, אבל ברגע שפירטתי את המודל, היתה לו גירסה יחידה - ככל שאני זוכר.

כתבת: "אז עכשיו אתה אומר שהאנרגיה מכוונת בכיוון החיובי של הציר בו נע הגוף. כלומר כיוון הוקטור תלוי בבחירת מערכת הצירים. אם נהפוך את הציר, כיוון וקטור האנרגיה יתהפך לכיוון החיובי החדש". אני אומר זאת באופן ממוקד, לא ממש מ"עכשיו", אלא החל מרגע נתינת תגובתי לשאלתך הממוקדת אף היא. שאלתך הממוקדת - רק נתנה לי את ההזדמנות לענות באופן ממוקד, אבל למעשה זה עולה כבר מהרגע הראשון שבו ציינתי ש"וקטור" האנרגיה הקינטית נקבע לפי וקטור ריבוע המהירות. אני מזכיר, שריבוע של מספר ממשי הוא תמיד מספר חיובי.

כתבת: "כדאי שתשים לב לכך שאתה מתרחק פה מהתנהגות של וקטור ומתקרב להתנהגות של סקלר". נכון, ולכן בהקשר של אנרגיה קינטית ראוי להקפיד לשים את המילה "וקטור" בין מרכאות.

כתבת: "כרגע אין שום הבדל מתמטי בין ה'וקטור' שלך לבין שלושה סקלרים, אחד שמתאים לכל ציר - הערך המספרי של 'רכיב' של הוקטור שלך לא משתנה כשמחליפים את כיוון הציר למשל, וכו'. חשוב על כך". נכון - הערך המספרי שעליו אתה מדבר - לא צריך להשתנות אלא נשאר תמיד חיובי, כי מי שאחראי על הכיוון (חיובי/שלילי) - הוא סקלר התנע - לא "וקטור" האנרגיה הקינטית.

כתבת: "מה דעתך על שני גופים זהים שנעים זה לעבר זה, מתנגשים אלסטית וניתזים זה מזה בתשעים מעלות לכיוון תנועתם המקורי. איך האנרגיה נשמרת עכשיו?...אם הרעיון הוא שכל רכיב של הוקטור מושפע מהתנועה באותו הציר בלבד? או ששינוי של התנועה בציר איקס, בלי שינוי של התנועה בציר וואי, יכול להשפיע על רכיב האנרגיה בציר וואי?". בעיקרון, כל המצבים הפיזיקליים, כולל השאלה שעליה שאלת, ראויים לטיפול בכפוף לשני חוקי שימור: התנע, והאנרגיה. אז לפני שמבררים מה קורה במודל שאותו אני מציע, מומלץ לברר קודם מה קורה במודל הרגיל (לא זה שאותו היצעתי): ובכן שם מטילים כידוע על וקטור התנע - שתי משימות: משימה אחת היא קביעת כיוון התנועה - האם הוא יהיה חיובי או שלילי, בעוד שהמשימה השניה (בהיעדר כח חיצוני) היא - חוק שימור התנע - שמתייחסת אל "המימד" של הפעולה המתרחשת במרחב התלת-מימדי, ולכן בפועל המשימה הזו מתפצלת לשלוש תת-משימות שפועלות על שלושת הצירים - מה שמצריך אפוא לפצל את חוק שימור התנע (בהיעדר כח חיצוני) - לשלושה חוקי שימור-תנע שונים. שים לב שכל זה לא מספיק כדי לטפל בשאלתך, כל עוד שלא מטילים את המשימה השלישית (בהיעדר כח חיצוני) - שהיא חוק שימור האנרגיה הקינטית - על סקלר האנרגיה הקינטית. מאידך, במודל החלופי שאני מציע, על "וקטור" האנרגיה הקינטית מוטלת רק משימה אחת בלבד - שהיא (בהיעדר כח חיצוני) חוק שימור האנרגיה הקינטית - ושמתייחסת אל "המימד" של הפעולה המתרחשת במרחב התלת-מימדי, ולכן גם במודל שלי תצטרך המשימה הזו להתפצל לשלוש תת-משימות שפועלות על שלושת הצירים - מה שמצריך אפוא לפצל את חוק שימור האנרגיה הקינטית (בהיעדר כח חיצוני) - לשלושה חוקי שימור-אנרגיה-קינטית שונים. שים לב שכל זה לא מספיק כדי לטפל בשאלתך, כל עוד שלא מטילים על "סקלר" התנע (שהנו כאמור מספר ממשי) - את שתי המשימות האחרות: המשימה האחת היא כאמור קביעת כיוון התנועה - האם הוא יהיה חיובי או שלילי, בעוד שהמשימה האחרונה - היא אפוא חוק שימור התנע (בהיעדר כח חיצוני) - אך הפעם ללא פיצול המשימה לשלוש תת-משימות כמקודם. שים לב, שכל שאלה שתעלה על דעתך, כגון שאלת שני הגופים האלסטיים שמתנגשים בזוית של תשעים מעלות, ושוב נפרדים בזוית של תשעים מעלות, מטופלת - במודל שאני היצעתי - באופן לגמרי אנאלוגי לזה שלפיו היא מטופלת במודל הרגיל, עם אותה תוצאה בדיוק - בשני המודלים, משום שבשניהם - על כל אחת משלוש המשימות הנ"ל יש גורם אחראי: בין אם זה התנע ובין אם זה האנרגיה הקינטית. לסיכום: כל שאלה שתישאל על המודל שאותו אני מציע, תוכל להישאל באופן אנאלוגי גם על המודל הרגיל, וכל תשובה שתינתן במודל הרגיל, תוכל להינתן אנאלוגית גם במודל שאותו אני מציע.

כתבת: "אולי תאמר שיש לסכום את שלושת הסקלרים, ובעצם זה יהיה הערך האמיתי של 'וקטור' האנרגיה?". אני מזכיר, שבמודל שאותו היצעתי, ל"וקטור" האנרגיה הקינטית יש שלושה רכיבים, ואף אחד מהם אינו מספר חיובי אלא הוא רק מכפלה של מספר חיובי בוקטור היחידה. לכן, אם סוכמים כראוי את רכיבי "וקטור" האנרגיה הקינטית, לא מקבלים מספר חיובי. לשון אחר: אין לסכום אותם במובן הרגיל של סכימת מספרים חיוביים, משום שיש לשמור על וקטורי היחידה. לכן, הדרך הנכונה לנתח כל מצב במסגרת המודל שאותו אני מציע, נעשית באופן אנאלוגי לזה שלפיו היינו מנתחים את המצב - לפי חוקי שימור שלושת רכיבי וקטור התנע - אילו טיפלנו בו במסגרת המודל הרגיל (לא זה שאותו היצעתי). באופן אנאלוגי, במודל שאותו אני מציע, כל מצב ינותח לפי חוקי שימור שלושת רכיבי "וקטור" האנרגיה הקינטית, וכאמור תוך התחשבות גם בחוק שימור התנע (שהוא כאמור סקלר ממשי).

כתבת: "חשוב שניישר קו...לפני שאנחנו ממשיכים הלאה". מסכים. גם לי חשוב, שהמשך הדיון יתקיים רק אחרי שאמחק מתוך דבריי כל משפט שבטעות עלול להתפרש באופן לא נכון, למשל כהאשמה חלילה, או כאמירה לא עניינית חלילה.

2A06:C701:427F:6800:8CE8:BDC9:AFA0:45F4 03:33, 18 ביוני 2023 (IDT)

כתבת הרבה ואמרת מעט, ולצערי לא הצלחתי לקבל תשובה פשוטה לשאלה בסיסית.

אני מאמין שזה לא בגלל שאתה מעדיף להשאיר את פרטי המודל המוצע עמומים באופן מכוון, אלא בגלל שבמהלך הדיון נכנס הרבה רעש שגרם לך להתבלבל ולהסתבך שלא לצורך.

אעשה עוד נסיון להבהיר את הדברים ולנקות מהרעש, שלחלקו אולי תרמתי אני בניסוח לא זהיר שגרם לך לפרש דברים לא נכון.

אשמח מאוד אם בתגובתך הבאה תענה לשאלה שמוצגת בסוף התגובה הזו, אחרי שקראת את יתר התגובה הזו, ואם תרצה להגיב לדברים אחרים שכתבתי פה, אשמח אם תעשה זאת מתחת לזה, בתגובה נפרדת. אתה כמובן לא חייב אבל זה מאוד יעזור למקד את הדיון ולהתקדם בהבנה.

אז ל"ניקוי הרעש":

1. מה לא:

כתבתי איפשהו למעלה (אני לא מתכוון לחפש את הניסוח המדויק, אתה מוזמן אם יש לך כח) משהו כמו, שאם המהירות היא וקטור, אז אי אפשר להגדיר וקטור של ריבוע המהירות או משהו כזה.

אני חושב שהאמירה העמומה הזו שלי גרמה לבלבול. הכוונה שלי במשפט הזה היתה משהו שכן כתבתי מפורשות במקום אחר, ולא התכוונתי לכתוב כאן משהו מעבר לכך: לא ניתן להגדיר וקטור שגודלו יהיה ריבוע המהירות ורכיביו יהיו ריבועי רכיבי המהירות, ושיישאר כזה בכל בחירה של מערכת הצירים.

אבל בגלל הניסוח הלא מוצלח שלי, התפתח רעיון של היפוך תפקידים: שריבוע המהירות יהיה וקטור, ושהמהירות תהיה סקלר. מכאן המשכת לכך שהמיקום יהיה סקלר, וכנ"ל התנע, ושריבוע המיקום יהיה וקטור.

למרבה הצער המתמטיקה לא עובדת כך - אין את החופש לעשות את זה. אסביר: בהינתן וקטור (למשל המהירות במכניקה הניוטונית), ניתן לכפול אותו סקלרית בעצמו ולקבל את הגודל שלו בריבוע בתור סקלר. אבל התהליך ההפוך לא קיים: אין דבר כזה להוציא שורש של וקטור ולקבל סקלר. אין דבר כזה שורש המהירות, ובדומה אצלך אין משמעות לאמירה "שריבוע המהירות יהיה וקטור, והמהירות - סקלר". אני מניח שאתה מבין שהמהירות היא גודל בסיסי יותר מריבוע המהירות, ומגדירה אותו; אם המהירות היתה סקלר, לא היתה לנו "אינפורמציה" כדי לדעת למשל מה כיוונו של וקטור ריבוע המהירות (שהרי וקטור צריך גודל וכיוון). כל מה שפיתחת בהמשך לכך חסר משמעות לצערי (וראה להלן ב"מה כן").

דבר נוסף, המהירות היא הנגזרת של המיקום, אבל ריבוע המהירות הוא לא הנגזרת של ריבוע המיקום. לומר שמכך שהגדרנו וקטור של ריבוע המהירות נובע שיש לנו וקטור של ריבוע המיקום ושאיתו נסתדר, במקום עם וקטור המיקום, זה חסר משמעות.

2. מה כן:

בבסיס המודל של המכניקה הקלאסית (כלומר הלא יחסותית), הזמן מתואר כציר ממשי בלתי תלוי במיקום, ובכל נקודת זמן היקום מתואר כמרחב אוקלידי תלת מימדי (R^3), שנקודותיו הן הערכים האפשריים למושג "מיקום". קרי, המיקום הוא וקטור. הנגזרת הזמנית של המיקום היא המהירות, כלומר גם היא וקטור. התנע הוא המכפלה של המהירות במסה - וקטור בסקלר - ולכן גם הוא וקטור. כל דיבור על כל אחד מהם כסקלר הוא חסר משמעות, וסליחה שהדיון נגרר לחוסר ההבנה הזה. כיוון התנועה הרגעי של גוף מוגדר ככיוון וקטור המהירות שלו, ורכיבי הוקטור הזה הם מה שמגדיר את "רכיבי התנועה" בכל אחד מהצירים.

כל מה שנכתב עד עכשיו הוא הבסיס של הבסיס. אם אתה מעוניין בכל זאת לכפור במשהו מכל הנאמר לעיל, אתה צריך לשנות את כותרת הדיון ל"מה אם נזרוק את הפיזיקה ו/או המתמטיקה מאז ימי ניוטון (כולל), וננסה לפתח משהו די דומה אבל בשינוי הנחה כזו או אחרת". בדיון הזה אני בוודאות לא אשתתף, אבל אולי יהיה מי שיתעניין.

3. מה עכשיו: למיטב הבנתי שאלת שאלה טובה ומעניינת, של מה תהיה המשמעות של הגדרת האנרגיה הקינטית כוקטור, כלומר נפריד אותה לרכיבים ע"פ הצירים בדומה למה שאנחנו עושים עם התנע. הסכמנו שעד כדי פקטור קבוע (חצי המסה), הוקטור הזה הוא וקטור שגודלו צריך להיות ריבוע המהירות.

האם ניתן להגדיר וקטור כזה? בוודאי! אפשר להגדיר מה שרוצים, ואולי אפילו נגלה שזה מועיל למשהו. אולי נגלה שזה מוביל לסתירה. מכל מה שנאמר עד עכשיו, אנחנו עדיין לא יכולים לדעת.

וקטור צריך גודל וכיוון. את הגודל כבר קבענו. שאלתי אותך לגבי הכיוון שלו, וממה שאני מבין ענית שהוא מקביל לכיוון התנועה של הגוף בכל רגע. האם ניתן להגדיר וקטור כזה? בוודאי! אין שום בעיה והכל בסדר. שאלתי עוד שאלה אחת, ועדיין לא קיבלתי לה תשובה ברורה. אני מקווה שבעקבות ההסבר המפורט שלעיל, נצליח להתקדם עוד שלב.

האם במודל שלך, הכוונה היא שכל אחד מרכיבי וקטור האנרגיה יהיה תלוי אך ורק בתנועה בציר המתאים לו? האלטרנטיבה היא שאתה מרשה לשינוי בתנועה בציר איקס להשפיע על האנרגיה בציר וואי. אני לא רואה טעם בהגדרה כזו של וקטור, אבל אני צריך להיות בטוח שלזה גם אתה מתכוון. בלי תשובה ברורה לשאלה הזו יהיה קשה להתקדם. ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 09:35, 18 ביוני 2023 (IDT)

התשובה לשאלת ה"האם" שלך היא: כן, עם סייג קל, ואפרט: כשם שבמכניקה הקלסית - וקטור התנע משפיע רק על הציר שבו קיים התנע, כך גם במודל שלי - "וקטור" האנרגיה הקינטית משפיע רק על הציר שבו קיים "וקטור" האנרגיה הקינטית. מה שכן, כדי לקבל את התמונה המרחבית הכוללת, לא מספיק להתחשב רק במה שקורה בכל ציר, אלא צריך להתחשב בחוק השימור הסקלרי שמתייחס לכל המרחב. בפיזיקה הקלסית, חוק השימור הסקלרי (בתור גודל חיובי או מאופס) הוא חוק שימור האנרגיה הקינטית (בהיעדר כח חיצוני). מאידך, במודל שאני מציע, חוק השימור הסקלרי (בתור גודל ממשי) הוא חוק שימור התנע (בהיעדר כח חיצוני). 2A06:C701:427F:6800:8CE8:BDC9:AFA0:45F4 22:50, 18 ביוני 2023 (IDT)

אני לא בטוח שאנחנו מבינים זה את זה היטב. אסביר: לוקטור יש רכיבים בכל הצירים. אני שואל על מצב בו "וקטור" האנרגיה לאו דווקא מקביל לאף אחד מהצירים, כלומר כיוון התנועה (ולכן גם "וקטור" האנרגיה) מכיל רכיבים בכל הצירים; ועכשיו התנועה באחד הצירים משתנה, בלי שהיא תשתנה ביתר הצירים.

האם רק הרכיב של "וקטור" האנרגיה בכיוון בו התנועה השתנתה, יכול להשתנות, או שכל רכיבי "וקטור" האנרגיה יכולים להשתנות?

אין משמעות לתנע סקלרי, לא הבנתי את החלק הזה של התשובה. קרא שוב את הנחות היסוד של המודל הניוטוני לעיל. למרבה המזל לא שאלתי לגבי התמונה המרחבית הכוללת ועל חוקי שימור כלשהם. אני רק מתעניין בשאלה לאילו רכיבי תנועה מותר להשפיע על מי מרכיבי "וקטור" האנרגיה. ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 23:03, 18 ביוני 2023 (IDT)

כשאני אומר "כיוון", אני מתכוון אל מה שמאפשר לנו להבחין - בין הכיוון החיובי של ציר התנועה - לבין הכיוון השלילי של ציר התנועה. לכן, אני מניח שבמילה "כיוון" התכוונת אל מה שאני מכנה "ציר" (לא אל מה שאני מכנה "כיוון"), ואענה אפוא בהתאם. ובכן, אכן בשאלתך על "וקטור" אנרגיה קינטית שאינו מקביל לאף אחד מהצירים, רק הרכיב של ה"וקטור" הזה בציר בו התנועה השתנתה, יכול להשתנות. 2A06:C701:427F:6800:8CE8:BDC9:AFA0:45F4 23:15, 18 ביוני 2023 (IDT)

תודה רבה על התיקון, כיוונת היטב לדעתי. בדיוק לזה התכוונתי.

הגבתי לתשובתך הנוספת למטה, אני מקווה שנוכל להמשיך הלאה, כתלות בתשובתך שם. ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 23:38, 18 ביוני 2023 (IDT)

לגבי הסוגיה המתמטית:

א. מעולם לא רמזתי, שלדעתי המהירות יותר בסיסית מריבוע המהירות. אמנם המהירות היא כנראה - יותר בסיסית - מבחינה פילוסופית, אבל היא לא בהכרח יותר בסיסית - מבחינה מתמטית טהורה. הגע בעצמך: האם עבור פרישת המישור הליניארי הדו-מימדי, זוג הוקטורים (1,0),(0,1) יותר בסיסי מזוג הוקטורים (2,5),(3,7) שכידוע מסוגל אף הוא לשמש בסיס לפרישת המישור הזה? אמנם מבחינה פילוסופית - אפשר לטעון שזוג הוקטורים (1,0),(0,1) הוא כן יותר בסיסי לפרישת המישור, אבל מבחינה מתמטית טהורה - לא בהכרח: שני הזוגות הנ"ל יכולים לשמש בסיס לפרישת המישור - באותה מידה בדיוק. אותו דבר לגבי תפקיד וקטור המהירות במכניקה הקלסית לעומת תפקיד "וקטור" ריבוע המהירות במודל שאני מציע: שני הוקטורים האלה - של המכניקה הקלסית ושל המודל שאותו אני מציע (בהתאמה) - מסוגלים למלא בהצלחה את תפקידם, ואי אפשר לקבוע מבחינה מתמטית טהורה מה בסיסי יותר. וכמובן גם עצם הכינוי הכביכול מסורבל "וקטור ריבוע המהירות" אינו מעיד על אי בסיסיות, משום שבמודל שאני מציע, לא יקראו לזה בכינוי המסורבל "וקטור ריבוע המהירות", אלא יקראו לזה בשם יותר פשוט שיעיד על בסיסיות, למשל "וקטור הגויאבה", או כל שם פשוט אחר שנבחר. כל הזמן כתבתי "וקטור ריבוע המהירות", רק כי רציתי להשתמש בכינוי המקובל "ריבוע המהירות" שכבר קיים במכניקה הקלסית, אבל אין להתפתות יותר מדי אחרי כינויים מקובלים, אלא יש להיצמד למהויות. על כל פנים, כדי שלא נצטרך ללמוד שפה חדשה, ובמיוחד כדי שלא נצטרך לשנן את המשמעות החדשה של המילה "גויאבה" (וכדומה), עדיף לקרוא לזה בשם המעט מסורבל: "וקטור ריבוע המהירות", כי בכך אנחנו גם ממשיכים לשמור על קשר עין לשוני עם השפה המקובלת במכניקה הקלסית.

ב. כנ"ל לגבי מה שנקרא במכניקה הקלסית "מהירות": במודל שאני מציע, היא סקלר (ממשי), לא וקטור, ולכן עדיף לקרוא לה בשם אחר, למשל "סקלר המהירות", שלא ייחשב אפוא בתור השורש הריבועי (הדו-ערכי) של "וקטור ריבוע המהירות", אלא ייחשב בתור השורש הריבועי (הדו-ערכי) של הנורמה של "וקטור ריבוע המהירות".

ג. לגבי המיקום וריבוע המיקום, הבה נעשה סדר: עקרונית ניתן לחשב את "וקטור ריבוע המהירות" גם ע"י גזירת "וקטור ריבוע המיקום", אבל עבור מי שרגיל לחשב את חישוביו לפי חישובי המכניקה הקלסית, הדרך הכי אינטואיטיבית לחשב את (פונקציית) "וקטור ריבוע המהירות" - של גוף נתון שנע בציר נתון, היא לגזור - את המשתנה הסקלרי (הממשי) של מיקום הגוף - לפי המשתנה הסקלרי (הממשי) של הזמן שבמהלכו נע הגוף, ואז הפונקציה הסקלרית המתקבלת מועלית בריבוע, ואז מה שהתקבל מוכפל בוקטור היחידה של הציר שבו נע הגוף. כך מתקבל מה שכיניתי מקודם (פונקצית) "וקטור ריבוע המהירות".

2A06:C701:427F:6800:8CE8:BDC9:AFA0:45F4 22:51, 18 ביוני 2023 (IDT)

א. מסכים לגמרי עם הדוגמה שלך עם פרישת המרחב. זה לא רלוונטי למה שאמרתי. ברור לך שלא התכוונתי שוקטור אחד בסיסי יותר מהשני מבחינה מתמטית\וקטורית. האמירה שלי לא קשורה בכלל לכך שמדובר על וקטורים.

המהירות היא מושג בסיסי יותר מריבוע המהירות, ולא בגלל השמות שלהם (כמובן שאפשר לקרוא לריבוע המהירות גויאבה ולמהירות שורש גויאבה, זה לא ישנה את העובדה שהאחרון הוא המושג הבסיסי). קרא שוב את הבסיס של המודל הניוטוני לעיל.

אתה מדבר על וקטור ריבוע המהירות. דיברת לעיל (מזמן) על הרכיבים שלו, שהם כפל בסינוס ובקוסינוס של גודלו. ובכן סינוס וקוסינוס של איזו זוית? וקטור צריך גודל וכיוון. בהינתן גוף בתנועה, ברור לי מה יהיה הגודל של הוקטור שאתה מציע: זה הריבוע של גודל המהירות (פה אגב אני מסכים שאין העדפה, בין גודל המהירות ובין גודל ריבוע המהירות, אפשר להשתמש בכל אחד מהם כבסיס לקבלת השני). אבל וקטור צריך כיוון. כיוון התנועה מוגדר ע"י וקטור המהירות, קרא שוב את הבסיס למודל הניוטוני לעיל. אין בעיה להגדיר וקטור שגודלו יהיה ריבוע המהירות וכיוונו יהיה כיוון וקטור המהירות. אני רק צריך להבין שזו הכוונה.

ב,ג. מכותרת הדיון הזה הנחתי שאתה שואל על רעיון (יפה אגב) של שימוש בוקטור כדי לייצג את האנרגיה במסגרת המודל הניוטוני. לא כתבת שום דבר על כך שאתה עוקר מהיסוד את כל מבנה המרחב כך שמיקום הוא כבר לא נקודה בR^3 וכו'. כל הטעות הזו נכנסה במהלך הדיון ונגררת עד עכשיו. אני מציע להפסיק עם זה ולחזור לבסיס שדיברתי עליו לעיל, כלומר אין דבר כזה סקלר המיקום, סקלר המהירות וכו' ואין טעם לדון בזה. אנחנו קרובים למתן מענה לשאלה המקורית שלך וחבל שנעצור פה.

האם אנחנו יכולים להסכים על המבנה הבסיסי של המודל הניוטוני כפי שפורט באחת התשובות האחרונות שלי, ולהגביל את השאלה למה שכתוב בכותרת של הדיון, קרי האם אפשר להפריד את האנרגיה לרכיבים של וקטור, תחת ההנחות שפירטנו בהודעות האחרונות - שהן הנחות הגיוניות וסבירות לחלוטין לדעתי (רכיבי וקטור האנרגיה תלויים רק ברכיבים המתאימים של התנועה, כיוון וקטור האנרגיה מקביל לכיוון התנועה, ויתר ההסכמות שכבר הגענו אליהן)? ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 23:36, 18 ביוני 2023 (IDT)

א (1). כתבת: "ברור לך שלא התכוונתי שוקטור אחד בסיסי יותר מהשני מבחינה מתמטית\וקטורית...המהירות היא מושג בסיסי יותר מריבוע המהירות". דומני כי מוסכם על שנינו כי אין טעם לדוש בדבר, אשר עליו שנינו מסכימים, ואשר (לפחות לדעתי) אין לו קשר לשאלתי המקורית: שנינו היסכמנו מלכתחילה שיש להבחין, בין בסיס - מבחינה מתמטית, לבין בסיס - מבחינה פילוסופית - שלגביה כבר כתבתי שהמהירות היא כנראה בסיסית יותר. אבל אני לא רואה איך זה קשור לשאלתי, שאינה עוסקת בהיבט הפילוסופי אלא בשאלת התאפשרותו המתמטית של מודל שבו האנרגיה תוגדר כווקטור בעוד שהתנע והמהירות יוגדרו בתור סקלרים (ממשיים).

א (2). כתבת: "וקטור צריך גודל וכיוון...וקטור צריך כיוון. כיוון התנועה מוגדר ע"י וקטור המהירות". אני מזכיר את מה שכתבתי בתגובתי הלפני קודמת, שכשאני אומר "כיוון", אני מתכוון אל מה שמאפשר לנו להבחין - בין הכיוון החיובי של ציר התנועה - לבין הכיוון השלילי של ציר התנועה. לכן, אני שוב מניח, כפי שהינחתי בפעם הקודמת - ואף קיבלתי על כך את אישורך יותר מאוחר, שבמילה "כיוון" התכוונת אל הדבר שאליו אני מתכוון במילה "ציר" - ועל כך ראה בסעיף הבא. מאידך, אם במילה "כיוון" התכוונת לדבר שאליו אני מתכוון במילה "כיוון", אז אנא הבהר זאת.

א (3) כתבת: "אתה מדבר על וקטור ריבוע המהירות. דיברת לעיל (מזמן) על הרכיבים שלו, שהם כפל בסינוס ובקוסינוס של גודלו. ובכן סינוס וקוסינוס של איזו זוית?". למה אתה לא שואל את אותה שאלה על רכיב וקטור המהירות במודל הניוטוני הרגיל? רכיב לפי איזו זוית? ובכן מה שתענה אתה - על שאלתי המקבילה הנוכחית, אענה גם אני על שאלתך, שהרי מדובר בשאלות אנאלוגיות לגמרי - מבחינה חישובית: אם לפנינו גוף בתנועה - בין אם נאפיין את תנועתו על ידי וקטור מהירות הגוף (כך במודל הניוטוני הרגיל) - ובין אם נאפיין את תנועת הגוף על ידי "וקטור" ריבוע מהירות הגוף (כך במודל שאני מציע), מדובר בוקטור בעל רכיבים שמתייחסים אל מערכת הצירים. אם ברור לך שלכל וקטור של מהירות (במודל הניוטוני הרגיל) יש: הן זוית ראשונה (בטווח הנרחב שבין 0 מעלות עד 180 מעלות) מול ציר האורך - והן זוית שניה (בטווח הנרחב הנ"ל) מול ציר הרוחב - והן זוית שלישית (בטווח הנרחב הנ"ל) מול ציר הגובה, אז למה שלא יהיה ברור לך ממש באותה מידה, שגם לכל וקטור של ריבוע המהירות (במודל שאני מציע) יש: הן זוית ראשונה (בטווח המצומצם שבין 0 מעלות עד 90 מעלות) מול ציר האורך - והן זוית שניה (בטווח המצומצם הנ"ל) מול ציר הרוחב - והן זוית שלישית (בטווח המצומצם הנ"ל) מול ציר הגובה! הרי מבחינה מתמטית אין שום בעיה לפתח אות זה.

ב-ג (1). כתבת: "לא כתבת שום דבר על כך שאתה עוקר מהיסוד את כל מבנה המרחב כך שמיקום הוא כבר לא נקודה בR^3 וכו'. כל הטעות הזו נכנסה במהלך הדיון ונגררת עד עכשיו. אני מציע להפסיק עם זה ולחזור לבסיס שדיברתי עליו לעיל, כלומר אין דבר כזה סקלר המיקום, סקלר המהירות וכו' ואין טעם לדון בזה". כבר בתגובתי הקודמת (סעיף ג) היבהרתי, שאמנם עקרונית ניתן לחשב את "וקטור ריבוע המהירות" גם ע"י גזירת "וקטור ריבוע המיקום", אבל עבור מי שרגיל לחשב את חישוביו לפי חישובי המכניקה הקלסית, היצגתי שם בקצרה את הדרך הכי אינטואיטיבית לחשב את (פונקציית) "וקטור ריבוע המהירות" - של גוף נתון שנע בציר נתון - גם אם מתעלמים ממה שאני מכנה "וקטור ריבוע המיקום" וממה שאני מכנה "סקלר המיקום". לכן, לדעתי הדיון המחודש שלך במה שאני מכנה "סקלר המיקום" אינו קשור ישירות לשאלתי. אם כי אליה - כן קשור הדיון הנוכחי שלך במה שאני מכנה "סקלר המהירות" [הממשי אגב] - ועל כך ראה את הסעיף הבא.

ב-ג (2): שאלת: "האם אנחנו יכולים להסכים על המבנה הבסיסי של המודל הניוטוני כפי שפורט באחת התשובות האחרונות שלי, ולהגביל את השאלה למה שכתוב בכותרת של הדיון". כשאני חושב על כך כעת, ויתכן שזה בהשפעת קריאתי את כלל תגובותיך, אני יכול כעת להוכיח די בקלות כי - גם אם המודל שאני מציע אפשרי מתמטית - הוא עדין אינו מספיק כדי לתאר באופן ממצה את תכונותיהם הקינמטיות של גופים בעלי תנע שערכו נתון בתור סקלר ובעלי אנרגיה קינטית שערכה נתון בתור "וקטור". כדי לפשט את ההוכחה, הבה נתרכז במערכת צירים דו מימדית גרידא. נניח שנתון גוף אשר רכיב "וקטור" ריבוע המהירות שלו - בציר האורך - הוא 3 (ביחידות של קמ"ש$^{2}$), בעוד שרכיב "וקטור" ריבוע המהירות שלו - בציר הרוחב - הוא 4 (ביחידות של קמ"ש$^{2}$). עוד נתון שסקלר המהירות הממשית של הגוף הוא נניח מינוס השורש הריבועי של חמש (ביחידות של קמ"ש), שזה פשוט אחד משני ערכי השורש הריבועי של הנורמה של הוקטור הכללי של ריבוע המהירות. ובכן מתברר שמיכלול המידע הזה - הן על "וקטור" ריבוע מהירות הגוף - והן על הסקלר הממשי של מהירות הגוף, אינו מספיק כדי לדעת האם הגוף נע - צפון-מערבה - או דרום-מזרחה. אגב, בעיה מקבילה תיווצר אם יהיה נתון שסקלר המהירות הממשית של הגוף הוא נניח פלוס השורש הריבועי של חמש (ביחידות של קמ"ש): מיכלול המידע הזה - הן על "וקטור" ריבוע מהירות הגוף - והן על הסקלר הממשי של מהירות הגוף, אינו מספיק כדי לדעת האם הגוף נע - צפון-מזרחה - או דרום-מערבה (אגב, בכך טענתי רק טענה על אי היות המודל הזה מספיק, לא על אי היותו עקבי).

2A06:C701:7444:F700:D807:B820:BC7A:D368 12:49, 2 ביולי 2023 (IDT)

א2. הפעם אכן התכוונתי לכיוון (ולא לציר), אבל מדבריך משתמע שבסעיף הזה לפחות אתה מצמצם את משמעות הכיוון למימד אחד. אני מתכוון פה לכיוון במשמעותו הכללית (כלומר בשניים או שלושה מימדים).

א3. מעולה. אני איתך. מכיוון שמיקומו של גוף במודל הניוטוני נתון ע"י וקטור הקואורדינטות שלו, גזירתו ע"פ הזמן מגדירה את כיוון תנועתו.

לוקטור שמתקבל מהנגזרת הזו אנחנו קוראים וקטור המהירות. כלומר באופן מובנה במודל, כשמדברים על וקטור המהירות אנחנו מקבלים אוטומטית את גודל המהירות ואת כיוון התנועה, כלומר כל הזויות יחסית לצירים כפי שכתבת.

כשאתה מדבר על וקטור שגודלו ריבוע המהירות, אתה צריך להגדיר מה כיוונו. אין בעיה לקחת את כיוון התנועה של הגוף (כפי שתיארתי לעיל) ולהגדיר אותו ככיוון וקטור ריבוע המהירות שלך. לי זה נשמע כמו הדבר ההגיוני לעשות אבל אני פשוט לא מצליח להבין בצורה ברורה אם זה מה שאתה עושה או לא. אם לזה אתה מתכוון, אנא ציין זאת. ואם לא, אנא הגדר במדויק מה ההגדרה החלופית שלך לכיוונו של הוקטור שאתה מעוניין להגדיר. ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 13:22, 2 ביולי 2023 (IDT)

אני מזכיר, שכבר בתחילת הדיון ציינתי, כי "וקטור" ריבוע המהירות נחשב "וקטור" (במרכאות) - רק מבחינת ההבחנה בין הצירים - לא מבחינת ההבחנה בין שני הכיוונים ("חיובי" לעומת "שלילי"). מלאכת איתור הכיוון עצמו, מוטלת במודל שהיצעתי - על הסקלר הממשי של התנע - לא על וקטור ריבוע המהירות. לפרטים נוספים, ראה את הפיסקה האחרונה של תגובתי הקודמת. 2A06:C701:7444:F700:D807:B820:BC7A:D368 15:07, 2 ביולי 2023 (IDT)

כבר כתבתי לך שאני זורם עם חוסר ההבחנה בין חיובי/שלילי בצירים.

אתה ממשיך לדבר על סקלר של תנע, למרות שבמודל הניוטוני אין יצור כזה - כפי שכבר כתבתי לך כמה פעמים, וקטור התנע מובנה ככזה במודל הניוטוני (מכפלת וקטור המהירות במסה).

חבל שלא טרחת לציין כבר מההתחלה שינויים מהותיים שאתה מכניס כחלק מהמודל כשהצגת אותו. ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 15:16, 2 ביולי 2023 (IDT)

אני מזכיר שאת המודל שלי היצגתי לראשונה כבר בתגובתי הראשונה מיום 16.6 (ביום ההוא היו לי כמה תגובות לכן ציינתי כעת "הראשונה"), סעיף ב, וכבר שם ציינתי במפורש שבמודל שלי התנע הוא סקלר ממשי. מבחינה מתמטית, אין בזה בעיה. 2A06:C701:7444:F700:D807:B820:BC7A:D368 16:01, 2 ביולי 2023 (IDT)

את המודל שלך הצגת לראשונה בכותרת של הדיון ובהודעה שפתחה אותו. לא הוזכר שום דבר על תנע סקלרי או על מיקום סקלרי במשך מספר הודעות מצידך, עד אחרי שאני ואחרים הצבענו על בעיות במודל כפי שהבנו אותו, ומאז כתבתי לך פעמים רבות שלמושגים האלה אין משמעות.

כמובן שמבחינה מתמטית אין בעיה להגדיר סקלר. אבל מה הקשר בינו לבין התנע? פיזיקה היא יותר מאוסף הגדרות, המטרה היא למדל משהו שמשקף את המציאות. ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 16:14, 2 ביולי 2023 (IDT)

זה עניין של הגדרה: מה נחשב "הצגת המודל שלי", וזאת היתה כזכור מחלוקת טכנית צדדית ושולית בינינו, עוד מיום 17.6 שבו היזכרת את "הגירסה הנוכחית" של המודל שלי, ועל כך הגבתי לך כזכור (בתגובתי הראשונה לך מיום 18.6, למעשה רק יומיים אחרי היום שבו לדעתי היצגתי לך לראשונה את המודל שלי): "לא ברור לי אל מה התכוונת במילים: 'הגרסה הנוכחית'. האם אי פעם היתה לי גירסה אחרת עבור המודל? לא זכורה לי עוד גירסה שלו. אמנם ממש על ההתחלה, כששאלתי למה לא נחשיב את האנרגיה הקינטית בתור 'וקטור', לא פירטתי מהו המודל של 'וקטור' כזה, אבל ברגע שפירטתי את המודל, היתה לו גירסה יחידה - ככל שאני זוכר". עד כאן לשון תגובתי הראשונה מיום 18.6. על כל פנים, המחלוקת העתיקה בין שנינו לגבי השאלה מתי היצגתי לראשונה את המודל שלי (שלהבנתי הוצג לראשונה רק בסעיף ב של תגובתי הראשונה מיום 16.6), היא מחלוקת טכנית צדדית, והיא אינה מהותית אל לב הדיון.

לגבי שאלתך, מה הקשר בין סקלר לבין תנע, ובכן לדעתי הכול תלוי במודל שעליו דנים: במודל הניוטוני, אין קשר בין סקלר לבין תנע, משום שבמודל זה - התנע הוא וקטור - כשם שהמהירות היא וקטור. אבל במודל שלי, אין קשר בין סקלר לבין אנרגיה קינטית, משום שבמודל שלי - היא וקטור - כשם שריבוע המהירות הוא וקטור: אם כי רק מבחינת הצירים, לא מבחינת הכיוון, שמלאכת איתורו מוטלת במודל שלי על התנע - שכאמור מוגדר בתור סקלר ממשי - כשם שגם המהירות מוגדרת בתור סקלר ממשי. ושוב, ככה זה רק במודל שלי, לא במודל הניוטוני, ולדעתי - לא ניתן להפריך מודל - על סמך מה שמקובל במודל מתחרה.

לגבי טענתך האחרונה, ש"פיזיקה היא יותר מאוסף הגדרות, המטרה היא למדל משהו שמשקף את המציאות": נדמה לי שעל זה לא היתה בינינו מחלוקת מעולם. שורש השאלה שלי היה כזכור אך ורק, האם יתכן מודל, שבו האנרגיה הקינטית היא וקטור, ושיוכל לשקף את המציאות. 2A06:C701:7444:F700:D807:B820:BC7A:D368 16:48, 2 ביולי 2023 (IDT)

הבנתי. חשבתי בהתחלה שהוצגה כאן שאלה מעניינת (עבורי), באיחור מה אני מבין שלא כך הדבר (למרות ההודעות שאתה מצטט, רק בהודעתך האחרונה הבנתי את זה).

כמובן שזה לא אומר שהשאלה אינה מעניינת באופן כללי, או גם באופן פרטי עבור אנשים אחרים.

שיהיה בהצלחה! ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 16:53, 2 ביולי 2023 (IDT)

תנוח דעתך ידידי. הבהרותיך בהחלט הועילו לי - בעקיפין, למשל כדי לגלות במודל שלי בעיה משמעותית (אם כי לא בעייה אנושה של חוסר עקביות), שאותה תיארתי בתגובתי הראשונה מהיום, שעה 12:49, בפיסקה האחרונה (כלומר סעיף ב-ג 3).

גם לך שיהיה בהצלחה, כלומר שתצליח לתת עוד הבהרות מחכימות ומועילות, כפי שהיצלחת לתת כאלה גם לי. 2A06:C701:7444:F700:D807:B820:BC7A:D368 17:58, 2 ביולי 2023 (IDT)

אני שמח שהשאלה הזו עדיין לא אורכבה... חשבתי שיועיל לכתוב את התשובה לשאלה כפי שאני הבנתי אותה, למרות שלא לזה התכוון השואל המקורי, לטובת קוראים עתידיים שאולי יבינו גם הם את השאלה דווקא כך ויתעניינו בתשובה.

כפי שאני הבנתי אותה (בשונה מכוונת השואל המקורי), ניתן לנסח כך את השאלה:

האם ניתן להגדיר וקטור שיענה על כל הדרישות הבאות:

1. גודלו יהיה שווה לגודל האנרגיה הקינטית של הגוף.
2. כיוונו יהיה שווה לכיוון התנועה (כיוון וקטור המהירות) של הגוף.
3. שינוי ברכיב כלשהו של מהירות הגוף ישפיע רק על הרכיב המתאים בוקטור שאנחנו מגדירים.

בזכות הדרישה האחרונה (בצירוף עם שתי האחרות), ניתן בעצם "לפרק" את האנרגיה הקינטית לרכיבים, בדומה לפירוק גדלים וקטוריים כמו התנע, כך שכל רכיב של האנרגיה מושפע מהתנועה רק בציר אחד, והם בלתי תלויים זה בזה. עבור גדלים אחרים כמו תנע וכוח, הפירוק הזה נוח מאוד וגם חשוב רעיונית.

התשובה לשאלה הזו, כפי שניסחתי אותה אני, היא שלילית. העניין הוא ששתי הדרישות הראשונות מגדירות את הוקטור לחלוטין (גודל וכיוון), והוקטור הזה לא מקיים את הדרישה השלישית (הנדרשת לפירוק בלתי תלוי).

אפשר להראות את זה בכל מיני דרכים, אדגים באמצעות דוגמה נגדית. כמו ברוב הדיון הזה נניח שהמסה היא 2 כך שהיא מצמצמת את החצי בנוסחה של האנרגיה הקינטית.

נניח גוף שנע בשני ממדים (בממד השלישי רכיבי המהירות, האנרגיה וכו' יהיו אפס וניתן להתעלם ממנו). נניח שוקטור המהירות שלו הוא (3,4). אז גודל המהירות הוא 5, גודל המהירות בריבוע הוא 25, וזו גם האנרגיה הקינטית (כי המסה היא 2). כדי שזה יהיה גודלו של וקטור שמקביל לוקטור המהירות, "וקטור האנרגיה" צריך להיות (15,20) - שורש סכום ריבועי הרכיבים שלו הוא 25, והוא מקביל למהירות.

עכשיו נניח שפועל על הגוף כח בציר y בלבד, שמאפס את רכיב מהירותו בציר זה. עכשיו, המהירות של הגוף היא הוקטור (3,0). גודל המהירות הוא 3, ריבוע המהירות הוא 9, וזו האנרגיה הקינטית. הוקטור שזה גודלו ושכיוונו הוא כיוון המהירות הוא הוקטור (9,0).

מהדוגמה הזו, אנחנו רואים ששינוי ברכיב המהירות בציר y הביא לשינוי ברכיב "וקטור האנרגיה" בציר x, מ-15 ל-9.

המסקנה היא שלא ניתן להגדיר וקטור אנרגיה שעונה על שלוש הדרישות שפירטתי לעיל.

כאמור, לא לזה היתה הכוונה של השואל המקורי, אבל אולי זה יעזור לקוראים עתידיים. ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 14:46, 25 באוקטובר 2023 (IDT)

לכסון אוניטרי

בערך לעיל כתוב ש"לכסון אוניטרי הוא לכסון של מטריצה בעזרת מטריצה אוניטרית", אבל מצד שני - "$Q$ היא המטריצה המלכסנת, שעמודותיה מורכבות מבסיס אורתונורמלי". האם אין מטריצות אוניטריות שאינן מטריצות אורתונורמליות? Yishaybg - שיחה 22:34, 18 ביוני 2023 (IDT)

שים לב לא להתבלבל עם מטריצה אורתוגונלית, שהיא מטריצה אוניטרית שאיבריה ממשיים.

לגבי מטריצות אוניטריות, תנאי שקול לכך שמטריצה היא אוניטרית הוא שעמודותיה הן בסיס אורתונורמלי של C^n.

לא ידוע לי על מושג בשם "מטריצה אורתונורמלית" אבל אני מניח שהתכוונת למה שכתבתי לעיל. ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 22:52, 18 ביוני 2023 (IDT)

אכן, יש "בסיס אורתונורמלי" אבל אין "מטריצה אורתונורמלית". המטריצות הרלוונטיות לבסיס אורתונורמלי הן מטריצה אוניטרית (מעל שדה המספרים המרוכבים) ומטריצה אורתוגונלית (מעל שדה המספרים הממשיים). – ד"ר MathKnight ✡ (שיחה) 23:23, 18 ביוני 2023 (IDT)

תודה! Yishaybg - שיחה 21:13, 19 ביוני 2023 (IDT)

כיצד ניתן למצוא יריעה בהינתן השפה שלה בלבד?

מצב טיפול: חדש

למשל תחשבו על מפרש של סירה, ואנחנו יודעים רק איך נראית השפה שלו בזמן מסוים כשהוא מתוח. האם יש כלים מתמטים / שיטות נומריות למצוא את המשטח עצמו?

נזכרתי במשוואות חום, אולי אפשר להתייחס לשפה של היריעה בתור תנאי שפה של משוואת חום, ואחרי אפסילון שניה נקבל צורה מקורבת של יריעה אפשרית?

יש לי בעיה יותר מורכבת שאני מסנה לפתור, מתוך עקום 'סגור' במרחב אני מסנה ליצור גוף בעל נפח שהכי מתאים. אשמח לרעיונות

סלחו לי אם יש לי טעויות, בברכה

עוסק בזה תחום שלם שנקרא minimal surfaces (משטחים מינימליים). ראה כאן. בועות סבון פותרות את הבעיות האלה היטב. עוזי ו. - שיחה 16:28, 21 ביוני 2023 (IDT)

באג באקסל?

מצב טיפול: חדש

סליחה מראש אם הבקשה גדולה מדי: זה דורש לפתוח קובץ מצורף. הקובץ הוא כאן. אני רוצה להבין מה הטעות שלי.

אני מנסה לעשות פעולה מאוד פשוטה. אני רוצה פולינום מדרגה 5 שיתאר בקירוב את תהליך. יש מערך של X וY ואני רוצה לקבל Y כפונקציה של X שישמש אותי כקו מנחה בהמשך. נשמע לא מסובך. אז אקסל נותן התאמה גרפית טובה עם שגיאה קטנה יחסית. ונותן פולינום. בעיה היא שכאשר אני מציב ערכים לאותו פולינום, אני מקבל שגיאה של פי 2 בערכים.

אבל זאת לא הבעיה המרכזית. הבעיה המרכזית היא יותר חמורה: קיבלתי פונקציה עולה במקום יורדת. מה יכולה להיות הבעיה?

תודה מראש. ―אנונימי לא חתםמש:אנונימי ‌ 00:00, 10 בינואר 2000 (IST)

היי, הסיבה שאתה מקבל פונקציה שונה היא שכשאקסל מציג הנוסחה של ההתאמה, הוא חותך את הפיתוח העשרוני של המקדמים למשהו כמו 5-6 ספרות כל אחד; כשאתה משתמש במקדמים החתוכים, אתה מקבל פונקציה אחרת.

נסה לשנות את המקדמים של הנוסחה של הטור השלישי במעט, ותראה איזו השפעה גדולה תהיה על צורת הפונקציה.

שים לב לכך שכל המקדמים גדולים בסדרי גודל מערכים טיפוסיים של הפונקציה. יש לך כאן איזון בין מספרים עצומים, שנותן לך פונקציה שמתאימה לנתונים שלך, אבל היא תהיה רגישה ביותר לכל שינוי קטן במקדמים שיפר את האיזון. ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 17:08, 25 ביוני 2023 (IDT)

ואו, זה אכן נראה "באג" ברמה שחלק מהמידע הלך לאיבוד בהצגה. כאשר משנים טיפה את המקדמים, הפונקציה "מתפרעת". נראה כאילו שהמכונה מגבילה כל מקדם מבחינת התווים. וגם אני שמתי לב שהמקדמים גדולים בצורה לא הגיונית ביחס לנתונים. מסתבר שאקסל לא טוב כמו שחשבתי. השגיאה פה פשוט לא נורמלית. ותודה! ―אנונימי לא חתםמש:אנונימי ‌ 00:00, 10 בינואר 2000 (IST)

למה פולינום ממעלה 5 ולא 10? עוזי ו. - שיחה 19:41, 25 ביוני 2023 (IDT)

לשואל המקורי:

בשמחה!

כמה הערות:

1. משפטים 1 ו-3 בתגובתך: חלק מהמידע תמיד יילך לאיבוד בתצוגה. הייצוג העשרוני אינסופי וצריך להחליט מתי לחתוך, ולמרבה הצער אין דרך פשוטה וישירה לחשב אחרי כמה ספרות אפשר להזניח (כן אפשר להעריך אבל לא הייתי מצפה מאקסל או מכל תוכנה ברמה דומה של עיבוד נתונים לעשות משהו מעבר לבסיס). באקסל החליטו להציג משהו כמו 5 ספרות כברירת מחדל. אפשר לדון על המספר הזה אבל בהרבה מקרים זה אכן מספיק. יש גם אפשרות להציג יותר (אכתוב אותה למטה), אבל לכל כמות ספרות שנבחר יימצא סט נתונים עבורו הן לא יספיקו. כך שבכל מקרה לא נכון לתלות את האשמה באקסל.
2. משפט 2: נקודה נכונה, וצריך לשאול למה זה קורה. גם פה האשמה לא באקסל. אקסל מבצע התאמה לפולינום ע"י רגרסיה ליניארית בשיטת הריבועים הפחותים, שזו השיטה הפשוטה למציאת המודל מתוך הנתונים. זה החישוב הישיר שכל חבילת תוכנה כנראה תבצע, כולל polyfit של Matlab ו-numpy.polyfit של python. אותו סט נתונים ייתן לך את אותו סט מקדמים (גדולים מאוד במקרה הזה), ללא תלות בתוכנה בעזרתה ביצעת את החישוב. השילוב של כמות הספרות שאקסל מציג כברירת מחדל עם גודל המקדמים שהתקבלו בחישוב גרם למה שחווית. אז כמו שאמרנו צריך להבין למה הם כל כך גדולים.
3. בהמשך להערה של עוזי: אם למשל היית מנסה להתאים למודל ממעלה ראשונה, היית מקבל ישר שעובר בגדול דרך הנתונים. הוא לא היה מדויק כמו מודל ממעלה גבוהה יותר, אבל המקדמים שלו היו "מתאימים" לסדר הגודל של הנתונים שלך. ככל שתעלה בדרגת הפולינום, תראה שההתאמה נעשית מדויקת יותר אבל המקדמים גדלים כל כך, שכל מונום לחוד גדול בסדרי גודל מערכים טיפוסיים ומתחיל להיווצר "איזון לא יציב" כמו שראינו קודם. בנתונים האלה זה קורה כבר בפולינום ממעלה שלישית. זה רמז לכך שפולינום יחיד על כל התחום הוא לא מודל מתאים לתהליך שיצר את הנתונים שלך. אם תמשיך לעלות בדרגת הפולינום, ההתאמה תלך ותשתפר אבל התופעה תלך ותחמיר.
4. מסקנה דומה מזווית אחרת, וזו אולי ההערה החשובה בתשובה שלי: יש הרבה קווים שעוברים סמוך לאוסף נתון של נקודות. יש אפילו קווים שיעברו ממש דרך כל הנקודות. אבל השאלה המתמטית של מציאת קווים כאלה היא שאלה טכנית. השאלה העקרונית יותר היא הבחירה בין סוגים שונים של קווים אפשריים כאלה; כלומר מה המודל שבעזרתו אתה מתאר את המערכת. אין הרבה תהליכים בטבע שמתוארים היטב ע"י פולינום ממעלה גבוהה על פני טווח רחב של פרמטרים. במקרה של המודל שלך, הייתי שואל את עצמי שאלות בסגנון: מה הגורם לעלייה בערכי y בצד שמאל (עבור ערכי x נמוכים)? אולי זו תופעה שרלוונטית רק שם (ולכן למשל פולינום אחיד על כל התחום לא אמור לתאר גם את האיזור הזה וגם את יתר התחום), ונכון לחלק את המודל לאיזורים? האם יתר התחום מגיע מפולינום, או שאולי עקומה מעריכית תסביר אותו טוב יותר? שוב, הדגש הוא לא על ההתאמה המספרית, אלא "תסביר אותו" במובן העקרוני: איזה סוג תהליך מעורב בתופעה הנמדדת, וכו'. שאלות מהסוג הזה יובילו אותך אולי לפונקצייה אחרת, שגם היא עוברת סמוך לנקודות, אבל גם כנראה שיהיו לה פחות פרמטרים מאשר פולינום ממעלה 5 (ראה תערו של אוקאם), וגם תוכל ללמוד ממנה דברים על התהליך המקורי (כלומר לפרמטרים תהיה משמעות עמוקה יותר מאשר "המקדם של x^4").
5. לגבי הוספת ספרות לתצוגה של אקסל: כפתור ימני על המשוואה -> עיצוב תווית קו מגמה -> מספר -> קטגוריה: מותאם אישית, ואז תחת קוד תבנית תראה שדה שמחולק לשניים ע"י נקודה ופסיק (";"). בצד הימני של כל חצי, כתוב נקודה ואז עוד כמה סולמיות, ולחץ "הוסף". אגב את אותו קובץ פתחתי גם בcalc (גרסה חינמית של אקסל מחבילת LibreOffice), ושם (בלי שנגעתי בכלום) הוצגו משהו כמו 13 ספרות בכל מקדם; כשהעתקתי אותן לנוסחה בטור 3 ההתאמה היתה פרפקט. אבל כאמור אפשר למצוא גם סט נתונים שעבורו 13 ספרות לא יספיקו, ובcalc נקבל בדיוק את מה שקיבלת בברירת המחדל של אקסל. כלומר אין לדבר סוף, ולא נכון לתלות את האשמה בבאג בתוכנה.

יש לי לא מעט ביקורת על אקסל, אבל דווקא פה לא נכון לרדת עליו :)

מקווה שההסבר הועיל יותר מאשר בילבל.

שיהיה בהצלחה, ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 10:48, 26 ביוני 2023 (IDT)

מצאו את ההבדלים

― הועבר לדף שיחה:חבורה למחצה שאינה קומוטטיבית בשום מקום

האם פונקציה רציפה, אשר - אינה מוגדרת עבור אפס - אבל שואפת לאפס כשהמשתנה שלה שואף לאפס, מתאפיינת באי-אילו תכונות אלגבריות (לא אינפיניטסימליות גרידא) שאינן מאפיינות אי-אילו פונקציות רציפות?

לדוגמה הפונקציה f(x) = sin(x)/x - 1. הנה דוגמה יותר פשוטה: f(x) = 0/x.

הרקע לשאלתי הוא העובדה, שלכל פונקציה שמתאפסת עבור אפס, יש הרבה תכונות אלגבריות אשר (נובעות מהתאפסותה עבור אפס ואשר) אינן מאפיינות כמה פונקציות רציפות [בעלות התחום שלה]. למשל התכונה f(x)f(0)=f(y)f(0), וכדומה.

השאלה היא האם כך קורה גם עם פונקציה אשר, אינה מוגדרת עבור אפס, אבל שואפת לאפס כשהמשתנה שלה שואף לאפס.

אם התשובה חיובית, אז מה יקרה אם נחליף את הפונקציה הרציפה הזו, בפונקציה אנליטית אשר - אינה מוגדרת עבור אפס - אבל בעלת המשכה אנליטית שמתאפסת עבור אפס (ובמקביל גם נחליף "אי אילו פונקציות רציפות" ב"אי-אילו פונקציות אנליטיות").

2A06:C701:7444:F700:D807:B820:BC7A:D368 14:51, 2 ביולי 2023 (IDT)

אם פונקציה רציפה f שואפת ל-0 כאשר x שואף ל-0, אז בהכרח f(x=0)=0. זה נובע מהגדרת הרציפות. – ד"ר MathKnight ✡ (שיחה) 23:02, 2 ביולי 2023 (IDT)

אבל השאלה התייחסה במפורש אל פונקציה, שאמנם רציפה בכל תחום הגדרתה, אבל תחום זה עצמו אינו מכיל את אפס.

לדוגמה, הפונקציה שמוגדרת בתור f(x) = sin(x)/x - 1. הנה דוגמה יותר פשוטה: f(x) = 0/x.

2A06:C701:7444:F700:D807:B820:BC7A:D368 23:28, 2 ביולי 2023 (IDT)

במונחים מקובלים יותר, אתה שואל האם פונקציה השואפת ל-0 כאשר x שואף ל-0 מקיימת בהכרח משוואה פונקציונלית לא טריוויאלית.

התשובה שלילית, משום שיש $2^{2^{\aleph _{0}}}$ פונקציות העונות לתנאי השאלה, ורק $2^{\aleph _{0}}$ משוואות פונקציונליות (הרי לכם דוגמא נאה לשימוש בהשוואת עוצמות שאינן בנות מניה).

המונח "פונקציה רציפה" בנקודה x=0 כולל בתוכו את ההנחה ש-f דווקא כן מוגדרת ב-0 (והערך שהיא מקבלת שם שווה לגבול בנקודה). עוזי ו. - שיחה 00:02, 3 ביולי 2023 (IDT)

לגבי הפיסקה הראשונה שלך: תודה רבה! מעולה, זה מה שחיפשתי (לגמרי מסכים איתך לגבי מה שכתבת בסוגריים. אם כן הקרדיט על הדוגמה הוא כולו של העונה, אבל מעט מעט - גם של השואל - הלא כן?).

לגבי הפיסקה השניה שלך: כמובן, אבל אני התכוונתי לפונקציה שרציפה בכל תחום הגדרתה, אשר משום מה אינו כולל את אפס.

2A06:C701:7444:F700:D807:B820:BC7A:D368 00:06, 3 ביולי 2023 (IDT)

אני כבר לא בטוח למה הכוונה ב"תכונה אלגברית". לכל פונקציה f, קח a כלשהו, ו-b=f(a). הפונקציה מקיימת את התנאי $(f(a)-b)f(x)=0$ (שהוא טאוטולוגי עבור הפונקציה הזו, אבל לא כתנאי על פונקציות). עוזי ו. - שיחה 02:09, 3 ביולי 2023 (IDT)

לא הבנתי למה לדעתך התנאי שכתבת טאוטולוגי עבור הפונקציה הזו. אל תשכח שמדובר על פונקציה שאינה מוגדרת על אפס, ולכן אפילו לא ניתן להוכיח "שקיים" x שמקיים את התנאי שכתבת. קל וחומר שלא ניתן להוכיח "שכל" x מקיים את התנאי. 2A06:C701:7444:F700:D807:B820:BC7A:D368 02:48, 3 ביולי 2023 (IDT)

מה הקשר לאפס. b=f(a). עוזי ו. - שיחה 12:32, 3 ביולי 2023 (IDT)

לא פירשתי אותך נכון, כי כשכתבת בהודעתך הקודמת את הביטוי "ו-b=f(a)" אז בטעות פירשתי - את שני הסימנים שבפינה הכי ימנית של הביטוי - במשמעות של "מינוס אחד". מן הסתם אילו החלפת אותם במילה "ותציב", זה היה מונע את השגיאה הפרשנית שלי.

לגופו של עניין: השאלה שלי התייחסה לפונקציה f, שהדברים היחידים הידועים אודותיה הם, שהיא רציפה, ושהאפס אינו שייך אל תחום הגדרתה, ושהיא שואפת לאפס כשהמשתנה שלה שואף לאפס. השאלה הניחה אפוא, שמלבד המידע הזה, לא ניתן להצביע על מידע נוסף, ובפרט לא ניתן להצביע על אף שני קבועים a,b שמקיימים b=f(a). מאידך, אם תחליף את שני הקבועים האלה בשני משתנים a,b, ותכמת אותם קיומית, אז התנאי שהיצעת יהיה תקף גם לפונקציות שאינן שואפות לאפס כשהמשתנה שלהן שואף לאפס.

לסיכום: כדי למנוע עמימות לגבי משמעות הביטוי "תכונה אלגברית", אפשר לנסח את שאלתי המקורית גם כך: האם יש תכונה אלגברית שמאפייינת רק כל פונקציה השואפת ל-0 כאשר x שואף ל-0 (בין אם היא מוגדרת על אפס ובין אם לאו).

לפי הנוסח שאתה היצעת בתגובתך הראשונה, היה אפשר לנסח את שאלתי כך: האם יש משוואה פונקציונלית, שפיתרונה הוא רק כל פונקציה השואפת ל-0 כאשר x שואף ל-0 (בין אם היא מוגדרת על אפס ובין אם לאו).

2A06:C701:7444:F700:D807:B820:BC7A:D368 16:44, 3 ביולי 2023 (IDT)

המנגנון המתמטי שמטפל ב"תכונה של פונקציה שידוע עליה רק ש-..." הוא "תכונה שנכונה לכל הפונקציות המקיימות...". אני מבין שהמטרה היא לנסות לנסח את התכונה $\lim _{x\rightarrow 0}f(x)=0$ במונחים סופיים. אני חושב שאפשר לתת לזה תשובה שלילית במונחי elimination of quantifiers. אבל אנסה לנסח בצורה פחות פורמלית. היינו רוצים תכונה מהצורה $P(f)=\exists a_{1},\dots ,a_{n}\forall x_{1},\dots ,x_{m}\ F(a_{1},\dots ,a_{n},x_{1},\dots ,x_{m},f(a_{1}),\dots ,f(a_{n}),f(x_{1}),\dots ,f(x_{m}))$, כאשר F היא תכונה אלמנטרית (אי-שוויון, ללא כמתים), שתתקיים אם ורק אם הגבול של הפונקציה הוא אפס. אם היתה תכונה כזו, אפשר להתחיל לשנות את הפונקציה בנקודות a_i, ולהראות שהתכונה בעצם אינה תלויה בהן, וכו'. נראה בלתי אפשרי. עוזי ו. - שיחה 18:39, 3 ביולי 2023 (IDT)

זו טענה לא טריוויאלית: אי אפשר להגדיר את "הגבול שווה לאפס" בפחות משלושה כמתים, [Keisler https://people.math.wisc.edu/~hkeisler/limquant7.pdf] (המאמר מדבר על גבול אינסופי באינסוף, אבל זה שקול לגבול אפס באפס). השקפים מההרצאה קצת יותר נגישים. עוזי ו. - שיחה 18:43, 3 ביולי 2023 (IDT)

תודה רבה! 2A06:C701:744B:8700:4C51:95E0:908B:4699 14:12, 16 ביולי 2023 (IDT)

הסתברות – צירוף מקרים?

שלום, קורה לי די הרבה פעמים שאני קורא עיתון או עובד במחשב וברקע שומע רדיו או טלוויזיה – ובאותה שנייה שאני קורא/כותב מילה מסויימת – היא נשמעת ברדיו/טלוויזיה. אני לא מתכוון למשהו הגיוני – הקשבה לחדשות וקריאת חדשות בעיתון/מחשב – אלא צירוף מקרים ממש הזוי. דוגמה מעכשיו: ניב רסקין אומר "תודה רבה" במשדר שלו "חדשות הבוקר" בערוץ 12 – ובאותו חלקיק שנייה עברתי לדף היסטוריית העריכות של קיליאן אמבפה. ומי העורך האחרון? כמובן משתמש:תודה רבה רבה... צירוף מקרים סביר או הזוי? חזרתי • ∞ • שיחה 08:33, 5 ביולי 2023 (IDT)

בלי להתייחס לאירוע עצמו, זה יכול להיות גם וגם. צירוף מקרים הזוי מבחינתך ("נחשפתי לביטוי בו זמנית משני מקורות שונים"), אבל סביר מבחינתו של כל אחד אחר ("אחד ממאה משתמשים נחשף לביטוי בו זמנית משני מקורות שונים"). עוזי ו. - שיחה 11:18, 5 ביולי 2023 (IDT)

האם כל ריטונאיד הוא קרוטנואיד?

האם כל ריטונאיד הוא קרוטנואיד? אם כן, למה ויטמין A למשל, שהוא רטינואיד, אינו בצבע כתום-אדום כמו קרוטנואידים? תודה. ―אנונימי לא חתםמש:אנונימי ‌ 00:00, 10 בינואר 2000 (IST)

הומומורפיזם, או לפחות דמיון צורני כלשהו, בין שני חוקים מפורסמים בפיזיקה: איך מנסחים מתמטית את עצם עובדת הדמיון ביניהם?

אני מתכוון אל הדמיון הצורני:

שבין נוסחת הכח הגרביטציוני של ניוטון: $F_{grav}=K_{grav}{\frac {A_{grav}B_{grav}}{r^{2}}}$,

לבין נוסחת הכח האלקטרי של קולון: $F_{elec}=K_{elec}{\frac {A_{elec}B_{elec}}{r^{2}}}$.

כאשר:

• $F_{grav/elec}$ הוא גודל הכוח הגרביטציוני/האלקטרי (בהתאמה) שפועל בקו ישר בין שני הגופים הנקודתיים הנתונים.
• $K_{grav/elec}$ הוא הקבוע הגרביטציוני/האלקטרי (בהתאמה).
• $A_{grav/elec}$ הוא גודל המטען הגרביטציוני/האלקטרי (בהתאמה) של הגוף הנקודתי הנתון הראשון.
• $B_{grav/elec}$ הוא גודל המטען הגרביטציוני/האלקטרי (בהתאמה) של הגוף הנקודתי הנתון השני.
• $r$ הוא המרחק שבין שני הגופים הנקודתיים הנתונים.

מה שאני מחפש, זה הגד מתמטי מהצורה "יש דמיון צורני (הומומורפיזם?) בין (נוסחת?) הכח הגרביטציוני של ניוטון, לבין (נוסחת?) הכח האלקטרי של קולון".

2A06:C701:744B:8700:4C51:95E0:908B:4699 14:10, 16 ביולי 2023 (IDT)

אם הבנתי אותך נכון, אתה מתכוון לen:Inverse-square law. ‏ברוך [ShoobyD] • שיחה – 03:32, 26 ביולי 2023 (IDT)

אמנם יש קשר מסויים, אבל הוא אינו ממצה את התשובה לשאלתי, שהרי אני שאלתי, על הדמיון במבנה הכללי של שתי הנוסחאות, ולא רק על הדמיון בתלותן בריבוע של המרחק, שהוא למעשה רק פרמטר אחד מחמישה פרמטרים שבהם כרוכה כל אחת משתי הנוסחאות (ושאחד מהם הוא קבוע).

2A06:C701:7453:2F00:4166:3DA4:CC7C:6BD0 13:28, 26 ביולי 2023 (IDT)

מבחינה מתמטית, זה אפילו איזומורפיזם כי כל התכונות המתמטיות של כוח אחד נשמרות תחת הטרנספורמציה הממפה את הפרמטרים של כוח אחד אל הכוח השני. דוגמה יפה לכך היא חוק גאוס. מה שכן, מבחינה פיזיקלית הכוחות לא דומים הן בגלל המינוס שמופיע בגרביטציה והן בגלל שמטען יכול להיות גם שלילי ומסה (לפחות במכניקה ניוטונית) לא יכולה להיות שלילית.

האם יש שם מקובל למושג המתמטי הפשוט הבא:

תהיינה $f,g,T$ שלוש פונקציות שלגביהן, כל $x\in f$ מקייים $.T(f(x))=g(T(x))$

האם יותר מקובל לכנות את $T$, מורפיזם מ-$f$ אל $,g$ או הומומורפיזם מ-$f$ אל $,g$ או גם וגם? 2A06:C701:7471:3000:39AA:1A85:25C2:975B 07:43, 18 ביולי 2023 (IDT)

אכן מושג חשוב. אבל השמות תלויים בהקשר. "מורפיזם" בהקשר קטגורי, "הצמדה" אם מדובר בחבורה של פונקציות, "הומיאומורפיזם" אם מדובר במערכת דינמית, ... "הומומורפיזם" פחות מתאים. עוזי ו. - שיחה 11:06, 18 ביולי 2023 (IDT)

טוב, נוכח דבריך, אלך על מורפיזם, כי מדובר על שתי פונקציות שרירותיות, במנותק מכל הקשר של תורת חבורות ומכל הקשר טופולוגי. 2A06:C701:7471:3000:39AA:1A85:25C2:975B 12:56, 18 ביולי 2023 (IDT)

חידה (שהשאלה הזו היא רמז עבורה)

נגדיר שתי סדרות ממשיות באופן הבא. $a_{1}=1,\ b_{1}={\sqrt {3}}$, $a_{n+1}=a_{n}+{\sqrt {1+a_{n}^{2}}},\ b_{n+1}=b_{n}+{\sqrt {1+b_{n}^{2}}}$. חשב את הגבול של $b_{n}/a_{n}$. (מ"תחרות בר אילן לסטודנטים", 1991). עוזי ו. - שיחה 11:08, 18 ביולי 2023 (IDT)

לא הבנתי איך השאלה קשורה לחידה.

לאור הנתון: $,a_{1}=1,\ b_{1}={\sqrt {3}},\ a_{n+1}={\sqrt {1+a_{n}^{2}}},\ b_{n+1}={\sqrt {1+b_{n}^{2}}}$ הרי שבפשטות: $\lim _{n\to \infty }{\frac {b_{n}}{a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\sqrt {2+n}}{\sqrt {n}}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt {\frac {2+n}{n}}}=1$.

2A06:C701:7471:3000:39AA:1A85:25C2:975B 12:44, 18 ביולי 2023 (IDT)

קרא שוב את הגדרת הסדרות. עוזי ו. - שיחה 13:18, 18 ביולי 2023 (IDT)

לכאורה יכולת לפשט את החידה, כך:

נגדיר שתי סדרות ממשיות באופן הבא:

$,a_{1}=1,\ b_{1}=3$

$,a_{n+1}=1+a_{n}$

$.\ b_{n+1}=1+b_{n}$

חשב את הגבול של $b_{n}/a_{n}$.

בחידה היותר פשוטה הנ"ל, ההפרש בן שני איברים עוקבים, בסידרה נתונה מתוך השתיים, הוא המספר 1, ולכן זו פשוט סידרה עולה של המספרים הטבעיים (החל מ-3 או מ-1, תלוי בסידרה). בחידה ששאלת, ההפרש הוא לא בין שני איברים עוקבים אלא בין ריבועי שני איברים עוקבים, אבל זה לא ישנה לתוצאת הגבול. זה מה שאני רואה אינטואיטיבית, ברמה המיידית, לפני שבחנתי איך עניין המורפיזם מתקשר לכאן, ולמה הוא בכלל מסייע לפתרון החידה. 2A06:C701:7471:3000:39AA:1A85:25C2:975B 14:09, 18 ביולי 2023 (IDT)

קרא שוב את הגדרת הסדרות. אתה ממציא שאלה אחרת, וממילא לא מפתיע שאינך רואה את הקשר לעניין המורפיזם. עוזי ו. - שיחה 15:32, 18 ביולי 2023 (IDT)

נסתמאו עיניי מראות, ובכן גלה נא...

2A06:C701:7471:3000:39AA:1A85:25C2:975B 21:27, 18 ביולי 2023 (IDT)

סליחה. הנוסחה שכתבתי לא היתה נכונה, ואכן הגדירה סדרות פשוטות מאד לניתוח. בהמשך הגבתי לנוסחה הנכונה, ולא לזו שכתבתי. כעת תיקנתי. עוזי ו. - שיחה 00:59, 19 ביולי 2023 (IDT)

ועדין אינני יודע איך ניתן להיעזר במורפיזם כדי למצוא את הגבול (שהוא כמובן אחד וחצי). 2A06:C701:7453:2F00:4166:3DA4:CC7C:6BD0 22:27, 22 ביולי 2023 (IDT)

האם שתי חבורות נתונות A,B, הן איזומורפיות...

בהינתן הומומורפיזם חח"ע מ-A ל-B, עם הומומורפיזם חח"ע אחר מ-B ל-A?

או בהינתן הומומורפיזם מ-A על B, עם הומומורפיזם אחר מ-B על A?

או בהינתן הומומורפיזם חח"ע מ-A ל-B, עם הומומורפיזם אחר מ-B על A?

2A06:C701:7471:3000:39AA:1A85:25C2:975B 12:52, 18 ביולי 2023 (IDT)

לא משולש. 1. חבורה A המקיימת את התכונה שאם קיים שיכון מ-A ל-B ושיכון מ-B ל-A אז A ו-B איזומורפיות נקראת co-Hopfian group; יש כמובן חבורות שאינן כאלה. 2. חבורה A המקיימת את התכונה שאם יש העתקה מ-A על B והעתקה מ-B על A אז A ו-B איזומורפיות נקראת Hopfian group. ו-3. במקרה כזה A היא retract (נסג?) של B, והן לא צריכות להיות איזומורפיות. עוזי ו. - שיחה 15:31, 18 ביולי 2023 (IDT)

תודה על המידע.

2A06:C701:7471:3000:39AA:1A85:25C2:975B 21:28, 18 ביולי 2023 (IDT)

באגים של הקלדה ב visual studio

מצב טיפול: חדש

אני עובד ב C++ בויז'ואל סטודיו. אני מנסה למצוא איזה כלי שיסמן לי באופן בולט שגיאות הקלדה סטייל:

double z(double x, double y {

  return 1
}

(שימו לב שחסר סוגר בכותרת ואין ";" בסוף שורה)

לא משהו שיבדוק את הקוד, אלא רק שיסמן בעיות סינטקס. איך עושים את זה? כרגע הסוגר הראשון שלי הוא אדום, אבל בשביל למצוא אותו אני צריך לעבור על סקריפט ארוך תוך חיפוש צבע בולט, או להריץ ולהיתקל בשגיאה. Corvus‏,(Nevermore)‏ 12:56, 18 ביולי 2023 (IDT)

אם בחורים באקראי 100 אנשים, כמה מתוכם יהיו גברים?

מצב טיפול: חדש

נניח שישנם במדינה 10 מיליון איש (מספר גדול מאוד), שבדיוק חצי מתוכם הם גברים. שולפים באקראי 100 אנשים (כאשר כל אחד ואחת מקבלים הזדמנות שווה). כמה מתוכם הנבחרים יהיו גברים?

התשובה היא כמובן "בערך 50". אבל אני מתעניין ספציפית באותו ה"בערך". הרי אף אחד לא יופתע אם זה יהיה 51 או 48. אבל כן יופתע אם זה יהיה 80, או 2 (ולמרות שפיזית זה יתכן). אז איך הייתם מנסחים מתמטית את התשובה? 50 פלוס מינוס 5? למה דווקא 5?

המושג שאתה מחפש נקרא סטיית תקן. אם תבחר סטייה מקסימלית כלשהי מהממוצע, נניח סטייה מקסימלית של עד 5 אחוז - לכאן או לכאן, אז ככל שתגדיל את המדגם - ככה יגדלו הסיכויים לכך שהסטייה מהממוצע שתתקבל בניסוי לא תהיה גדולה מהסטייה המקסימלית מהממוצע שאותה בחרת בהתחלה. וכן להפך: אם תבחר סיכויים כלשהם שיספקו אותך, נניח 98 אחוז, אז ככל שתגדיל את המדגם, ככה תקטן הסטייה המקסימלית מהממוצע שלגביה הסיכויים הנ"ל שאותם בחרת בהתחלה יהיו הסיכויים לכך שהסטייה מהממוצע שתתקבל בניסוי לא תהיה גדולה מהסטייה המקסימלית הנ"ל מהממוצע.

אז הנה התשובה המעשית לשאלתך: לפני עריכת הניסוי, אתה בוחר סיכויים כלשהם שיספקו אותך, נניח אתה בוחר 98 אחוז סיכויים שיספקו אותך, ואז בהינתן גודל המדגם, אפשר לחשב את הסטייה המקסימלית מהממוצע שלגביה הסיכויים הנ"ל שאותם בחרת יהיו הסיכויים לכך שהסטייה מהממוצע שתתקבל בניסוי לא תהיה גדולה מהסטייה המקסימלית הנ"ל מהממוצע, שאותה כאמור ניתן לחשב רק אחרי שכבר בוחרים את הסיכויים המספקים. אגב, לא משתלם לבחור סיכויים גבוהים מדי, כיוון שככל שנבחרים סיכויים יותר גבוהים, ככה תגדל הסטייה המקסימלית הנ"ל מהממוצע שאותה ניתן כאמור לחשב לפי הסיכויים שאותם בחרת. למשל, אם תבחר מלכתחילה סיכויים של מאה אחוז, אז הסטיה המקסימלית מהממוצע שתתקבל בחישוב היא סטייה של עד 50 אחוז (מקסימום) לכאן או לכאן (כלומר אם הממוצע הוא חמישים אחוז גברים, אז יתכן שמתוך מה שתשלוף יהיו מאה אחוז גברים ואז הסטייה מהממוצע תהיה חמישים אחוז, אבל גם יתכן שממה שתשלוף יהיו אפס אחוז גברים ואז הסטייה מהממוצע שוב תהיה חמישים אחוז).

אגב, אפשר ללכת גם בכיוון ההפוך, כך שלפני עריכת הניסוי, במקום שאתה תבחר סיכויים שיספקו אותך, אתה בוחר סטייה מקסימלית מהממוצע שאותה אתה תסכים "לשלם", ואז בהינתן גודל המדגם, אפשר לחשב מה הסיכויים לכך שהסטייה מהממוצע שתתקבל בניסוי לא תהיה גדולה מהסטייה המקסימלית מהממוצע שעליה היסכמת בהתחלה. אגב, לא משתלם לבחור שהסטייה המקסימלית מהממוצע תהיה קטנה מידי, כיוון שככל שהסטייה המקסימלית מהממוצע שנבחרת היא יותר קטנה, ככה יפחתו הסיכויים הנ"ל שאותם ניתן כאמור לחשב לפי הסטיה המקסימלית מהממוצע שאותה בחרת.

רק צריך לזכור דבר בסיסי: סטייה היא כרגיל לכאן או לכאן, כלומר כרגיל לא קובעים מראש לאיזה כיוון תהיה הסטייה.

והנה תוצאה קצת מבלבלת. ככל שתיקח יותר אנשים (במקם 100 תיקח 1000, או מליון) אז התוצאות שלך יילכו ויתקרבו ל- 50%, אבל הסיכוי שבדיוק חצי מהאנשים יהיה גברים ילך וייקטן. אסף השני - שיחה 13:47, 19 ביולי 2023 (IDT)

נכון, כי השאלה התייחסה לקבוצת מדגם שעוצמתה היא בת-מנייה.

לא, לא קשור. אסף השני - שיחה 15:33, 19 ביולי 2023 (IDT)

אם עוצמת קבוצת המדגם אינה בת מניה, אז הגדלת המדגם לא תשנה את הסיכוי שעליו דיברת: הוא תמיד יהיה אפס, בלי קשר לגודל המדגם.

אם עוצמת הבעיה אינה בת מניה קיימות אמירות דומות. להגיד שהסיבה מה שאמרתי קשור לזה שזה בת מנייה זה עקום למדי. אסף השני - שיחה 20:54, 19 ביולי 2023 (IDT)

אני התייחסתי, לא לאותן "אמירות דומות" (כלשונך כעת), אלא ספציפית לנוסח המאד מדויק שבו נקטת בתגובתך הראשונה.

לגופו של עניין: המילה "כי" שבה השתמשתי בתגובתי הראשונה לך, בסך הכול מציינת תנאי מספיק לנכונותה של תגובתך הראשונה. תחשוב כאילו בתגובתי הראשונה לך כתבתי: "נכון, אם עוצמת קבוצת המדגם הנתון היא בת-מנייה". אני לא מוצא שום דבר "עקום למדי" (כלשונך), לא במילת התנאי המספיק "אם" שבה השתמשתי בפיסקה הנוכחית, ולא בפרשנות שנתתי לך בפיסקה הנוכחית למילה "כי" שבה השתמשתי בתגובתי הראשונה לך.

ולסיום, הערה כללית: באופן כללי מאד, שום דבר בדברים שלי ובדברים שלך אינו צפוי להיות עקום למדי, ובלבד שדנים לכף זכות את כוונתי ואת כוונתך. ורק שים לב, שכבר מלכתחילה דנתי לכף זכות את כוונתך שבתגובתך הראשונה, כפי שמוכח מהמילה הראשונה ("נכון") שבתגובתי הראשונה לך. לולי נהגתי כך עם כוונתך, תגובתי הראשונה לך היתה עלולה להיות מנוסחת חלילה בלשון שלילית: "לא נכון, אם עוצמת קבוצת המדגם הנתון אינה בת-מנייה". אבל אני העדפתי לשון חיובית, כדי לדון את כוונתך לכף זכות. לסיכום: הבה נדון לכף זכות את דברי שנינו.

משתמש:אסף השני צודק לגמרי. שום דבר בשאלה לא התייחס למדגם בן-מניה; מדובר במדגם סופי. אין הצדקה לכך שהדיון בעורבא פרח תופס עכשיו את רוב השטח שתחת השאלה הזו. עוזי ו. - שיחה 23:09, 19 ביולי 2023 (IDT)

כנראה יש פער תקשורתי בין שנינו. בשפה שלי, מחלקת הקבוצות בנות-המניה מכילה-ממש את מחלקת הקבוצות הסופיות. לכן כתבתי לאסף השני, שעוצמת קבוצת המדגם שעליו שאלו היא בת מניה. אגב, מתגובת אסף השני אליי מוכח, ששפתו זהה לשלי, לא לשלך. ובכל מקרה, כל הדיון הזה התחיל מהערה אגבית של אסף השני, שלולי היא, היה אפשר להישאר במסגרת של השאלה המקורית.

אפשר באותה מידה של תועלת ותבונה לומר שהמדגם הוא "סופי או גברת פלפלת". הרי זה כולל את האפשרות שהוא סופי. עוזי ו. - שיחה 02:09, 20 ביולי 2023 (IDT)

הקשר בין קבוצה סופית לבין גברת פלפלת, אינו ניכר (בלשון המעטה). אבל יש קשר פורמלי אדיר בין כל הקבוצות בנות המנייה, גם בשפה שבה אני משתמש ושלפיה מחלקת הקבוצות בנות המניה מכילה ממש את מחלקת הקבוצות הסופיות. הקשר הוא כמובן, שכל אוסף בר-מניה (במשמעות שבשפה שלי) הוא בעל התאמה חד-חד-ערכית ממנו לקבוצת המספרים הטבעיים. האם אתה מתכחש לקיומו של הקשר הזה? או שאתה חושב שהוא כה חסר חשיבות עד שהוא דומה בעיניך לקשר שבין קבוצה סופית נתונה לבין גברת פלפלת? והאמנם אינך מכיר במקובלותה של השפה שבה אני משתמש? אגב, גם ויקיפדיה משתמשת בשפה שלי, כפי שרואים בתוך הערך קבוצה בת מנייה.

על כל פנים, הסיבה שבגללה היזכרתי לאסף השני את הקבוצה בת המנייה, היתה כדי לרמוז לו, שאילו המדגם שעליו שאלו לא היה בר-מנייה, אז הסיכוי שעליו דיבר אסף השני היה בדיוק אפס, בלי קשר אל גודל המדגם. עכשיו אולי תגיד לי מה הבעיה עם זה?

הבעיה אינה במונח עצמו אלא ברלוונטיות שלו לשאלה הזו (שנחטפה ומזמן אינה משרתת את טובתו של השואל או של כל מי שיכול היה להפיק ממנה תועלת). המדגם אינו "בן מניה" אלא סופי. ההסתברות לקלוע בדיוק לחצי שואפת לאפס כשהמדגם גדל, לא מפני שמשהו כאן "בן מניה". מדגם הוא תמיד סופי. עוזי ו. - שיחה 09:13, 20 ביולי 2023 (IDT)

דבריך מבוססים על קונבנציה לשונית שלפיה המונח מדגם יכול לחול רק על קבוצה סופית. כל זה מוכיח פעם נוספת את הפער התקשורתי שעליו דיברתי בהתחלה.

לגופו של עניין: הערך העברי מדגם, כמו גם הערך העברי אוכלוסיה, אינו מניח ששני אלה סופיים. מאידך, לפי הפיסקה הראשונה של הערך דגימה של ויקיפדיה האנגלית: "בסטטיסטיקה...דגימה היא בחירה של תת-קבוצה, מדגם סטטיסטי (או מדגם בקצרה), של פרטים מתוך אוכלוסיה סטטיסטית", בעוד שלפי הפיסקה הראשונה של הערך אוכלוסיה סטטיסטית של ויקיפדיה האנגלית, "אוכלוסייה סטטיסטית יכולה להיות קבוצה...ואפשרית חבורה אינסופית של עצמים". ועוד שם: הפיסקה השניה של הפרק "ממוצע", פותחת במילים "לגבי אוכלוסיה סופית", כך וכך. משמע שתיתכן גם אוכלוסיה אינסופית (למשל אוכלוסיה שאינה בת מנייה).

עכשיו אסביר איך כל זה קשור לדיון הצדדי שהתפתח ביני לבין אסף השני. ובכן הוא כזכור העיר הערה צדדית מסוימת. אז הגבתי לו, שכדי שהיא תהיה נכונה, מספיק התנאי שלפיו המדגם הוא בר-מנייה; ואני מזכיר שבשפה שלי (כמו גם בשפה של ויקיפדיה), תגובתי הנ"ל לאסף השני על "מדגם בר-מנייה" תקפה גם למדגם הסופי שעליו נשאלה השאלה המקורית.

עכשיו אסביר את חשיבות תגובתי הנ"ל לאסף השני. ובכן מטעמים אישיים השמורים עימדי, בחרתי שתגובתי לו תנוסח באופן חיובי, אבל אילו בחרתי לנסח אותה באופן שלילי הייתי מגיב לו, שהערתו לא הייתה נכונה אילו המדגם לא היה בר-מניה. ואכן, אפשר לחשוב למשל על הקטע הממשי שבין אפס לאחד בתור האוכלוסיה הסטטיסטית של המספרים הממשיים, ומשם נדגום תת-קטע כלשהו. שים לב, שהסיכוי לכך שתת-הקטע הנבחר יהיה "בדיוק" (כלשונו של אסף השני) מחצית מהקטע המקורי (שבין אפס לאחד), הוא סיכוי של אפס. עוד אפשר לטעון (תוך שימוש במושג המידה), שהסיכויים לכך שתת-הקטע הנבחר יהיה "לפחות" מחצית מהקטע המקורי, יותר גבוהים מהסיכויים לכך שתת-הקטע הנבחר יהיה "לפחות" שני שליש מהקטע המקורי. אבל בתגובתי לאסף השני התייחסתי לדבריו אשר דנו, במדגם שהנו "בדיוק" כך וכך, ולא במדגם שהנו "לפחות" כך וכך.

לא. אוכלוסיה יכולה להיות סופית או אינסופית. מדגם הוא תמיד סופי. עוזי ו. - שיחה 11:10, 20 ביולי 2023 (IDT)

א. השפה שבה השתמשת כעת, אינה תואמת את השפה העולה מתוך הגדרת המונח "מדגם" בויקיפדיה העברית והאנגלית. שם מגבלת הסופיות אינה מופיעה.

ב. בשפה, אשר בה אני משתמש, ואשר כן תואמת את השפה העולה מתוך הגדרת המונח "מדגם" בויקיפדיה העברית והאנגלית, ניתן לנתח גם מדגמים מהסוג שאותו ניתחתי בפיסקה האחרונה שבתגובתי הקודמת.

גם לא כתוב שהמדגם אינו גברת פלפלת. זה מובן מאליו למי שקורא את הערך מדגם. המטרה היא הרי להסיק מסקנות מהמדגם על האוכלוסיה, ואי אפשר לבצע חישוב אינסופי גם אם זה לא כתוב במפורש במבוא לשום ערך. עוזי ו. - שיחה 14:58, 20 ביולי 2023 (IDT)

מדגם מוגדר בתור תת-קבוצה של אוכלוסיה סטטיסטית. מכאן עולות שתי מסקנות:

א. הואיל וגברת פלפלת (לא הסינגלטון שלה אלא היא עצמה), אינה עונה לדרישה של היות "תת-קבוצה" (ובפרט אינה עונה לדרישה של היות תת-קבוצה של אוכלוסיה סטטיסטית), לכן אף מדגם אינו יכול להיות גברת פלפלת.

ב. הואיל ותת-קבוצה אינסופית של אוכלוסיה אינסופית, כן עונה לדרישה של היות "תת-קבוצה של אוכלוסיה", לכן יש מדגם שרשאי להיות קבוצה אינסופית.

אכן כדבריך, מטרת המדגם היא ללמד על כלל האוכלוסיה. אבל אני מזכיר:

1. השואל לא התכוון להסיק - מתוך איזשהו מדגם - תכונות של כלל האוכלוסיה, אחרי שכבר הצהיר שתכונותיה כבר ידועות לו: יש בה "בדיוק" חצי גברים וחצי נשים, אלא הוא התכוון לחקור רק את הסטייה שמתקבלת באוסף בן מאה בני אדם שנשלף מתוך אוכלוסיה בת עשרה מיליון בני אדם. גם אסף השני לא התכוון להסיק - מתוך איזשהו מדגם - תכונות של כלל האוכלוסיה, אלא הוא התכוון לטעון טענה צדדית מסויימת לגבי האוסף הנשלף מהאוכלוסיה כשהוא הולך וגדל.

2. יותר מזה: השואל גם לא הזכיר כלל את המילה "מדגם", וגם אסף השני לא הזכיר "מדגם". הראשון שהזכיר כאן את המילה "מדגם" הייתי אני, והריני מכריז בזאת ששפתי אינה מעונינת להיות כפופה מראש להנחה הסמויה שאף אוסף אינסופי אינו יכול ללמד על אוכלוסיה אינסופית נתונה - שאינה בת-מניה - ושמתוכה הוא נשלף. ואולם, אם בשפתך המילה "מדגם" מוכרחת להורות על קבוצה סופית דווקא - מה שכאמור אינו הכרחי בשפתי, אז אין לי שום בעיה עקרונית לעבור משפתי לשפתך - וכך להחליף את המילה "מדגם" בביטוי אחר - למשל "אוסף שנשלף מהאוכלוסיה". כך, אחרי שאסף השני טען טענה צדדית מסוימת, אז מה שלמעשה הגבתי לו (אחרי שנחליף את המילה "מדגם" בביטוי "אוסף שנשלף מהאוכלוסיה") זה, שטענת אסף השני נכונה - אם האוסף הנשלף מהאוכלוסיה - הוא בר-מניה. אם שפתך גם מניחה, שהמונח "אוסף בר-מניה" מצביע רק על אוסף אינסופי, אז מה שלמעשה הגבתי לאסף השני (אחרי שנעבור משפתי לשפתך) זה, שטענת אסף השני נכונה אם יש התאמה חד-חד-ערכית - מהאוסף הנשלף מהאוכלוסיה - לקבוצת המספרים הטבעיים. ואני רק מזכיר, שחשיבות תגובתי הנ"ל לאסף השני, מוסברת בתגובתי הלפני-קודמת, בפיסקה (האחרונה שם) שמתחילה במילים "עכשיו אסביר את חשיבות תגובתי הנ"ל" (וגם שם אפשר בקלות לעבור משפתי לשפתך תוך החלפת המילה "מדגם" בביטוי "אוסף שנשלף מהאוכלוסיה").

מדגם הוא לא סתם "תת קבוצה" אלא "תת קבוצה סופית". זו אינה "שפתי" אלא שפתו של כל סטטיסטיקאי שיודע על מה הוא מדבר באשר הוא. השואל לא דיבר על מדגם אלא על "שליפה באקראי של 100 אנשים", כלומר אוסף סופי. עוזי ו. - שיחה 10:48, 21 ביולי 2023 (IDT)

אגיב, על אחרון ראשון, ועל ראשון אחרון:

א. לגבי המשפט האחרון שלך על השואל: אני מזכיר, שתגובתי לאסף השני התכוונה להגיב, לא לשואל, אלא לאסף השני, שבדבריו נתן אמנם דוגמאות סופיות (מאה אלף ומיליון), אבל טענתו הכללית (במנותק מהדוגמאות הסופיות האלה שאותן הוא למעשה ציין רק בסוגריים) - התנסחה בלשון המאד כללית "ככל שתיקח יותר" - ובמיוחד לא הגבילה את עצמה לדוגמאות הסופיות (שאותן הוא כאמור ציין רק בסוגריים).

ב. לגבי שני המשפטים הראשונים שלך על המונח "מדגם": אני רק מזכיר שדבריי הקודמים על המונח "מדגם" - התייחסו רק אל מה שניתן להיגזר מתוך מה שכתוב בתוך הערך "מדגם" - ולא התיימרו לטעון על המונח "מדגם" טענה כללית במנותק מהערך הנ"ל, משום שכדי לטעון טענה כללית על המונח "מדגם" צריך קודם כל לבחור את השפה - כולל את הסמנטיקה שלה - כשעושים שימוש במילה "מדגם". לגבי בחירת השפה: בתוך תגובתי הקודמת, אתה רשאי להוסיף אחרי המילה "שפתך" (שפתו של עוזי ו.) את הביטוי: "או שפתו של כל סטטיסטיקאי שיודע על מה הוא מדבר באשר הוא", ובלבד שאת זה תוסיף שם גם אחרי המילה "שפתי". ואני רק מזכיר, שכל זמן שאני משתמש בשפה שמצליחה - הן לשמור על עקביות פנימית - והן להביע תכנים בעלי משמעות (כדלהלן), אז אני רשאי להשתמש באיזו שפה שאני רוצה, כולל בשפה שבה משמעות המילה "מדגם" משוחררת מההנחה הסמויה שלפיה אף אוסף אינסופי אינו יכול ללמד על אוכלוסיה אינסופית נתונה - שאינה בת-מניה - ושמתוכה הוא נשלף. בסופו של דבר, התכנים בעלי המשמעות שהובעו בשפתי המשוחררת הנ"ל (כגון התוכן בעל המשמעות: "טענת אסף השני נכונה אם יש התאמה חד-חד-ערכית - מהאוסף הנשלף מהאוכלוסיה - לקבוצת המספרים הטבעיים"), לא התכוונו ללמוד על כלל האוכלוסיה מתוך אוסף שנשלף ממנה, אלא התכוונו רק להגיב לאסף השני - שגם הוא לא התכוון ללמוד על כלל האוכלוסיה מתוך אוסף שנשלף ממנה - אלא התכוון רק לטעון טענה צדדית מסויימת לגבי האוסף עצמו בעודו הולך וגדל. הייתי יכול יותר להבין את מגמת דבריך, אילו היצבעת על אי עקביות בשפתי המשוחררת הנ"ל, אבל לטעמי לא ניתן להצביע בה על אף אי עקביות, פשוט משום ששפתי מניחה פחות ממה שמניחה שפתך (או שפתו של כל סטטיסטיקאי שיודע על מה הוא מדבר באשר הוא).

שפה אינה נבחנת רק בעקביות פנימית, אלא בכך שהיא מסוגלת לתאר מציאות, ובפרט בהתאמה שלה לשפתם של אחרים. אם תקרא ערך כלשהו המסתעף מהסקה סטטיסטית תראה כמה מופרך הרעיון של מדגם אינסופי. עוזי ו. - שיחה 12:06, 21 ביולי 2023 (IDT)

תגובתך האחרונה מכילה שלוש טענות, שבפועל מתעלמות משתי עובדות שעליהן כבר עמדתי בתגובתי הקודמת, אז אציין אותן שוב:

א. לגבי טענתך על מופרכותו של המושג התיאורטי "מדגם אינסופי" (שאותו ציינת בסוף תגובתך האחרונה): כאמור, שפתי מניחה פחות ממה שמניחה שפתך, ובמיוחד היא אינה מניחה כלום על שאלת עצם היתכנות מדגם אינסופי, או כפי שגם ניתן לנסח זאת דיפלומטית: "שפתי אינה מאשרת ואינה מכחישה" (האם יתכן מדגם אינסופי). אמנם מי שישתמש בשפתי, עלול להשתמש בה לרעה כדי לטעון כל מיני טענות מופרכות, כגון לטעון "תיתכן שביעייה זוגית" (כשהשפה מניחה את אכסיומות פיאנו) וכדומה, אבל אתה לא תוכל להאשים בכך את עצם שפתי - שבה הוא משתמש - פשוט משום שהיא מניחה פחות ממה שמניחה שפתך.

ב. לגבי ה"התאמה" (כלשונך) של שפתי לשפתם של אחרים: כאמור, שפתי מניחה פחות ממה שמניחה שפתם של אחרים, ולכן שפתי אינה מסוגלת להתנגש עם אף הנחה המונחת בשפתם של אחרים, ולכן שפתי אינה יכולה להיות נגועה בשום "אי התאמה" עם שפתם של אחרים. הנה דוגמה פשוטה שמדגימה את היעדר אי ההתאמה: נניח שתושב מאדים משתמש בשפה תמימה שאינה מניחה את אכסיומות פיאנו, כך שהביטוי "מספר זוגי" (כלומר "מספר שהנו סכום שני מספרים טבעיים") בשפה זו - אינו מניח אפוא מראש את מסקנתנו הסמויה המוסכמת - שהמספר שבע אינו מספר זוגי. עוד נניח שאותו תושב מאדים ישתמש בשפתו התמימה הנ"ל כדי לטעון את הטענה הנכונה התמימה: "כל שביעיית אנשים שמספרם זוגי היא שביעיית בני תמותה". אז לא נוכל להגיד כי, הטענה התמימה הזו של אותו תושב מאדים - שמנוסחת בשפתו התמימה הנ"ל, אינה תואמת לטענה מקבילה שתנוסח בשפתנו (המניחה את אכסיומות פיאנו) - כגון לטענה היותר חזקה: "אין שביעיית אנשים שמספרם זוגי ולכן כל שביעיית אנשים שמספרם זוגי היא שביעיית בני תמותה באותו האופן שהיא שביעיית תרנגולים". לא ניתן להראות - שטענתו התמימה הנ"ל של אותו תושב מאדים - "אינה מתאימה" לטענתנו המקבילה הנ"ל, פשוט משום - שהשפה התמימה שבה הוא משתמש - מניחה פחות ממה שמניחה שפתנו, ולכן גם לא ניתן להראות - ששפתו התמימה "אינה מתאימה" לשפתנו. אם למשל נשאל אותו מה דעתו על טענתנו המקבילה היותר חזקה הנ"ל (בלי לספר לו שהביטוי "מספר זוגי" שבשפתנו מניח את אכסיומות פיאנו), הוא יגיב דיפלומטית, בצדק מבחינתו: "אינני מאשר ואינני מכחיש".

ג. לגבי ציפייתך משפתי שתתאר מציאות: ובכן היא בהחלט מצליחה לתאר מציאות, למשל לטעון את ההגד בעל המשמעות: "טענת אסף השני נכונה אם יש התאמה חד-חד-ערכית - מהאוסף הנשלף מהאוכלוסיה - לקבוצת המספרים הטבעיים". שים לב, שההגד הזה בעל המשמעות אינו משתמש במונח מעורר המחלוקת "מדגם", וכבר ציינתי שגם תגובתי לאסף השני תישאר בעלת תוכן משמעותי - גם אם היא תתורגם לשפתך אחרי שבתגובתי לאסף השני נחליף את המונח "מדגם" במונח "אוסף שנשלף מהאוכלוסיה".

אני מציע שתעביר את הדיון הזה לוויקיפדיה האלמונית. עוזי ו. - שיחה 14:04, 21 ביולי 2023 (IDT)

ואני מזכיר, שכל הדיון הזה התחיל מהערה צדדית של עורך, שאגב אינו אני, ושלמעשה אינו השואל המקורי - האלמוני אף הוא.

מסקנה

ואחרי כל החפירה על סופי, בר מניה, בר מינן, מדגם, ואכלוסיה, גברת פלפלת ואלמונים... מישהו יכול לענות על השאלה?

התגובה הראשונה שקיבלת היא מענה די מפורט. מספר הגברים במדגם בגודל n יהיה ${\frac {n}{2}}\pm 1.96{\frac {\sqrt {n}}{2}}$, בסיכוי של 95%. מספר הקסם 1.96 תלוי בסיכוי הזה (שניהם גדלים יחד). עוזי ו. - שיחה 16:43, 21 ביולי 2023 (IDT)

עוזי בחר בשבילך סיכוי של 95 אחוז, וכך חישב בשבילך את הסטיה המתאימה לסיכוי הנ"ל. אבל בתגובתי הראשונה לך, לא חישבתי בשבילך את הסטיה, כי עדין לא סיפרת לנו מה הסיכוי שאותו בחרת. רק הידרכתי אותך שם, שכדי לחשב את הסטיה אתה קודם צריך לבחור את הסיכוי, מה שלא עשית, ולכן לא קיבלת ממני שם את חישוב הסטייה.

תורת היחסות הפרטית, סיבתיות ומסע אחורה בזמן

מצב טיפול: חדש

על פי עקרון הסיבתיות בתורת היחסות הפרטית, מאורע המתרחש בהווה ב-$t_{1}$ יכול להשפיע רק על מאורעות עתידיים, כלומר מאורע בזמן $t_{2}>t_{1}$ ללא תלות במערכת הייחוס. זוהי תוצאה הנובעת משימור האינטרוול המבוסס על הניסיון. לעומת זאת, מסע אחורנית בזמן ישפיע על זמן בעבר, דהיינו $t_{2}<t_{1}$ ולכן, סותר לכאורה את עקרון הסיבתיות. מדוע עדיין יש דיבורים על מסעות אחורנית בזמן דרך חורי תולעת וכדו'?

שיכון (=מונומורפיזם).

בסימנים $\operatorname {dom} (t)$ וכן $,\operatorname {im} (t)$ אני משתמש כדי לסמן תחום וכן תמונה (בהתאמה), של פונקציה נתונה $.t$

במונח: "שיכון" של פונקציה נתונה ראשונה $f:\operatorname {dom} (f)\to \operatorname {im} (f)$ בתוך פונקציה נתונה שניה $,g:\operatorname {dom} (g)\to \operatorname {im} (g)$

(או "מונומורפיזם" מפונקציה נתונה ראשונה $f:\operatorname {dom} (f)\to \operatorname {im} (f)$ לפונקציה נתונה שניה $,(g:\operatorname {dom} (g)\to \operatorname {im} (g)$

אני מתכוון, כצפוי:

לזוג של העתקות חד-חד-ערכיות:

$,\phi :\operatorname {dom} (f)\to \operatorname {dom} (g)$ כלומר מהתחום של $f$ לתחום של $,g$

$,\varPhi :\operatorname {im} (f)\to \operatorname {im} (g)$ כלומר מהתמונה של $f$ לתמונה של $,g$

כך שמתקיים$.g\circ \phi =\varPhi \circ f\ :$

שאלה:

בהינתן זוג של פונקציות אפיניות בלתי קבועות (כלומר פונקציות מהטיפוס $,px+q$ עם קבועים $,p\neq 0,\ q$ לכל אחת משתי הפונקציות):

$,f:\operatorname {dom} (f)\to \operatorname {im} (f)$ שבתחומה $\operatorname {dom} (f)$ יש לפחות ארבעה איברים,

$,g:\operatorname {dom} (g)\to \operatorname {im} (g)$

המקיימות שלפונקציה הראשונה יש שיכון בתוך הפונקציה השניה,

איזה תנאי, שהנו יותר אינטואיטיבי מהתנאי הבא, ושהנו כמה שפחות מגביל (כלומר כמה שיותר חלש), יספיק כדי ששתי פונקציות נתונות נוספות:

$,F:\operatorname {im} (f)\to \operatorname {im} (F\circ f)$

$,G:\operatorname {im} (g)\to \operatorname {im} (G\circ g)$

תקיימנה את התנאי, שלהרכבה הראשונה $(F\circ f):\operatorname {dom} (f)\to \operatorname {im} (F\circ f)$ יהיה שיכון בתוך ההרכבה השניה $?\ (G\circ g):\operatorname {dom} (g)\to \operatorname {im} (G\circ g)$

הבהרה מושגית: במושג "תנאי כמה שפחות מגביל (כלומר כמה שיותר חלש)", המטרה היא, למשל למנוע מהתנאי לדרוש משתי הפונקציות הנתונות הנוספות $F,G$ להיות פונקציית הזהות, ובמיוחד למנוע ממנו להציב מראש כל מגבלה על גודל תמונת הרכבה נתונה.

נ.ב. כמובן, תנאי מספיק אינטואיטיבי כזה, יצטרך להניח (לפחות במובלע) כמה תנאים מוקדמים הכרחיים, למשל שיש העתקה חד-חד-ערכית $,N:\operatorname {im} (F\circ f)\to \operatorname {im} (G\circ g)$ כלומר מתמונת ההרכבה הראשונה לתמונת ההרכבה השנייה.

2A06:C701:7453:2F00:4166:3DA4:CC7C:6BD0 22:23, 22 ביולי 2023 (IDT)

ההנחה שהפונקציות אפיניות מסגירה שאתה שואל שאלה כללית יותר מזו שאתה מתכוון לשאול. עוזי ו. - שיחה 22:35, 22 ביולי 2023 (IDT)

אני עוסק כעת בפונקציות אפיניות, ולכן שאלתי רק עליהן, וזאת כדי להקל על המשיבים, שמתבקשים אפוא לענות על שאלה שמוגבלת לפונקציות אפיניות בלבד.

לא הבנתי, למה הגבלת השאלה לפונקציות אפיניות, הופכת לדעתך את השאלה ל"יותר כללית". לדעתי אם כבר אז להפך: כל הגבלה של שאלה עושה את השאלה פחות כללית.

לגופו של עניין: אם למשיבים יהיה יותר נוח לענות על שאלתי בלי שתוגבל לפונקציות אפיניות, אז מבחינתי אין בעייה. 2A06:C701:7453:2F00:4166:3DA4:CC7C:6BD0 23:06, 22 ביולי 2023 (IDT)

האם p,x,q בהגדרה שלך הם מספרים ממשיים? האם הקבוצות $\operatorname {dom} (f)$ וחברותיה הן קטעים? עוזי ו. - שיחה 23:37, 22 ביולי 2023 (IDT)

לגבי שאלתך הראשונה: כן.

לגבי שאלתך השניה: אין לי התנגדות להניח, שכל תחום של פונקציה נתונה, הוא קטע. אבל טווח של פונקציה (למשל טווח ההרכבה הראשונה $F\circ f$ או טווח ההרכבה השניה $(G\circ g$, ככל שלגביו לא נתון שהוא מהווה תחום של פונקציה אחרת (כפי שלמשל נתון לגבי התמונה של f או של g), עלול להיות קבוצה סופית של מספרים ממשיים.

2A06:C701:7453:2F00:4166:3DA4:CC7C:6BD0 00:07, 23 ביולי 2023 (IDT)

הערת פותח הדיון. אמש פתרתי לעצמי את הבעייה המקורית שעוררה אצלי את הדיון הנוכחי - שהנו מישני לה למעשה, ולכן בזאת אני גונז אותו. 2A06:C701:7453:2F00:4166:3DA4:CC7C:6BD0 13:22, 26 ביולי 2023 (IDT)

למה חישוב אחוזי השומן בחלב עזים נעשה באמצעות ממוצע משוקלל ולא באמצעות ממוצע רגיל?

מצב טיפול: חדש

שבוע טוב לכולם,

על מוצרי חלב שמקורם בחלב עזים מלא נכתב "מיוצר מחלב עיזים מלא ועל כן באופן טבעי קיימת שונות בין עונות השנה בערכי השומן והחלבון. הערכים בטבלה משקפים ממוצע שנתי משוקלל". אני מבין שאחוז השומן משתנה בין העונות, וכן גם תנובת החלב, אולם צריכת החלב של הלקוח הסביר אחידה פחות או יותר לאורך השנה. אם מדובר בגבינות עזים עם חיי מדף ארוכים, ויש שינויים עונתיים בהיקף ייצור הגבינות, אז יש הצדקה לשימוש בממוצע משוקלל. התוכלו בבקשה להסביר לי מדוע יש צורך בממוצע משוקלל כאשר מדובר בחלב, יוגורט או גבינות טריות המועדות להתקלקל מהר? תודה, ליאור पॣ • ה' באב ה'תשפ"ג • 09:22, 23 ביולי 2023 (IDT)

מן הסתם ממוצע על פי כמות הצריכה ולא ממוצע קלנדרי. מסתבר שהייצור והצריכה אינם אחידים לאורך השנה. עוזי ו. - שיחה 11:15, 23 ביולי 2023 (IDT)

לפי גרף 1 וגרף 2ב, בקיץ העזים מניבות יותר חלב, ואילו בחורף הן מניבות פחות חלב עם ריכוז גבוה יותר של שומן. ממוצע רגיל (קלנדרי) עונה על השאלה "מה ריכוז השומן הממוצע שצורך לקוח הקונה חלב באותה תכיפות לכל אורך השנה?". ממוצע משוקלל עונה על השאלה "מה ריכוז השומן הממוצע שצורך לקוח המתאים את צריכת החלב שלו לתפוקת החלב של העז?". בהנחה שאינני גדי עזים, מדוע קרטון החלב מספק לי דווקא את התשובה לשאלה השנייה? ליאור पॣ • ה' באב ה'תשפ"ג • 12:22, 23 ביולי 2023 (IDT)

הם נציגי המחלבה ולא נציגי הלקוח... עוזי ו. - שיחה 16:18, 23 ביולי 2023 (IDT)

תמונת פונקציה: ייעוץ טרמינולוגי.

האם יש שם כללי נפוץ, לעיסוק מתמטי בתמונות של פונקציות (ושל הרכבותיהן)? למשל כשהעיסוק הוא, בעובדה - שתמונת פונקציה נתונה - מכילה תמונת פונקציה נתונה אחרת, או בעובדה שתמונה נתונה אינה חסומה, או בעובדה שבתמונה נתונה נמצא איבר יחיד (כלומר שהפונקציה קבועה), וכדומה.

2A06:C701:7453:2F00:4166:3DA4:CC7C:6BD0 14:04, 26 ביולי 2023 (IDT)

אין מחקר בתחום הזה. התכונות האלמנטריות מופיעות בספרי מבוא לתורת הקבוצות. תכונות יותר משוכללות - בתרגילים בספרים האלה. עוזי ו. - שיחה 19:00, 26 ביולי 2023 (IDT)

אחדד את השאלה: נניח שבפנינו עומדת בעיה ששייכת לתחום יותר מתקדם מתורת הקבוצות: נניח בעיה אלגברית או דיפרנציאלית או בעייה בתורת המספרים וכדומה. האם יש מונח מתאים שיתאר בקצרה את העובדה, שכדי לפתור את הבעייה, לא מספיקות טכניקות קלאסיות ששייכות לתחום המתקדם הנ"ל, אלא צריך להשתמש בטכניקות הרבה יותר יסודיות - למשל על ידי השוואת "תמונות של פונקציות" - כפי שהידגמתי בשאלתי שאליה הגבת כעת?

אחדד עוד יותר: נוכח דבריך, האם יש להגיד למשל, שכדי לפתור את הבעיה האלגברית/הדיפרנציאלית וכדומה, צריך לשקול "שיקולים של תורת הקבוצות"? האמנם זה המונח המתאים? או שאולי יש מונח יותר ספציפי, שגם יתייחס נקודתית לעובדה שפיתרון הבעיה האלגברית/הדיפרנציאלית עובר - לא סתם "דרך תורת הקבוצות" (כפי שהיצעת כעת) - אלא ספציפית "דרך השוואת/בחינת תמונות של פונקציות" כפי שלמשל הידגמתי בשאלתי הנ"ל שאליה הגבת כעת?

2A06:C701:7453:2F00:4166:3DA4:CC7C:6BD0 19:31, 26 ביולי 2023 (IDT)

טיבם של שיקולים אלמנטריים הוא ששוקלים אותם לפי הצורך בלי לעשות מזה עניין. עוזי ו. - שיחה 21:43, 26 ביולי 2023 (IDT)

אחדד את השאלה, על ידי דוגמאות שידועות לך:

א. לפני כמה ימים היצגת חידה, שנראית שאלה בתורת הגבולות, אבל טענת שניתן לפתור אותה באופן יעיל על ידי שיקולים מתורת המורפיזמים. אני מניח שהתכוונת להפתיע בכך את הקוראים, ולכן ניתן לנסח את טענתך על ידי הגד מפתיע מטיפוס "למרות שזאת נראית חידה בתורת הגבולות, פתרונה היעיל עובר דרך תורת המורפיזמים".

ב. משפט גודסטיין (Goodstein's theorem), נראה ככזה שמתיימר לענות על שאלה בתורת המספרים, או לפחות בתחום לא רחוק, אבל בפועל ניתן להוכיחו רק על ידי שיקולים מתורת הקבוצות, ולכן ניתן לנסח זאת בהיגד מפתיע מטיפוס "למרות שזאת נראית שאלה בתורת המספרים, פתרונה חייב לעבור דרך שיקולים מתורת הקבוצות".

ג. יש שאלות בתורת המספרים הממשיים שפתרונן מסתמך על אקסיומת הבחירה, אז ניתן לנסח זאת על ידי הגד מפתיע מקביל.

השאלה המקורית שלי היתה אפוא, מה קורה כאשר פתרון של שאלה בתחום כלשהו, שיותר מתקדם מתורת הקבוצות, נניח שאלה בתחום האלגברה או הקלקולוס וכדומה, עובר דרך בחינת/השוואת תמונות של פונקציות. בהתחלה חשבתי לנסח זאת בהיגד מפתיע מטיפוס "למרות שזאת נראית חידה באלגברה/בקלקולוס, פתרונה חייב לעבור דרך שיקולים של בחינת/השוואת תמונות של פונקציות". אבל זה נראה לי ניסוח מסורבל מדי. לאור תגובתך הראשונה, האם אתה מציע לנסח "למרות שזאת נראית חידה באלגברה/בקלקולוס, פתרונה חייב לעבור דרך שיקולים מתורת הקבוצות"? אמנם יכלתי לנסח זאת לפי ההצעה שלכאורה נגזרת מתגובתך הראשונה, לולי העובדה שהביטוי "תורת הקבוצות" נראה לי כללי מדי, בעוד שרציתי שהרמז שאתן לפיתרון-השאלה יתמקד יותר ספציפית ברמיזה לשיקולי בחינת/השוואת תמונות של פונקציות, אבל כך שהרמז ינוסח באופן פחות מסורבל, ואפשר גם שינוסח באופן יותר כללי, אבל לא יותר מדי כללי כמו "שיקולים מתורת הקבוצות". אפילו הביטוי "שיקולים מתורת הפונקציות" נראה לי כללי מדי, כי אני רוצה שהרמז ינחה באופן יותר ישיר לכיוון של בחינת תמונות של פונקציות, אבל בלי שהרמז יהיה עד כדי כך ממוקד/מפורש.

2A06:C701:7453:2F00:4166:3DA4:CC7C:6BD0 21:06, 27 ביולי 2023 (IDT)

החידה שהצעתי לא נפתרת על ידי "שיקולים מתורת המורפיזמים", אלא בעזרת טריק של הצמדת פונקציות. אף אחד לא יגיד שיצירתו של גיבון על נפילתה של האימפריה הרומית היא "סקירה היסטורית, סוציולוגית וטכנולוגית המבוססת על שיקולים מתחום הקריאה והכתיבה". שיקולים טריוויאליים הם חלק טבעי מכל נימוק מתמטי, גם כשהוא משתמש בכלים כבדים יותר. עוזי ו. - שיחה 22:12, 27 ביולי 2023 (IDT)

רק אחדד, החידה שאותה היזכרתי בפיסקה האחרונה של תגובתי הקודמת, נפתרת על ידי טריק לא טריויאלי (שכאמור מבוסס על השוואת/בחינת תמונות של פונקציות ושל הרכבותיהן).

לסיכום:

החידה שאותה היצגת, ושלכאורה היתה אמורה להיפתר על ידי כלים של תורת הגבולות, נפתרת "על ידי טריק של הצמדת פונקציות". זה הנוסח, הלא כן?

משפט גודסטיין, שלכאורה היה אמור להיות מוכח על ידי כלים של תורת המספרים, מוכח "דרך תורת הקבוצות". לדעתי זה הנוסח.

איזושהי חידה קשה לפיצוח, שאותה היזכרתי בפיסקה האחרונה של תגובתי הקודמת, ושלכאורה הייתה אמורה להיפתר על ידי כלים אלגבריים או דיפרנציאליים, נפתרת על ידי...? "על ידי תורת הקבוצות"? על ידי "טריק [לא טריויאלי] של השוואת תמונות של פונקציות"? איך היית מציע לנסח, בתכלס? האופציה הראשונה נראית לי רמז כללי מדי, והאופציה השניה נראית לי רמז ממוקד/מפורש מדי, והיא גם מנוסחת באופן מסורבל מדי. רציתי נוסח פחות כללי מאשר "על ידי תורת הקבוצות", אבל יותר כללי מהנוסח המסורבל שבאופציה השניה.

2A06:C701:7453:2F00:4166:3DA4:CC7C:6BD0 23:43, 27 ביולי 2023 (IDT)

אני שוב מציע שאם כלי העבודה שבו אמורים להשתמש הוא לא מברגה חשמלית עם ראש משולש או מבער פרופן, אלא חמש אצבעות, הניסוח לא יכלול אזכור של כלי העבודה. עוזי ו. - שיחה 00:27, 28 ביולי 2023 (IDT)

אז זהו, שלא מדובר בחמש אצבעות. מדובר בטריק לא טריויאלי. כמו שהטריק של הצמדת פונקציות, שאותו היצעת כדי לפתור חידה מתורת הגבולות, כנראה אינו טריק טריויאלי, עובדה שטרחת לתאר אותו בתור "טריק של הצמדת פונקציות". ציפיתי אפוא, שגם בחידה שאותה היזכרתי בפיסקה האחרונה של תגובתי הלפני קודמת, יהיה ניתן לנסח משהו דומה, שמתחיל במילה "טריק", רק שלא ברור לי איזה ביטוי ראוי להוסיף אחריה, וזאת בשונה מהחידה שהיצעת מתורת הגבולות, שלגביה כן היה ברור איזה ביטוי יש להוסיף אחרי המילה "טריק".

2A06:C701:7453:2F00:4166:3DA4:CC7C:6BD0 04:50, 28 ביולי 2023 (IDT)

אם הטריק שלך בודק, לא רק ערכים נקודתיים שבתמונת הפונקציה, אלא את התמונה כולה, ובדיקתה מבוססת בין השאר גם על רציפותה של הפונקציה, כך שבלעדי הרציפות הטריק לא היה עובד, אז ה"שיקולים" שעליהם מבוסס הטריק ושאת שמם אתה מחפש נקראים "טופולוגיים".

אבל עדין לא סיפרת, האם הפונקציות שתמונותיהן נבדקות בטריק הן באמת רציפות, והאם רציפותן (אם בכלל) היא באמת חיונית בשביל הטריק.

מקווה שעזרתי.

כלל השרשרת, נגזרות חלקיות

מצב טיפול: חדש

בתוכנה אחת מצאתי את החישוב הבא:

dTdV_S( V, P, T)= -pSpV_T(V,T) / pSpT_V(V,T)

כאשר d מסמן נגזרת, p מסמן נגזרת חלקית ואינקס אחרי קו תחתון זה "קבוע". כלומר pSpV_T זה "נגזרת חלקית של S לפי V, כאשר T נשאר קבוע".

המשמעות של המשתנים פחות חשובה, אבל אפשר לנחש. מה שאני רוצה להבין היא מדוע זה נכון: החישוב הוא עבור S קבוע. אבל בשני הנגזרות החלקיות "מזיזים" את S. אז איך זה שזה נגזרת עבור S קבוע? 176.12.178.77 19:04, 30 ביולי 2023 (IDT)

אתה מוזמן לנסח בסימון המקובל, ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}$. אחד היתרונות של סימון מוצלח הוא בכך שקשה לנסח בו דברים שאינם יכולים להיות נכונים. עוזי ו. - שיחה 21:45, 30 ביולי 2023 (IDT)

כאשר עובדים בתוכנה, אין לך את האפשרות לעשות TEX. אז בסימון המקובל השורה מ-C נראית ככה:$({\frac {dT}{dV}})_{s}=-({\frac {\partial s}{\partial V}})_{T}/({\frac {\partial s}{\partial T}})_{V}$

סוגריים עם אינדקס תחתון הוא סימון שכזכור לי פחות מקובל במתמטיקה, אבל מופיע רבות בתרמודינמיקה. ראו לדגומה פה ופה.

אני לא מבין מה משמעות הסוגריים (כפי שנפסק במקרה של סרן ר', כל משתנה הוא קבוע לשעתו). בלי הסוגריים זה פשוט כלל השרשרת: ${\frac {dT}{dV}}=-{\frac {\partial s}{\partial V}}/{\frac {\partial s}{\partial T}}$, פרט לזה שהסימן אמור להיות חיובי. אולי יש כאן תופעה יותר מסובכת שהסימון מסתיר לי. עוזי ו. - שיחה 13:27, 31 ביולי 2023 (IDT)

עוזי ו., הסימון דווקא אמור להיות שלילי לפי triple product rule. המינוס זה חלק מהנוסחה של ככל השרשרת של אוילר (Triple product rule). פיזיקאים משתמשים באינדקס תחתון בשביל להדגיש שמדובר בנגזרת לפי משתנה אחד של פונקציה עם משנים רבים. המשתנה המודגש באינדקס נשאר קבוע, והאחרים יכולים להשתנות. מדובר בסימון מאוד מקובל בענף. Corvus‏,(Nevermore)‏ 13:51, 31 ביולי 2023 (IDT)

עכשיו הבנתי את תפקיד הסוגריים. מדובר בנגזרות בכיוון שבו משתנה אחד קבוע, וזה אכן משנה את המצב. תודה. עוזי ו. - שיחה 14:07, 31 ביולי 2023 (IDT)

שאלת המשך, גזירה נומרית

אני מעוניין לחשב נגזרת $({\frac {\partial T}{\partial P}})_{s}$ באופן נומרי, כאשר עומדות לרשותי 3 פונקציות לא אנליטיות (במובן שאין לי אפשרות לראות "מה יש בפנים", אבל יש אפשרות לקרוא להם עם משתנים): $S(\rho ,T),P(\rho ,T),\rho (P,T)$. אפשר להניח לצורך העניין שהפונקציות גזירות למקוטעין. אני מעוניין לחשב את הנגזרת החלקית לנקודה ספציפית P0, T0.

אז בשימוש בכלל הזה אני עושה: $({\frac {\partial T}{\partial P}})_{S}=-({\frac {\partial S}{\partial P}})_{T}\cdot ({\frac {\partial S}{\partial T}})_{P}$, עד כאן זה נכון? את הנגזרת לפי T ב רו קבוע קל לחשב. אני עושה $({\frac {\partial S}{\partial T}})_{\rho }={\frac {S(\rho ,T+\Delta T)-S(\rho ,T)}{\Delta T}}$ כאשר \Delta T זה איזה ערך קטן ביחס ל-T. אותו כנ"ל לגבי החישוב של נגזרת חלקית של S לפי רו בT קבוע. כנ"ל אני יכול לחשב נגזרת של P לפי רו או לפי T בנפרד ולהפיך. אין בעיה לחשב באופן ישר רו0 שיתאים ל נקודה הרצויה.

לסיכום, הכלים שלי הם: $\left({\frac {\partial S}{\partial \rho }}\right)_{T},\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{\rho },\left({\frac {\partial P}{\partial \rho }}\right)_{T},\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)_{\rho },\left({\frac {\partial \rho }{\partial P}}\right)_{T},\left({\frac {\partial \rho }{\partial T}}\right)_{P},S(\rho ,T),P(\rho ,T),\rho (P,T)$

איך בעזרת אבני הבניין הללו אפשר לחשב את $({\frac {\partial T}{\partial P}})_{s}$ בנקודה נתונה?

אקסטרפולציה ליניארית

כבר לא זוכר מה למדנו בבי״ס...
יש לי n נתונים כל x זמן. אני רוצה לחזות תהיה התוצאה ב-f(n+1). הגודל של n הוא קטן (כרגע 3) אבל אני רוצה נוסחת כללית. האם אני צריך למצוא ממוצע של השיפועים בין f(xi) & f(xi+1), ואז להשתמש בו ע״מ למצוא את האיבר החדש? Shannen - שיחה 09:52, 2 באוגוסט 2023 (IDT)

אוקי, מכאן לא יבוא עזרי.. מצאתי שרגרסיה ליניארית היא הפתרון בשבילי. Shannen - שיחה 08:30, 4 באוגוסט 2023 (IDT)

האם ניתן לחזות אובייקט לפי העקבה שלו?

מצב טיפול: חדש

האם ניתן לזהות אובייקט גיאומטרי ע"ס השובל / עקבה שהוא מותיר על משטח מישורי לאחר שהוא מתגלגל עליו?

לדוגמה: אני טובל ביצה בדיו ונותן לה להתגלגל על שלוחן. האם על סמך העקבה ניתן לזהות שזו הייתה ביצה?

ברור שלא תמיד ניתן לחזות, למשל גליל, אי אפשר לחזות מה הרדיוס שלו רק מהעקבה.

איך זה יתכן שרקורסיה בכלל פעולת?

מצב טיפול: חדש

נניח פונקציה בסיסית ביותר:

פונקציה Y מקבלת פרמטר אחד X. עושה עליו חישוב$Y(X)$. במידה ותוצאת החישוב היא אפס, אז הפונקציה מפעילה את עצמה עם X טיפה קטן יותר כלומר $Y(0.99*X)$.

הדוגמה היא סתם שבשביל להמחיש שהפונקציה Y קוראת לפונקציית Y.

מה שאני לא מבין הוא איך זה יתכן? הרי בתוך הסקופ של פונקציית Y לא הוגדרה פונקציה בשם Y. נכון? איך המחשב יודע למצוא את המבנה הפונקציונלי של Y כשהוא כבר בתוך Y?

תשובה ארוכה: ממליץ מאוד על הקורס מ-Nand לTetris (חלק 2) של האוניברסיטה העיברית. ראה כאן. הם דנים שם בנושא באופן ממצה.

תשובה קצרה (ולא מאוד מלאה): לצורך הפשטות נניח שמדובר במפרש. המפרש קורא את התוכנה שלך שורה שורה ומבצע פעולות לפי התוכנה. הוא מחזיק אצלו משתנים שונים. ברגע שהוא מגיע לקריא לפונקציה Y הוא פשוט קופץ לתחילת הפונקציה ומתחיל לבצע משם (כך אפשר לחשוב על רקורסיה כסוג של לולאה). בהסבר הזה חסרות מספר נקודות:

• המפרש צריך לדעת את המשמעות של שהפרמטרים של הפונקציה. בהתחלה הם הפרמטרים המקוריים שאיתם קראתה לפונקציה, אבל אחרי הקריאה הבאה יש להם ערך חדש.
• המפרש צריך לשמור אפשהו את הערכים הישנים של הפרמטרים כדי שאחרי שיגמור לבצע את הקריאה הפנימית הוא יוכל לחזור לבצע את הקריאה המקורית נאותו המקום.
• המפרש צריך לשמור אפשהוא את הננקודה בקוד בה התבצעה הקריאה, כדי שיוכל לחזור אליה.
• מיכיון שמדובר ברקורסיה, המפרש לא יכול לדעת מראש כמה קריות מקוננות (קריאה בתוך קריה בתוך קריאה...) יש כך שהוא לא יודע כמה מקום צריך בשביל לשמור את כל המידע שצוין מעלה ולא יכול להקצות לו את המקום מראש.

כל הבעיות האלה נפתרות באופן אלגנטי עם מבנה נתונים שנקרא מחסנית.

בעבר היו מהדרים שלא השתמשו במחסנית ולא אפשרו רקורסיה. יש יתרון לגשה זאת כי היא מהירה יותר. אם אני לא טועה הגרסאות הראשונה של fortran היו כאלה.

בהצלחה רמי (Aizenr) - שיחה 17:32, 10 בספטמבר 2023 (IDT)

אין שום בעיה שפונקציה תכיר פונקציה מחוץ לסקופ שלה. היחידה הבסיסית להכרת פונקציות היא לרוב קובץ או מחלקה (ולא סקופ של פונקציה), והיא ניתנת להרחבה בדרכים שונות ומשונות. אסף השני - שיחה 19:19, 10 בספטמבר 2023 (IDT)

ברור, זה משום שהיא כבר פעלה קודם לכן. עוזי ו. - שיחה 20:53, 10 בספטמבר 2023 (IDT)

נגזרת לוגוריתמית

מצב טיפול: חדש

לעתים נותנים נגזרת בצורה ${\frac {d\log(x)}{d\log(y)}}$, בזמן שאני מעוניין להשתמש ב- ${\frac {d(x)}{d(y)}}$. הלוג הוא לפי בסיס 10.

איך עוברים מהצורה הזאת לשניה? הבנתי שיש איזה טריק של לחלק בy או משהו כזה. מישהו מכיר?

מתבססים על הקשר $d(\log x)={\frac {dx}{x}}$ ואז ${\frac {d\log x}{d\log y}}={\frac {dx/x}{dy/y}}={\frac {y}{x}}{\frac {dx}{dy}}$. – ד"ר MathKnight ✡ (שיחה) 17:51, 11 בספטמבר 2023 (IDT)

הערה, אני השתמשתי ב-log לפי הלוגריתמים הטבעי בשביל הפיתוח. התוצאה נכונה גם עבור לוגריתמים אחר כי ${\frac {d\log _{a}(x)}{dx}}={\frac {1}{\ln(a)}}{\frac {1}{x}}$ והפקטור ln(a) מצטמצם. – ד"ר MathKnight ✡ (שיחה) 17:56, 11 בספטמבר 2023 (IDT)

תהי F פונקציה, שמוגדרת על המישור המרוכב, ושתלויה רק ברכיב הממשי Re(z) של המשתנה z שלה. האם ניתן להסיק שכל z מרוכב מקיים F(z) = F(Re(z)) ?

א. זאת שאלה לא לגמרי טריויאלית. משום שאם אכן ניתן להסיק את הנ"ל, אז זאת כנראה רק תכונה אופיינית לרכיב הממשי (וכמובן גם המדומה) של מספר מרוכב, ואינה תכונה כללית של מספרים בכלל - שלא בהקשר של רכיבי מספרים מרוכבים: הנה דוגמה נגדית, שלא בהקשר של רכיבי מספרים מרוכבים: פונקציית העוקב F(n)=n+1, שמוגדרת על המספרים הטבעיים, תלויה אמנם רק בזהותו של המספר m=n+1, אבל כמובן לא מתקיים F(n)=F(m). לכן השאלה שלי אינה טריויאלית.

ב. להערכתי, רק אם מצליחים לנסח-ריגורוזית את התנאי המופיע ברישא של השאלה (מה שלא עשיתי), ניתן להוכיח/להפריך את הסיפא.

2A06:C701:7458:D100:34:C5DF:DFBB:6499 21:11, 18 בספטמבר 2023 (IDT)

זו שאלה טריוויאלית. נניח ש-F(z) תלויה רק בחלק הממשי Re(z). אז יש פונקציה g כך ש-F(z)=g(Re(z)). בפרט, לכל מספר ממשי x מתקיים כי F(x)=g(Re(x))=g(x), כלומר g(x)=F(x), כלומר F(z)=F(Re(z)). עוזי ו. - שיחה 22:25, 18 בספטמבר 2023 (IDT)

תודה. אם כי בדבריך חסר שלב. לשלמות ההוכחה הייתי מנסח כך, בהדגשת התוספות שלי (שלמעשה פחות חשובות):

נניח ש-F(z) תלויה רק בחלק הממשי Re(z). אז יש פונקציה כך ש:

1. לכל z מרוכב: F(z)=g(Re(z)).

בפרט, לכל מספר ממשי x מתקיים כי:

F(x)=g(Re(x))=g(x), כלומר:

2. לכל x ממשי: g(x)=F(x).

3. לכל z מרוכב נציב: x=Re(z).

אז:

לכל z מרוכב:

F(z)

= (לפי 1)

g(Re(z))

= (לפי 3)

g(x)

= (לפי 2)

F(x)

= (לפי 3)

F(Re(z))

כלומר לכל z מרוכב: F(z)=F(Re(z))

2A02:6680:1101:3A52:2592:A18E:B809:A252 16:08, 19 בספטמבר 2023 (IDT)

האם התמרת פורייה של אקספוננט מובילה לסתירה?

מצב טיפול: חדש

ידוע ש-$\int _{-\infty }^{\infty }e^{ik_{0}x}e^{-ikx}dx=2\pi \delta \left(k-k_{0}\right)$ - מהתמרת פורייה. לכן, עבור הצבת $k_{0}=0$ ושימוש בנוסחת אוילר, נקבל לכאורה ש-$\int _{-\infty }^{\infty }\cos \left(kx\right)dx=\Re \int _{-\infty }^{\infty }e^{-ikx}dx=2\pi \delta \left(k\right)$ ו-$\int _{-\infty }^{\infty }\sin \left(kx\right)dx=\Im \int _{-\infty }^{\infty }e^{-ikx}dx=0$ ולכל $k$ ממשי שונה מאפס, קיבלנו ששני האינטגרלים מתאפסים למרות שהם בכלל לא מתכנסים, כי הגבולות לא קיימים.

א. צריך להיזהר בחישוב אינטגרלים עם גבולות אינסופיים, בדיוק בגלל בעיות ההתכנסות. אם הם לא מתכנסים אי אפשר לומר שהם מתאפסים.

ב. האינטגרל של החלק הממשי שווה לפונקציית דלתא של דיראק שהיא לא בדיוק פונקציה אך "מקיימת" $\delta (0)=\infty$ (יש לפרש ביטוי זה באופן אינטואיטיבי בלבד, כדי להבין למה באמת הכוונה יש לקרוא את הערך פונקציית דלתא של דיראק). זה לא זהותית אפס, ולכן האינטגרל הממשי בטח שלא מתאפס זהותית. – ד"ר MathKnight ✡ (שיחה) 23:35, 26 בספטמבר 2023 (IDT)

MathKnight, אם האינטגרל $\int _{-\infty }^{\infty }{\sin }xdx$ לא מתכנס, אז החלק המדומה של $\int _{-\infty }^{\infty }e^{ix}dx$ גם לא מתכנס ולכן גם האינטגרל כולו, מהתכנסות קואורדינטה קואורדינטה - החלקים הממשי והמדומה בת"ל. לגבי הדלתא של דיראק, לכל $k\neq 0$, $\delta (k)=0$ ולכן האינטגרל הממשי אמור להתאפס לכל $k$ כזה. --2A00:A041:1121:8700:4CC9:5A37:FB52:A181 02:24, 27 בספטמבר 2023 (IDT)

סכום הנגזרות מול נגזרת של סכום

מצב טיפול: חדש

נתונים שלי שני פולינומים דו מימדיים מדרגה גבוהה, נקרא להם $f_{1}(x,y),f_{2}(x,y)$. ובנוסף "פונקציית מטרה שהיא קומבינציה לינארית של שתיהם $f_{mix}=c\cdot f_{1}+(1-c)\cdot f_{2}$ כאשר c זה מספר בין 0 ל1 כולל.

מה שאני מעוניין לחשב זה נגזרת חלקית של f_{mix} לפי x. ואז כנ"ל לפי y.

מה שאני עושה עכשיו זה האלגוריתם הבא:

א) לקחת כל המקדמים, את כל המקדמים של f1 כופלים ב-c ואת המקדמים של f2 כופלים ב-(c-1) ואז מחברים אחד-אחד (כלומר המקדם החופשי פלוס המקדם החופשי, מקדם של x^2y^5 עם המקדם של x^2y^5 וכד'). הדבר יוצר פולינום חדש, פונקציה של שני משתנים x,y

ב) לאחר שיש לי פולינום חדש, אני גוזר אותו לפי משתנה x, באופן אנליטי. כלומר מתייחס לy כקבוע ואז עושה לפי ${d \over dx}x^{n}=nx^{n-1}$ לכל איבר בפולינום f_{mix}. מקבל פולינום מדגרה נמוכה יותר.

ג) מציב x,y לפולינום מסוף סעיף ב'.

בעיה אחת שאני לא סגור לגביה. האם החלפת סדר הפעולות תשנה את התוצאה. כלומר אם קודם אני עושה נגזרת לכל אחד מהfים בנפרד, מציב לתוכה ערכים ואז מחבר לפי cים תיתן לי תושבה אחרת? איזו מהם יותר הגיונית, כאשר אני מתעניין דווקא בחקר "פונקציה מעוברת"? 192.114.1.67 14:33, 20 בספטמבר 2023 (IDT)

תנוח דעתך, הנגזרת של סכום שווה לסכום הנגזרות. עוזי ו. - שיחה 20:02, 20 בספטמבר 2023 (IDT)

האם, גם ללא שיקולים אמפיריים / קוואנטיים, אלא ע"י שיקולים עיוניים בלבד, מוכח שיש חסם עליון לתדירות/לאנרגיה של האור (אם בכלל יש).

2A02:6680:2100:F76B:98F5:9953:D362:461E 10:52, 21 בספטמבר 2023 (IDT)

בהנחה שצפיפות האנרגיה ביקום סופית וחסומה מלמעלה (לפי ההנחה הזו ביקום אינסופי עדיין יכולה להיות אינסוף אנרגיה, אבל הצפיפות שלה בכל נקודה היא סופית), אז יש חסם עליון גם לאנרגיה של פוטון. מאחר שאנרגיה לא יכולה לעבור מהר יותר ממהירות האור לפוטון מסוים תהיה נגישות רק לאנרגיה ברדיוס r = גיל היקום x מהירות האור, ומאחר שהנחנו שצפיפות האנרגיה סופית, גם סך האנרגיה בכדור שרדיוסו r היא סופית ולכן לפוטון יש נגישות רק לכמות סופית של אנרגיה ויכולה להיות לו רק אנרגיה סופית, אומנם גבוהה מאוד מאוד אבל סופית. בהנחות אלו אפשר לחשב חסם פרקטי מלמעלה לאנרגיה שנגישה לפוטון, אך יש להוסיף תיקונים קוונטיים ויחסותיים, וכן להתחשב במודל האינפלציה של היקום, שזה יותר מסובך ממה שכתוב כאן. – ד"ר MathKnight ✡ (שיחה) 11:22, 21 בספטמבר 2023 (IDT)

אולי חסר מספר בציר המספרים?

מצב טיפול: חדש

איך יודעים שאין מספר חסר בציר המספרים? נגיד נדבר על ממשיים לצורך הסיפור. יש את המספר 2.75 ויש את המספר 2.76. זאת עובדה, נכון? אבל איך אתם בטוחים שביניהם אין איפשהו "חור" כלומר מספר שאינו קיים? איך אתם בטוחים שכל המספרים במקטע בין 2.75 ל2.76 קיימים? אולי עם יורדים לרזולוציה גובה מאוד מגילים שני מספרים שאין בינהם עוד מספר? או אולי משהו כמו "אסימפטוטה" שאפשר להתקרב לעט לעט לחור בציר המספרים, אבל לא "לגעת" בחור? 192.114.1.67 18:59, 21 בספטמבר 2023 (IDT)

ראה בניית המספרים הממשיים שמבטיחה ששדה המספרים הממשיים הוא שדה סדור שלם, כלומר - אין בו חורים מהסוג שציינת. במחשבה שנייה, הערך שהפניתי אליו יחסית לא קריא אבל מכיל את כל הפרטים הטכניים של הבניות וההוכחות שלהם. אם אתה רוצה הסבר יותר פשוט, התוצאה הרלוונטית היא משפט החיתוך של קנטור, שאפשר להראות שהתנאי שלו מתקיים עבור שדה המספרים הממשיים ולכן הוא שלם. – ד"ר MathKnight ✡ (שיחה) 19:45, 21 בספטמבר 2023 (IDT)

לא סתם לא קריא; זה ערך מחיק. עוזי ו. - שיחה 20:41, 21 בספטמבר 2023 (IDT)

להשלמת התשובה של משתמש:MathKnight, שלוש הערות: (1) השאלה כפי שניסחת אותה היא מאד פשוטה: האם יתכן שיש שני מספרים שאין ביניהם עוד מספר? התשובה הפשוטה היא: כמובן שלא, הממוצע נמצא ביניהם. באופן יותר אבסטרקטי אומרים שציר המספרים צפוף. (2) השאלה על "מספר חסר" מחייבת לשאול: למה אתה בכלל מתכוון בכך ב"מספר" שאינו קיים? (3) וקצת יותר לעומק (מכיוון שהחורים שמטרידים אותנו הם יותר מסובכים מחורים מהסוג של "מספרים שאין ביניהם עוד מספר"), התשובה היא כפי שנאמר כאן, ששדה המספרים הממשיים הוא שדה סדור שלם - נטול חורים. עוזי ו. - שיחה 20:41, 21 בספטמבר 2023 (IDT)

איזומורפיות בין חבורות

מצב טיפול: חדש

אם הראתי שחבורה ציקלית סופית איזומורפית לחבורה סופית אחרת (כלומר אותה כמות איברים), האם נובע שגם החבורה השניה היא ציקלית?

הגדרת איזומורפיזם של חבורות היא לא רק אותה כמות איברים אלא גם שמירה על פעולת הכפל בשתי החבורות, יעני, בהינתן שתי חבורות $G$ ו-$H$, הן איזומרפיות אם קיימת $f:G\to H$ חח“ע ועל כך שלכל $x,y\in G,f\left(xy\right)=f\left(x\right)f\left(y\right)$. לעומת זאת, מספר האיברים בחבורת התמורות $S_{7}$ הוא $7!$ אבל היא לא אבלית ולכן לא איזומורפית לאף חבורה אבלית עם $7!$ איברים.

לא מספיק להראות שיש את אותה כמות איברים, צריך להראות שמתקיים איזומורפיזם (שמירה על פעולה, חח"ע ועל). אם הראית את הדברים הללו אז זה אומר שאם G ציקלית ו-H איזומורפית ל-H נובע שגם H ציקלית (מראים שיוצר של G ממופה ליוצר של H). – ד"ר MathKnight ✡ (שיחה) 22:43, 26 בספטמבר 2023 (IDT)

אני מודה לך :) אולי כדאי לשקול להוסיף את המשפט האחרון שכתבת בערך על איזומורפיזם או חבורה ציקלית "... מראים שיוצר של G ממופה ליוצר של H" 89.138.135.184 00:23, 27 בספטמבר 2023 (IDT)

הדפסה למשתמש בסקריפט ויקיפדי

מצב טיפול: חדש

שלום, האם יש דרך קלה להדפיס הודעה למשתמש בסקריפטים שרצים בדף האישי (common.js) של המשתמש? שבת מנשה - שיחה 09:47, 28 בספטמבר 2023 (IDT)

@שבת מנשה: בהנחה שהבנתי נכון את השאלה, אז כן. קיימת הפונקציה mw.notify() שמציגה הודעה כללית למשתמש. לדוגמה:

mw.notify( 'Hello, world!' );

Guycn2 - שיחה 23:16, 14 באוקטובר 2023 (IDT)

האם, לטענה שאנרגיית האור חייבת לבוא במנות בדידות (קוואנטות), יש לבוש מתמטי מקובל בפיזיקה?

בהתחלה חשבתי שהלבוש המתמטי המיוחל הוא נוסחת אינשטיין E=hf, כאשר E היא אנרגיית האור, f היא תדירות האור, h הוא קבוע פלאנק. אבל אז שמתי לב שכדי שמהנוסחה הזאת יוסק שאנרגיית האור E חייבת לבוא במנות בדידות צריך להניח באופן סמוי שגם תדירות האור f חייבת לבוא במנות בדידות. אז האמנם תדירות האור חייבת לבוא במנות בדידות? אם אכן כך, אז האם לעצם העובדה האחרונה יש לבוש מתמטי שמקובל בפיזיקה (אני כותב "מקובל בפיזיקה" כי בקלות אני יכול להמציא לכך לבוש מתמטי שאינו בהכרח מקובל בפיזיקה, למשל אפשר לכתוב [f]=f כאשר הסוגריים המרובעים מסמנים את החלק השלם של המספר הממשי שנתון בתוך הסוגריים המרובעים). אבל אם תדירות האור אינה חייבת לבוא במנות בדידות, אז חוזרת שאלתי הראשונה כפי שהיא מנוסחת בכותרת. 2A06:C701:7446:D900:1D55:57C:4F3F:3A51 16:00, 5 באוקטובר 2023 (IDT)

אין משמעות ל"מנות בדידות של תדירות". אין משמעות ל"מספר רציף" או "מספר בדיד". תדירות של גל היא כולו כמות מחזורים שגל מצבע ביחידת זמן מוגדרת. יחידת הזמן יכולה להיות שניה ויכולה להיות שנה ורבע, אז המספר שאתה רואה לא חייב להיות שלם בכלל.

הנוסחה שכתבת, או בהרחבה $E=\hbar \omega =h\nu ={\frac {hc}{\lambda }}$ מקשרת בין תדר האור לבין האנרגיה שלו. לא תראה פה קוונטיזציה באופן מובהק. הנוסחה אומרת שלכל תדר (אורך גל) קיימת אנרגיה אחת מוגדרת. כל המספרים פה הם ממשים, לא שלמים. אין סיבה שהם יהיו שלמים.

אם בכל זאת חפצה נפשך לראות נוסחאות שבהן רואים רמות אנרגיה דיסקרטיות, אז עיין ערך מתנד הרמוני קוונטי, שם ערכי האנרגיה הם $E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right)$., כאשר n מספר שלם. בשביל להבין מה הולך שם צריך להיכנס קצת לסימון דיראק, שמתאר מצבים קוונטיים. המתמטיקה של קוונטים זה לא משהו שאפשר להסביר על רגל אחת לצערי. דורש קצת חדו"א, די הרבה אלגברה לינארית וקורס בסיסי בהסתברות. אני לא חושב שהנוסחאות כמו $a^{\dagger }|n\rangle =c_{n,n+1}|n+1\rangle ,\quad a|n\rangle =c_{n,n-1}|n-1\rangle$ יעזרו לך להבנה, אבל כאן רואים שn הוא מספר שלם (המתאר מצבים, לא כמות חלקיקים).

ולשאלך, אין שום סיבה לכתוב [f]=f, מכיוון שתדר יכול להיות כל מספר חיובי, לא רק מספר שלם. Corvus‏,(Nevermore)‏ 17:57, 5 באוקטובר 2023 (IDT)

שים לב כי, כשם שנוסחת אינשטיין E=hf שבה פתחתי (כאשר E היא אנרגיית האור, f היא תדירות האור, h הוא קבוע פלאנק) אינה מספיקה כדי להסיק מתמטית שהאנרגיה E של האור חייבת לבוא במנות בדידות - אלא אם כן מניחים (באופן שגוי עובדתית) שגם התדירות f של האור חייבת לבוא במנות בדידות, כך הנוסחה שהיצעת כעת $E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right)$ (כאשר n הוא מספר שלם שרירותי, $E_{n}$ היא האנרגיה העצמית של החלקיק הנתון, $\omega$ היא התדירות הזויתית של תנודת החלקיק, $\hbar$ הוא קבוע דיראק), אינה מספיקה כדי להסיק מתמטית שהאנרגיה העצמית $E_{n}$ של החלקיק חייבת לבוא במנות בדידות - אלא אם כן מניחים (באופן שגוי עובדתית) שגם התדירות הזויתית $\omega$ של תנודת החלקיק חייבת לבוא במנות בדידות. אני כרגע מדבר איתך עדין ברובד המתמטי, עוד לפני שנכנסים לניתוח הפיזיקלי.

לסיכום: מה לי התדירות שבה פתחתי, ומה לי התדירות הזויתית שאותה אתה מציע, הרי עובדתית אף אחת משתיהן אינה חייבת לבוא במנות בדידות, ואם כן חוזרת שאלתי המקורית המנוסחת בכותרת. 2A06:C701:7446:D900:1D55:57C:4F3F:3A51 18:51, 5 באוקטובר 2023 (IDT)

אני לא יודע אם לזה התכוונת, אבל הנוסחה שהבאת (E=hf) נותנת לך את האנרגיה של פוטון בודד - קוונט אנרגיה, ואין שום צורך להניח באופן סמוי שגם תדירות האור f חייבת לבוא במנות בדידות. זה מספיק? Yishaybg - שיחה 22:13, 5 באוקטובר 2023 (IDT)

התדירות f של הפוטון הבודד יכולה להשתנות בצורה רציפה (לא בדידה), וממילא גם האנרגיה שלו E=hf יכולה להשתנות בצורה רציפה (לא בדידה), אז באיזה מובן האנרגיה E של האור באה במנות בדידות? 2A06:C701:7446:D900:1D55:57C:4F3F:3A51 23:54, 5 באוקטובר 2023 (IDT)

נכון, f יכול לקבל כל ערך, תיאורטית, אבל הכוונה היא שהאנרגיה של מערכת הקולטת או פולטת קרינה אלקטרומגנטית עם תדר f – קבוע – היא כפולה שלמה של קוונט האנרגיה E = hf.‏ Yishaybg - שיחה 11:51, 6 באוקטובר 2023 (IDT)

נכון, חיכיתי שתגיד. אמור מעתה: כדי לנסח במדויק את הטענה - אשר באופן עממי מנוסחת ע"י ההגד הבלתי מדוייק - שהאנרגיה מגיעה כביכול רק במנות בדידות, לא מנסחים זאת במדוייק ע"י הטענה שהאור מורכב מפוטונים בודדים (כפי שניסחת בהתחלה), שהרי האנרגיה של כל פוטון בודד כזה - כמו גם תדירותו - יכולות להשתנות ברצף, אלא מנסחים זאת במדויק ע"י הטענה - שלכל תדירות נתונה - כל קרינה בעלת התדירות הזו נושאת אנרגיה שיכולה לבוא רק במנות בדידות. שים לב שהניסוח המדוייק אינו זקוק כלל לעובדה (הטאוטולוגית) שכל פוטון הוא בודד (בסופו של דבר, כל דבר הוא בודד: גם כל קרינה היא בודדת, כי היא לא שתי קרינות אלא היא קרינה אחת).

אגב, למה סייגת "תיאורטית"? (אני מצפה שתדע אבל אם לא תדע אשיב אני). 2A06:C701:7446:D900:1D55:57C:4F3F:3A51 11:54, 6 באוקטובר 2023 (IDT)

אוקי, הגדרה של רמות אנרגיה דיסקרטיות זה לא מספיק מעניין אני מבין. אתה משום מה רוצה להגדיר דווקא תדירות בתור מספר שלם, אבל לא ברורה לי הסיבה לכך. אתה מעוניין במשהו שלדעתי אתה מתקשה לנסח מתמטית. באו תנסה לכתוב הגדרה פורמלית ל"תדירות האור חייבת לבוא במנות בדידות". כמו שהבנת בעצמך מהנוסחאות, תדירות של פוטון ואנרגיה של פוטון זה אותו דבר, עד כדי כפל בקבוע פיזיקלי. למה אתה רוצה לראות נוסחה שאומרת "פוטון הוא חלקיק"? גם בנוסחה $E=m\cdot g\cdot h$ לא כתוב בשום מקום שמדובר במסה נקודתית. איזה סוג נוסחה אתה מחפש?

מה שכתבת בצורה "[f]=f" זה משהו אחר לחלוטין. נראה יותר כמו קוד תוכנה שלוקח משתנה בשם f, מעגל אותו להיות מספר שלם ואז מציב את התוצאה במקום f הקודם. זה לא ממש מגדיר הרבה. אם רוצים להגדיר פורמלית n בתור מספר שלם, אז יכתבו $n\in \mathbb {Z}$, סימון שמקובל גם בפיזיקה. בנוסחה E=hf ההנחות הם שf,h ו-E הם מספרים ממשים חיוביים. E וf עקרונית יכולים להיות כל ערך ממשי בין 0 לאינסוף. Corvus‏,(Nevermore)‏ 13:24, 6 באוקטובר 2023 (IDT)

הגדרה של רמות אנרגיה דיסקרטיות זה לא מספיק מעניין אני מבין.

דווקא כן מעניין. איפה ראית בדבריי שזה לא מעניין? רק מה, אני מתקשה לראות איך העובדה של רמות האנרגיה תענה על השאלה - שאינה שואלת על עובדות - אלא על ניסוח (ניסוח העובדה שהאנרגיה יכולה לבוא רק במנות בדידות, כשהכוונה היא "לכל" אנרגיה).

אתה משום מה רוצה להגדיר דווקא תדירות בתור מספר שלם, אבל לא ברורה לי הסיבה לכך.

אינני מבחין, בין לבוש מתמטי מקובל בפיזיקה - עבור קווינטוט של תדירות, לבין לבוש מתמטי מקובל בפיזיקה - עבור קווינטוט של אנרגיה. כל אחד משני לבושים מקובלים כאלה יספק אותי. בהתחלה היצעתי את הנוסחה E=hf בתור לבוש מתמטי מקובל כזה בפיזיקה, אבל אז שמתי לב שכדי שמהנוסחה הזו יוסק קווינטוט האנרגיה, צריך להניח באופן סמוי את קווינטוט התדירות, מה שלא עולה מתוך הנוסחה הנ"ל.

אתה מעוניין במשהו שלדעתי אתה מתקשה לנסח מתמטית.

אין בעיה לנסח את זה מתמטית. חיפשתי נוסח מתמטי שמקובל בפיזיקה, בתור נוסח טענת קווינטוט האנרגיה.

למה אתה רוצה לראות נוסחה שאומרת "פוטון הוא חלקיק"? גם בנוסחה לא כתוב בשום מקום שמדובר במסה נקודתית.

לא חיפשתי נוסחה שאומרת שפוטון הוא חלקיק.

איזה סוג נוסחה אתה מחפש?

אני מחפש נוסחה שממנה יוסק שהאנרגיה אינה יכולה להשתנות באופן רציף, אלא רק בדיד.

מה שכתבת בצורה "[f]=f" זה משהו אחר לחלוטין. נראה יותר כמו קוד תוכנה שלוקח משתנה בשם f, מעגל אותו להיות מספר שלם ואז מציב את התוצאה במקום f הקודם. זה לא ממש מגדיר הרבה.

זה אחד האופנים המקובלים במתמטיקה (לא בפיזיקה) לסמן את פונקציית הערך השלם. אגב: אצל העצלנים (כמו גם אצל אלה שמתקשים לעבוד עם LATEX), מקובל לסמן את הפונקציה הזאת ע"י סוגריים מרובעים.

אם רוצים להגדיר פורמלית n בתור מספר שלם, אז יכתבו , סימון שמקובל גם בפיזיקה. בנוסחה E=hf ההנחות הם שf,h ו-E הם מספרים ממשים חיוביים. E וf עקרונית יכולים להיות כל ערך ממשי בין 0 לאינסוף.

אין לי בעיה עקרונית להשתמש בהצהרה "n הוא מספר שלם". ועדין אני שואל, האם אתה מכיר לבוש מתמטי מקובל בפיזיקה לטענה, שהאנרגיה אינה יכולה להשתנות באופן רציף אלא רק בדיד.

2A06:C701:7446:D900:1D55:57C:4F3F:3A51 14:09, 6 באוקטובר 2023 (IDT)

אוקי, אני חושב שהבנתי מה אתה מנסה לעשות. אתה רוצה לנסח מתמטית חוק פיזיקלי שלא קיים. כלומר איזו נוסחה שתהיה מנוסחת באופן מקובל על פיזיקאים שמתארת מציאות אלטרנטיבית בה התדירויות של פוטונים הם קבוצה בת מנייה. אז אפשרי לתאר מערכת פיזיקלית בה כל תדירות (של פוטון, או איזשהו גל אחד) היא מכפלה שלמה של איזה תדירות "בסיס". אם כך, אז הניסוח הוא $f_{n}=n\cdot f_{o};n\in \mathbb {Z} ;n>0$ כאשר f0 זה קבוע ממשי מוגדר. בצורה זו אתה יכול להגדיר מערכת שבה "אנרגיה אינה יכולה להשתנות באופן רציף, אלא רק בדיד", כלומר מערכת בה יש הפרדה בין רמות אנרגיה. האם זו כוונתך? אם כן, אז אין פה קשר לכך שפוטונים באים במנות שלמות. מה שכתבתי מנסח רק שהתדירות של כל גל במערכת מוגבלת לסט ספציפי של ערכים ולא תמצא פוטון בתדירות של נגיד $1.5\cdot f_{0}$. במציאות הפיזיקלית שלנו עקרון זה לא מתקיים כמובן, ותדירויות של פוטונים מוגבלות למספרים ממשיים חיוביים.

נ.ב. אני חש שאולי אתה מתבלבל בין זה שפוטונים הם יחידות שלמות לבין ערכי התדירות שלהם, שהם מספרים ממשיים. תנסה להתייחס לזה כמו לגובה של אנשים. בני אדם (פוטונים) באים במנות שלמות, והגובה (תדירות) שלהם הוא מספר ממשי. ככה שעבור כל שני אנשים בגובה א' וגובה ב' ניתן עקרונית למצוא מישהו בגובה בין א' לב'. Corvus‏,(Nevermore)‏ 16:03, 6 באוקטובר 2023 (IDT)

א. אין פה קשר לכך שפוטונים באים במנות שלמות...אני חש שאולי אתה מתבלבל בין זה שפוטונים הם יחידות שלמות ...

שום דבר בשאלתי לא התייחס לפוטון, אלא לאנרגיה.

ב. אתה רוצה לנסח מתמטית...איזו נוסחה שתהיה מנוסחת באופן מקובל על פיזיקאים שמתארת מציאות אלטרנטיבית בה התדירויות של פוטונים הם קבוצה בת מנייה.

מעולם לא קבעתי שהתדירות באה במנות שלמות. אם בכלל היתה לי איזושהי שאלה לגבי התדירות - אז היא לא היתה כרוכה בשום קביעה על מנות שלמות של תדירות, ואם בכלל היתה לי איזושהי קביעה - אז היא לא היתה קביעה לגבי תדירות - אלא קביעה לגבי אנרגיה.

ג. אפשרי לתאר מערכת פיזיקלית בה כל תדירות (של פוטון, או איזשהו גל אחד) היא מכפלה שלמה של איזה תדירות "בסיס". אם כך, אז הניסוח הוא...

אני מזכיר ששאלתי היתה, האם יש ניסוח מתמטי מקובל בפיזיקה לקביעה שהאנרגיה באה במנות שלמות. בינתיים, כל נוסח שהיצעת כדי לנסח איזושהי קביעה, לא התייחס - לקביעה שעליה שאלתי - כלומר לקביעה שהאנרגיה באה במנות שלמות.

2A06:C701:7446:D900:1D55:57C:4F3F:3A51 17:02, 6 באוקטובר 2023 (IDT)

עבור פוטון, אנרגיה, ותדירות (ואורך גל) זה אותו הדבר. מטרתו של קבוע פלאנק הוא כולו להמיר יחידות. ניסחתי עבורך דוגמה למערכת בה התדירויות הם דיסקרטיות (כלומר אין רצף). תכפיל הכל בקבוע פלאנק ותקבל נוסחה זהה עבור מערכת עם אנרגיות דיסקטרויות $E_{n}=n\cdot E_{o};n\in \mathbb {Z} ;n>0$, כאשר E0 זה קבוע ממשי מוגדר. אין שום בעיה להשתמש בכל ניסוח מתמטי שאתה רוצה בפיזיקה. הוא יהיה מקובל כל עוד מתקיים: א) מנוסח נכון מתמטית ב) מתאר את המציאות.

החלק הקשה זה הדבר השני בדרך כלל.

כתבת "שום דבר בשאלתי לא התייחס לפוטון, אלא לאנרגיה". זאת טענה קצת לא ברורה. פוטון הוא חלקיק נושא אנרגיה ומהווה מנה (קוונטום) של קרינה אלקטרומגנטית, הוא מוגדר לפי כמות האנרגיה אותו הוא נושא. אין דרך לדבר על פוטון מבלי לדבר על על אנרגיה שלו, או לדבר על מנות שלמות של אנרגיה א"מ מבלי לדבר על פוטונים.

אני מרגיש שאתה שוב ושוב שאתה מסיק מסקנה שגויה, לפיה אם הפוטונים הם חלקיקים דיסקרטיים (ולא רצף), אז יש מגבלה על האנרגיה שהם נושאים להיות סט דיסקרטי של ערכים.

אם המטרה שלך היא לנסח שאנרגיה של אלומת אור בנויה מאנרגיה של כמות דיסקרטית של חלקיקים ולא מרצף, אז הניסוח יהיה פשוט $E_{tot}=\sum _{i}E_{i}=\sum _{i}hf_{i}$, כאשר i הוא אינדקס של פוטון אחד. וזאת בניגוד לאינטגרל, מהצורה $E_{tot}=\int _{f0}^{f_{\infty }}h\cdot df$, כאשר $f_{\infty }$ היא התדירות הגבוהה ביותר במערכת וf0 זה הנמוכה ביותר במערכת. האינטגרל "פועל" רק אם יש רצף תדירויות.

ודבר אחרון, כתבת שיש "קביעה שהאנרגיה באה במנות שלמות". מנות של מה? לרוב, אם פיזיקאי יכתוב טענה בנוסח כזה הוא יכתוב "מנות שלמות של E0" (כלומר האנרגיה הנמוכה ביותר האפשרית עבור פוטון). אז קביעה זו אינה נכונה באופן כללי, אלא נכונה רק למערכות בה יש רמות אנרגיה מוגדרות. דוגמאות לרמות אנרגיה בדידות: רמות אנרגיה באטום, לייזר, מדגרות בניין, מבנה פסים במוליכים למחיצה. עבור פוטונים באופן כללי, אין רמות אנרגיה.ככה שעבור כל פוטון שתמצא, אין שום מניעה למצוא פוטון שיהיה באנרגיה של 0.98 ממנו. אנרגיה של אור לא באה במנות שלמות. היא פשוט מועברת על ידי חלקיקים דיסקרטיים, שכל אחד מהם יכול להיות בכל אנרגיה שבא לו. Corvus‏,(Nevermore)‏ 18:04, 6 באוקטובר 2023 (IDT)

ניסחתי עבורך דוגמה למערכת בה התדירויות הם דיסקרטיות (כלומר אין רצף). תכפיל הכל בקבוע פלאנק ותקבל נוסחה זהה עבור מערכת עם אנרגיות דיסקטרויות , כאשר E0 זה קבוע ממשי מוגדר.

אבל אחרי שניסחת (בתגובתך הלפני אחרונה) את העיקרון (השגוי כמובן) "שהתדירות של כל גל במערכת מוגבלת לסט ספציפי של ערכים", הודית בעצמך כי: "במציאות הפיזיקלית שלנו עקרון זה לא מתקיים כמובן". אם כן מה הועילו חכמים בהצגת מערכת שאינה תואמת את המציאות? מה עוד שכבר היקדמתי אותך בהודעתי הראשונה, כשניסחתי את העיקרון השגוי הנ"ל בנוסח הקצר: f=[f].

מה שאני למעשה מחפש, זה בסך הכול נוסח מקובל שיתאר את העובדה (תואמת המציאות), שהאנרגיה באה במנות בדידות. בהתחלה חשבתי שהנוסחה המבוקשת הוא E=hf, אבל אז שמתי לב שכדי שמנוסחה זו יוסק שהאנרגיה באה במנות בדידות צריך להניח שגם התדירות באה במנות בדידות, שזאת טענה שעבורה לא היכרתי נוסח פיזיקלי מקובל (מה עוד שהיא גם שגויה). אז אחזור אפוא על שאלתי: האם ניתן לנסח באופן מקובל בפיזיקה, את העובדה המופיעה בסיפרות (והמוסכמת מן הסתם גם עליך), שהאנרגיה באה במנות בדידות.

אין דרך לדבר על פוטון מבלי לדבר על אנרגיה שלו

נכון, אבל לא אני הייתי זה שהכניס לדיון את הפוטונים. מי שרוצה לדבר על פוטונים, מוזמן לעשות זאת, ובלבד שלא יטיל עלי את האחריות כאילו טענתי כאן משהו על פוטונים. אני דיברתי על אנרגיה, לא על פוטונים, והרי לא כל אנרגיה קשורה בהכרח לפוטונים.

אין דרך...לדבר על מנות שלמות של אנרגיה א"מ מבלי לדבר על פוטונים.

האמנם אתה טוען שאנרגיה של פוטונים באה רק במנות שלמות? אני שואל זאת, כי בהמשך אתה כותב את ההפך: "אנרגיה של אור לא באה במנות שלמות. היא פשוט מועברת על ידי חלקיקים דיסקרטיים, שכל אחד מהם יכול להיות בכל אנרגיה שבא לו".

אני מרגיש שאתה שוב ושוב שאתה מסיק מסקנה שגויה, לפיה אם הפוטונים הם חלקיקים דיסקרטיים (ולא רצף), אז יש מגבלה על האנרגיה שהם נושאים להיות סט דיסקרטי של ערכים.

ואני מרגיש, שאתה שוב מייחס לי קביעות שאותן מעולם לא קבעתי. אני לא דיברתי על פוטונים (למרות שלגיטימי לדבר עליהם). מי שמעוניין להכניס לדיון פוטונים, זה על אחריותו, ובלבד שיקפיד שלא לייחס לי קביעה לגבי פוטונים. הקביעה שלי היתה אחת ויחידה, והיא זאת שגם מופיעה בסיפרות: קביעת עקרון קווינטוט האנרגיה: האנרגיה באה במנות בדידות.

אם המטרה שלך היא לנסח שאנרגיה של אלומת אור בנויה מאנרגיה של כמות דיסקרטית של חלקיקים ולא מרצף.

האם אתה טוען, שהמשמעות של עקרון קווינטוט האנרגיה היא, שאלומת אור בנויה מאנרגיה של כמות דיסקרטית של חלקיקים ולא מרצף? כי אם זאת משמעות העיקרון, אז אני מסתפק בניסוח המילולי הזה, ומבחינתי אינני זקוק עוד לניסוח של נוסחה.

אבל משום מה יש לי תחושה, שעקרון קווינטוט האנרגיה אינו קשור לסוגיית החלקיקיזציה של האור. כלומר, גם אם נתאר את האור בתור גלים גרידא (בלי קשר לפוטונים), עדין יעמוד בעינו עקרון קווינטוט האנרגיה (אנרגיית האור במקרה הזה).

אם פיזיקאי יכתוב טענה בנוסח כזה הוא יכתוב "מנות שלמות של E0" (כלומר האנרגיה הנמוכה ביותר האפשרית עבור פוטון). אז קביעה זו אינה נכונה באופן כללי, אלא נכונה רק למערכות בה יש רמות אנרגיה מוגדרות. דוגמאות לרמות אנרגיה בדידות: רמות אנרגיה באטום, לייזר, מדגרות בניין, מבנה פסים במוליכים למחיצה.

האם אתה טוען, שעקרון קווינטוט האנרגיה תקף רק במערכות שבהן יש רמות אנרגיה מוגדרות? אם כך, אז יוצא שעקרון קווינטוט האנרגיה הוא סוג של טאוטולוגיה. בערך כמו להגיד, שעקרון שימור האנרגיה תקף רק במערכות שבהן נשמרת האנרגיה, או כמו להגיד, שהעקרון הדמוקרטי תקף רק במוסדות דמוקרטיים.

2A06:C701:7477:9C00:F589:7C8C:8FB7:8AA3 11:17, 8 באוקטובר 2023 (IDT)

לעניין קוונטיזציה של האור, שנקראת גם קוונטיזציה של שדה אלקטרומגנטי או קוונטיזציה שנייה. לפי האלקטרומגנטיות הקלאסית האור הוא גל מישורי (לצורך הפשטות אני דן במקרה המונוכרומטי) אלקטרומגנטי שנתון על ידי ${\vec {E}}={\vec {A}}\cos(\omega t-{\vec {k}}\cdot {\vec {r}})$ (לשם קיצור רשמתי רק את החלק של השדה החשמלי ואני הולך להתעלם מהשדה המגנטי הנלווה) כאשר האנרגיה שלו היא (עד כדי קבוע) $E=\|{\vec {A}}\|^{2}$. לפי התורה הקלאסית הערך הזה רציף ויכול לקבל כל מספר ממשי. לפי התיאוריה הקוונטית האור בא במנות בדידות שנקראות פוטונים והאנרגיה יכולה לקבל רק את הערכים הבאים: $E=\hbar \omega n$ כאשר n הוא מספר טבעי ומציין כמה פוטונים יש באלומת האור. – ד"ר MathKnight ✡ (שיחה) 20:08, 6 באוקטובר 2023 (IDT)

ההרגשה שלי שהשואל לא מתכוון לראות שאלומת אור מורכבת ממנות בדידות, אלא רוצה לנסח חוק טבע לפיו התדירויות הם שלמות. שים לב שהוא אפילו ניסה נוסח כמו f=[f], כלומר הוא מבקש לנסח קוונטיזציה של התדר, בתור עיקרון פיזיקלי. Corvus‏,(Nevermore)‏ 23:18, 6 באוקטובר 2023 (IDT)

הוא לא יצליח, כי אין חוק כזה. עבור חלקיק חופשי, למשל, אין קוונטיזציה של "תדירויות" או רמות אנרגיה, הספקטרום הוא רציף. – ד"ר MathKnight ✡ (שיחה) 23:24, 6 באוקטובר 2023 (IDT)

השואל, כלומר אני, לא יצליח לקבוע קביעות שגויות. רק מה, הוא מעולם לא קבע אותן. מעולם לא עלה על דעתי לקבוע שהתדירות באה במנות בדידות. כדי לדעת מה כן קבעתי, אפשר פשוט להסתכל בנוסח המדוייק של שאלתי, כפי שהיא מופיעה בכותרת, ובפיסקה שתחתיה. מלכתחילה שאלתי אך ורק, איך מנסחים את העקרון שהאנרגיה באה במנות בדידות (עקרון קווינטוט האנרגיה), שזה עקרון שמופיע בסיפרות, ושלכן מוסכם עלי. 2A06:C701:7477:9C00:F589:7C8C:8FB7:8AA3 11:24, 8 באוקטובר 2023 (IDT)

אני תוהה, למה אתה חוזר ומייחס לי קביעות שאותן מעולם לא קבעתי. אם תצליח למצוא משהו בדבריי שממנו עולה שלדעתי התדירות באה במנות בדידות, תקבל פרס הגון. הנוסחה f=[f] שסיפקתי לא נועדה לנסח קביעה שלי (כלומר לנסח הגד שמוסכם עלי), אלא להדגים איך מנסחים בפשטות את הטענה (כלומר את ההגד שאינו בהכרח מוסכם עלי) שהתדירות באה במנות בדידות. איך שלא יהיה, הקביעה היחידה, שמופיעה בסיפרות ושאיתה אני מסכים אפוא, היא שהאנרגיה באה במנות בדידות. 2A06:C701:7477:9C00:F589:7C8C:8FB7:8AA3 11:19, 8 באוקטובר 2023 (IDT)

נקודת המוצא שלי היא עקרון קוונטוט האנרגיה. האם אתה מסכים עם העקרון הזה? כל מה ששאלתי הוא איך מנסחים אותו באופן מקובל בפיזיקה. הנוסחה האחרונה שכתבת אינה מצליחה לנסח אותו, אלא אם כן מניחים את עקרון קווינטוט התדירות - אבל עקרון זה אינו נכון. 2A06:C701:7477:9C00:F589:7C8C:8FB7:8AA3 11:18, 8 באוקטובר 2023 (IDT)

אתה מנסה להיכנס לעומק של ניסוח מתמטי (שהוא תכלס די טריוואלי), מבלי להבין מה בדיוק את חוק הטבע שאתה מבקש לנסח. שם את העגלה משמעותית לפני הסוס. אז נתחיל מהסוס. "מנות אנרגיה" של אור הם בדיוק פוטונים. פוטון הוא חלקיק שמהווה למעשה את קוונטום של אנרגיה אלקטרומגנטית, כלומר פוטונים הם בדיוק אותם המנות ה"שלמות" שבהם מגיעה אנרגיית אור, וזה העיקרון. יתכן ובשלב הזה תרים גבה ותגיב "אבל חלקיק זה גוף פיזיקלי. אנרגיה זה גודל פיזיקלי. איך פיזיקאי אומר שזה אותו דבר?". אז דואליות גל-חלקיק זה בדיוק הרעיון. אני למעשה אומר ש"פוטון= גל אלקטרומגנטי= מנת אנרגיה בודדת=תדירות גל בודדת כפול קבוע". כל המושגים מתארים את אתה הישות. והניסוח הפשוט שהצעתי $E_{tot}=\sum _{i}E_{i}=\sum _{i}hf_{i}$ אומר שאנרגיה של האור מורכבת מסכום של אנרגיות של חלקיקים שמרכיבים אותם. הניסוח של משתמש:MathKnight מתאר בדיוק את זה שאנרגיה של אלומת אור (מונוכרומטית) הוא סכום סופי של ערכים בדידים. זה הנוסח. הוא פשוט מבחינה מתמטית. העיקרון טוען שאנרגיה של אור היא סכום של מספר סופי של ערכי אנרגיה של הקוונטים שמרכיבים אותו. Corvus‏,(Nevermore)‏ 16:30, 8 באוקטובר 2023 (IDT)

"מנות אנרגיה" של אור הם בדיוק פוטונים. פוטון הוא חלקיק שמהווה למעשה את קוונטום של אנרגיה אלקטרומגנטית, כלומר פוטונים הם בדיוק אותם המנות ה"שלמות" שבהם מגיעה אנרגיית אור, וזה העיקרון. יתכן ובשלב הזה תרים גבה ותגיב "אבל חלקיק זה גוף פיזיקלי. אנרגיה זה גודל פיזיקלי. איך פיזיקאי אומר שזה אותו דבר?". אז דואליות גל-חלקיק זה בדיוק הרעיון. אני למעשה אומר ש"פוטון= גל אלקטרומגנטי= מנת אנרגיה בודדת=תדירות גל בודדת כפול קבוע". כל המושגים מתארים את אותה הישות.

תנוח דעתך: לא ארים גבה, פשוט כי מאז ומעולם לא היתה לי בעייה עם עקרון דואליות גל-חלקיק. רק טענתי, שמשום מה יש לי תחושה שעקרון קווינטוט האנרגיה אינו קשור לסוגיית החלקיקיזציה של האור, ולכן לא יועיל לי להחליף את הביטוי "קוואנט של אנרגיה" בביטוי "חלקיק בודד" או "פוטון בודד". במילים אחרות: גם אם נשתמש בביטוי "פוטון בודד" במקום "קוואנט אנרגיה", עדין השאלה שלי תעמוד בעינה, שהרי גם האנרגיה של פוטון בודד אינה באה במנות בדידות אלא באה ברצף. לשון אחר: אין הגבלה דיסקרטית על האנרגיה של פוטון. אז באיזה מובן תקף עיקרון קווינטוט האנרגיה?

אתה מנסה להיכנס לעומק של ניסוח מתמטי (שהוא תכלס די טריוואלי).

להפך, הרי בתגובתי הקודמת כתבתי לך ואני מצטט: "האם אתה טוען, שהמשמעות של עקרון קווינטוט האנרגיה היא, שאלומת אור בנויה מאנרגיה של כמות דיסקרטית של חלקיקים ולא מרצף? כי אם זאת משמעות העיקרון, אז אני מסתפק בניסוח המילולי הזה, ומבחינתי אינני זקוק עוד לניסוח של נוסחה".

עד כאן דבריי שם, ומכאן שאינני מחפש ניסוח מתמטי עבור עיקרון שמנוסח היטב במילים.

אלא שאחר כך הוספתי מייד: "אבל משום מה יש לי תחושה, שעקרון קווינטוט האנרגיה אינו קשור לסוגיית החלקיקיזציה של האור. כלומר, גם אם נתאר את האור בתור גלים גרידא (בלי קשר לפוטונים), עדין יעמוד בעינו עקרון קווינטוט האנרגיה (אנרגיית האור במקרה הזה)".

רק שים לב, שכאשר כתבתי "גם אם נתאר את האור בתור גלים גרידא (בלי קשר לפוטונים) עדין יעמוד בעינו עקרון קווינטוט האנרגיה (אנרגיית האור במקרה הזה)", לא התכוונתי להתכחש לעקרון דואליות גל-חלקיק, אלא התכוונתי להגיד רק - כי גם אם מתעלמים מהתכונה החלקיקית של האור עדין יעמוד בעינו עקרון קווינטוט האנרגיה - וכי גם אם נשתמש בביטוי "פוטון בודד" במקום "קוואנט אנרגיה" עדין השאלה שלי תעמוד בעינה שהרי גם האנרגיה של פוטון בודד אינה חייבת לבוא במנות בדידות אלא יכולה לבוא ברצף.

אנרגיה של האור מורכבת מסכום של אנרגיות של חלקיקים שמרכיבים אותם...שאנרגיה של אלומת אור (מונוכרומטית) הוא סכום סופי של ערכים בדידים...העיקרון טוען שאנרגיה של אור היא סכום של מספר סופי של ערכי אנרגיה של הקוונטים שמרכיבים אותו.

כדי שאסביר היטב את תגובתי לדבריך, אמשול לך משל, ואחר כך אעבור לנמשל. ובכן לשיטתך, כל קטע של מספרים ממשיים הוא תחום כביכול-דיסקרטי, כי הוא סכום סופי של קטעים בודדים: למשל, הטענה כי - הקטע המכיל את המספרים הממשיים הנמצאים בין אפס לאחד - הוא תחום כביכול-דיסקרטי, תנומק לשיטתך ע"י הנימוק - שהקטע הנ"ל הוא איחוד סופי של שני תת-קטעים בודדים: תת-הקטע שבין אפס לחצי ותת-הקטע שבין חצי לאחד. אבל הלא תסכים איתי שהנימוק הזה פגום, שהרי כל אחד משני תת-הקטעים האלה מכיל רצף של ערכים לא דיסקרטיים. עכשיו אני עובר לנמשל: טענתך כי - האנרגיה של אלומת אור (מונוכרומטי) - יכולה לבוא רק במנות דיסקרטיות, מנומקת אצלך ע"י הנימוק - שהאלומה הנ"ל היא קבוצה סופית של פוטונים בודדים. אבל לטעמי הנימוק הזה פגום, שהרי כל אחד מהפוטונים הבודדים האלה יכול לקבל רצף של ערכי אנרגיה (בעלת תדירות מונוכרומטית הנתונה לבחירתנו השרירותית).

2A06:C701:7477:9C00:F589:7C8C:8FB7:8AA3 19:55, 8 באוקטובר 2023 (IDT)

אתה מתעקש לשווא. העיקרון הובהר לך: כל פוטון, שהוא בדיוק קוונט של אור נושא מנת אנרגיה אחת ויחידה, ששקולה לתדר שלו. אלומת פוטונים נושאת אנרגיה שהיא סכום בדיד של כל ערכי האנרגיה של הפוטונים המרכיבים אותה. זהו, אין משהו יותר עמוק. זאת הקוונטיזציה היחידה שיש לחלקיקי אור חופשיים (ללא פוטנציאל). לגבי ערכי האנרגיה עצמה: כל פוטון יכול לקבל כל ערך ממשי חיובי של אנרגיה, ללא הגבלה. מבחנת מתמטית, אנרגיה של אלומה היא סכום של כמות סופית של ערכים ממשים חיוביים. אין משהו עמוק יותר, זהו. Corvus‏,(Nevermore)‏ 20:46, 8 באוקטובר 2023 (IDT)

להגיד כמוך כי - מובן הטענה שקרינה א"מ באה במנות בדידות - הוא שאלומת פוטונים נושאת אנרגיה שהיא סכום בדיד של כל ערכי האנרגיה של הפוטונים המרכיבים אותה, זה בערך כמו להגיד כי - משמעות ההיגד שהקטע המכיל את המספרים הממשיים הנמצאים בין אפס לאחד הוא תחום כביכול-דיסקרטי - היא שהקטע הנ"ל הוא איחוד סופי של שני תת-קטעים בודדים: תת-הקטע שבין אפס לחצי ותת-הקטע שבין חצי לאחד.

הן במשל והן בנמשל, "אין משהו עמוק יותר" מאשר מה שמנוסח בהם. ועדין, לפחות ההגד "הבלתי עמוק" הנ"ל שבמשל (שלפיו הקטע הנ"ל הוא תחום כביכול-דיסקרטי אם יוצקים לתוך מושג הדיסקרטיות הזו את המשמעות הנ"ל), הוא בעצם היגד שלא אומר כלום, ואינו אלא סוג של היגד טאוטולוגי, שהרי אותו היגיון כביכול-דיסקרטי שהופעל במשל - יכול באותה מידה להיות מופעל על כל תחום - וכך מושג הדיסקרטיות מאבד מעוקצו ומיחודיותו.

כל זה מוביל אפוא לשאלה, מה כבר ההבדל הגדול, בין המשל - לגבי הקטע הנ"ל, לבין הנמשל - לגבי קווינטוט האנרגיה.

2A06:C701:7477:9C00:E19C:D297:449D:9D8E 21:35, 8 באוקטובר 2023 (IDT)

סליחה, אבל אני יוצא מהדיון הזה. אתה סתם חופר לעומק איפה שאין שום עומק. המתמטיקה פה היא טריוואלית ביותר. כאמור, זה כולו סכום של סדרה ממשית. אתה מנסה להיכנס לעומק של שלולית יבשה. אני לא חושב שיש לי עוד מה להוסיף בדיון. Corvus‏,(Nevermore)‏ 21:48, 8 באוקטובר 2023 (IDT)

זה כולו סכום של סדרה ממשית.

כבר כתבתי, שאם אכן זאת משמעות קווינטוט האנרגיה, אס מה כבר ההבדל הגדול בין טענת קווינטוט האנרגיה לבין המשל שהיצגתי בשתי תגובותיי הקודמות לגבי הקטע שבין אפס לאחד. רק מה, ההגד שבמשל - הוא לא רק חסר-עומק - אלא הוא בעצם לא אומר שום דבר מעבר לסתם טאוטולוגיה, מה שמעלה את התהיה - האם טענת קווינטוט האנרגיה - כן אומרת משהו מעבר לסתם טאוטולוגיה.

אתה סתם חופר לעומק איפה שאין שום עומק...אתה מנסה להיכנס לעומק של שלולית יבשה.

בניגוד לדעתך, לדעתי כן יש משהו עמוק בטענה שהאנרגיה באה רק במנות בדידות, ולמעשה הוא הובהר בתגובתי האחרונה מלפני יומיים וחצי למשתמש: Yishaybg. אם אתה עובד לפי שעון ישראל, אז תמצא את תגובתי הנ"ל, לפי תאריך 6 באוקטובר 2023, שעה 11:54. שם תמצא משהו עמוק שהוא מעבר לסתם טאוטולוגיה.

2A06:C701:7477:9C00:E19C:D297:449D:9D8E 23:45, 8 באוקטובר 2023 (IDT)

שאלה בנושא הסתברות

מצב טיפול: חדש

נניח שאחד מכל עשרה תינוקות נולד עם מום. לאישה מסוימת יש שבעה ילדים. מה הסיכוי / ההסתברות, שלפחות אחד משבעת ילדיה נולד עם מום? מה הסיכוי שלפחות שניים מילדיה נולדו עם מום?

אשמח אם תוכלו להסביר גם את הביטוי המתמטי שבעזרתו אפשר לחשב זאת, ולא רק את התשובה הסופית. 2A00:A040:198:E416:9147:587D:9DF5:4302 16:27, 10 באוקטובר 2023 (IDT)

אדגים את העיקרון על השאלה הראשונה:

א. בהתחלה מחשבים את הסיכוי שתינוק נתון יוולד עם מום: עשירית.

ב. אחר כך מחשבים את הסיכוי שתינוק נתון יוולד בלי מום: אחד מינוס התוצאה הקודמת.

ג. אחר כך מחשבים את הסיכוי שכל שבעת הילדים יוולדו בלי מום: התוצאה הקודמת בחזקת שבע.

ד. אחר כך מחשבים את הסיכוי שלפחות אחד הילדים יוולד עם מום: אחד מינוס התוצאה הקודמת.

2A06:C701:7477:9C00:E19C:D297:449D:9D8E 17:54, 10 באוקטובר 2023 (IDT)

ע"ע התפלגות בינומית. עוזי ו. - שיחה 12:15, 12 באוקטובר 2023 (IDT)

הרכבת עקומות

הרכבה של פונקציות כולם יודעים לעשות, אבל מה לגבי "הרכבה" (אולי יותר נכון "הלבשה" או "עיקום") של עקומה אחת על עקומה אחרת?

אתן דוגמה, יש לי מעגל, נתון בהצגה פרמטרית, ועל גבי תווי המעגל אני רוצה "להלביש" למשל גל מרובע בקטע מסוים, כך שהתוצאה שתתקבל תראה כמו גלגל שיניים. אני לא רוצה לעבור לקואורדינאטות פולריות, הייתי רוצה להלביש על כל עקומה ולא רק מעגל.

תודה

ראה למשל ציקלואידה. התיאור הפרמטרי של ההרכבה הוא די פשוט: כתוב את שתי העקומות בצורה (x(t),y(t)), וחבר אותן (כזוגות סדורים התלויים בפרמטר t). עוזי ו. - שיחה 22:16, 19 באוקטובר 2023 (IDT)

נסיתי להלביש את העקומה y=sin(x) בהצגה פרמטרית על העקומה y=x גם בהצגה הפרמטרית בדרך שהצעת. ציפיתי לקבל בדרך הזאת את sin(x) נטוי בזווית של 45 מעלות, ובמקום זאת קיבלתי את העקום y=sin(x)+x 89.139.34.178‏ 13:26, 20 באוקטובר 2023 (IDT)

ברשות השואל, אנסה לנסח את השאלה במילים שלי. אם אני טועה במשהו, אנא תקן אותי.

• נתונות שתי עקומות. את הראשונה נכנה "בסיס" (בדוגמה הראשונה זה המעגל, בשנייה זה הישר), ואת השנייה נכנה "הפרעה" (בדוגמה הראשונה זה הגל הריבועי, בשנייה זה הסינוס).
• אם אני מבין נכון, ציר ה- x של הגרף של ההפרעה צריך "להתלבש" על עקומת הבסיס, כלומר הקואורדינטה הזו הופכת לאיזושהי קואורדינטה שנמדדת לאורך עקומת הבסיס, נקרא לה s; וציר ה-y של ההפרעה מתורגם לסטייה מעקומת הבסיס בכיוון שניצב לה, לוקאלית - כלומר בכל נקודה, הסטייה צריכה להיות בניצב לכיוון המקומי של ציר ה-s, לציר זה נקרא t.

אם לזה הכוונה, אז - בהנחה שעקומת הבסיס מספיק חלקה כדי שהכיווניות הלוקאלית שלה תהיה בכלל מוגדרת - צריך לבחור נקודה על העקומה שתהיה הראשית של ציר s (עבורה s=0, והראשית של עקומת ההפרעה "תתלבש" על הנקודה הזו), ואז לחשב את הנקודות שמתאימות לכל ערך של s (כלומר את x,y שנמצאות על עקומת הבסיס ומרחקן מהנקודה s=0 לאורך העקומה הוא s), לחשב את הנגזרת של העקומה בנקודה הזו ולזוז בניצב אליה (בכיוון t) לפי מה שמכתיבה עקומת ההפרעה. במקרים מאוד פשוטים (ישר, מעגל) האפיון הזה יהיה קל, אבל במקרה כללי לא קופצת לי לראש נוסחה פשוטה שתיתן את הפתרון. אולי אחרים יוכלו להיעזר בניסוח של השאלה ולמצוא תשובה טובה יותר (בהנחה שבכלל הבנתי את השאלה נכון). ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 00:42, 25 באוקטובר 2023 (IDT)

אני חושב שלזה הוא אכן מתכוון. צריך להניח גם איזושהי רציפות של הנגזרות כדי שכיוון הנורמל ("פנימה" או "החוצה") יהיה מוגדר היטב. עוזי ו. - שיחה 13:41, 25 באוקטובר 2023 (IDT)

סידרה פרדוקסאלית (?) של ארבע שאלות קצרצרות יחסותיות בסיסיות, שעליהן יש לענות לפי הסדר:

א. כשאני צופה בפוטונים אני מייחס להם מהירות C. איזו מהירות הם מייחסים לי כשהם "צופים" בי?

ב. כשאני צופה בפוטונים אני מייחס להם מסת מנוחה מאופסת. איזו מסת מנוחה הם מייחסים לי כשהם "צופים" בי?

ג. האם מסת המנוחה שלי אינוואריאנטית?

ד. האם מענה - על שלוש השאלות הקודמות - לפי סידרן, מעלה פרדוקס?

2A06:C701:7458:A500:4DF9:F6D3:76C5:FCA5‏ 23:00, 24 באוקטובר 2023 (IDT)

אלה שאלות מעולות. התשובות מאכזבות, אבל זו אשמתו של איינשטיין, לדעתי השאלות האלה עדיין טובות.

א,ב. יש לתורת היחסות בעיה לענות על שתי השאלות האלה. בשביל לדעת מה רואים כאשר צופים בך ממערכת ייחוס של פוטונים, צריך לבצע טרנספורמציית לורנץ מסוג boost למערכת ייחוס שנעה במהירות של הפוטונים, כלומר v=c. פקטור גאמה של לורנץ במקרה הזה הוא אינסוף (ליתר דיוק, הוא כלל לא מוגדר בגלל חלוקה באפס. כש-v שואף ל-c, פקטור לורנץ שואף לאינסוף). כך או כך, מערכת הקואורדינטות החדשה לא מוגדרת היטב בגלל פקטורי לורנץ שנמצאים בה.

ג. כן.

ד. לא.

אם נרצה לדבר על מהירויות שהולכות ומתקרבות למהירות האור, אבל עדיין קטנות ממנה, אז המהירות שהם ייחסו לך הולכת ומתקרבת למהירות האור (שווה למהירות שאתה מייחס להם), והמסה שהם ייחסו לך הולכת ושואפת לאינסוף (פקטור גאמה כפול מסת המנוחה שלך, ופקטור גאמה שואף לאינסוף כאמור). אבל בגבול עצמו כאמור הטרנספורמציה לא מוגדרת. ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 23:57, 24 באוקטובר 2023 (IDT)

פרה פרה.

אתחיל משאלה א. כדי לחדד אותה, אוסיף שאלת משנה: א(2).

א(2). כשאני צופה בגוף מסיבי נתון, אני מייחס לו מהירות V (כמובן |V|<|C| כי כאמור הגוף מסיבי). האם טרנספורמציות לורנץ - שאיזכורן היה נחוץ לך בתשובתך הקודמת, נחוצות כדי להסיק את המהירות המיוחסת לי על ידי הגוף הנ"ל כשהוא צופה בי?

2A06:C701:7458:A500:4DF9:F6D3:76C5:FCA5‏ 10:03, 25 באוקטובר 2023 (IDT)

תודה על השאלה, אנסה לחדד.

אם גוף א' נייח, וגוף ב' נע יחסית אליו במהירות v הנמוכה ממהירות האור, אז במערכת המנוחה של גוף ב', גוף א' ייראה כנע במהירות מינוס v.

זו תוצאה של טרנספורמציות לורנץ. עיין בשתי המשוואות הראשונות בקישור לטרנספורמציית boost שצירפתי לעיל. גוף א' נמצא נניח במיקום x=0 בכל זמן t במערכת המנוחה שלו. עבור המיקום והזמן של גוף א' במערכת שנעה עם גוף ב', נקבל:

t'=gt

x'=-gvt

כאשר g מציין את פקטור גאמה של לורנץ, וכל מה שעשינו הוא להציב x=0, שזה מיקומו של גוף א' במערכת המנוחה שלו.

כדי לחשב את מהירותו של גוף א' במערכת המנוחה של גוף ב', נחלק את המיקום בזמן ונקבל:

x'/t'=-v

כי גאמה וטי מצטמצמים במונה ובמכנה, וזו התוצאה המוכרת.

אבל כאשר מדובר בתנועה יחסית במהירות האור עצמה, פקטור לורנץ לא מוגדר (ולא "שווה אינסוף" כפי שכמעט כתבתי בחוסר זהירות בתשובה הקודמת, אבל הקפדתי לדייק, למרות שזה לא היה משנה הרבה לענייננו), גם המיקום וגם הזמן לא מוגדרים, ולא ניתן לצמצם את גאמה עם גאמה. כך שהתוצאה האחרונה לא תקפה במקרה הזה. בכל מהירות קטנה מ-c - כן, עבור c - לא. אין רציפות בנקודה הזו. ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 11:43, 25 באוקטובר 2023 (IDT)

תודה. מתשובתך לשאלה ג שלי אני מסיק, שגם על שאלה ב ניתן לענות:

תשובה ב: מסת המנוחה שתיוחס לי על ידי הפוטון תהיה מסת המנוחה שלי מנקודת מבטי שלי, ולכן היא לא תהיה מאופסת.

שאלה ב(2): לפי המשפט האחרון שלך, האם היעדר רציפות בנקודה v=c, מונע מאיתנו את היכולת לחשב - מנקודת מבטנו - את מסת המנוחה של הפוטון?

2A06:C701:7458:A500:4DF9:F6D3:76C5:FCA5‏ 16:52, 25 באוקטובר 2023 (IDT)

אנסה קצת לדייק את הדברים. סליחה אם ג ו-ב(1) קצת מתערבבים:

ג: מסת המנוחה אינווריאנטית תחת טרנספורמציית לורנץ, שכאמור לא מוגדרת עבור הפרמטר v=c. אין בעיה, עד כמה שידוע לי, להגדיר אותה כבעלת אותו ערך עבור צופה במהירות האור; הבעיה היא להגדיר את הצופה הזה.

ב(1): הערה: כשכתבתי לעיל שהמסה שייחסו לך (מתחת למהירות האור) היא מסת המנוחה שלך כפול פקטור לורנץ, התכוונתי כמובן למסה היחסותית שייחסו לך (נראה לי שכך הבנת, אני כותב רק כדי שיהיה ברור).

כדי להסיק את מסת המנוחה שלך, צופה (מתחת למהירות האור) ימדוד את המסה היחסותית שלך, ומתוך המהירות היחסית שלכם יחשב את פקטור לורנץ ויחלק בו.

מהי המסה היחסותית עבור גוף עם מסה, כאשר המהירות היחסית שווה למהירות האור? תורת היחסות לא עונה על זה. מצב כזה, של טרנספורמציית מעבר למערכת ייחוס עם v=c, פשוט לא נידון בתורת היחסות (עד כמה שאני יודע. אשמח אם מישהו יודע אחרת ויחדש לי). האם אפשר לומר שבמצב כזה צופה ימדוד את מסת המנוחה שלך כפי שהיא? אפשר. האם אפשר לומר משהו אחר? עד כמה שידוע לי, אפשר, למרות שלא יהיה הרבה הגיון בזה. זה פשוט מחוץ לתחום של התיאוריה.

ב(2): לגבי פוטונים, כשמדברים על "מסת המנוחה" שלהם, לא מדברים על מעבר למערכת מנוחה של פוטון ומדידת המסה שלו בה, מכיוון שאין מערכת כזו. לא קיימת טרנספורמציית לורנץ שתשנה את גודל המהירות של משהו שנע במהירות האור, ובפרט אין אחת שתאפס את המהירות. מה שכן, עבור פוטונים מתקיים הקשר E=pc (בגלל הביטויים לאנרגיה ולתנע במונחים של אורך הגל), ולכן כשמדברים על הקשר הכללי בין תנע ואנרגיה לחלקיק כלשהו

E^2=(pc)^2+(m0c^2)^2

הגודל המתאים להציב כדי לקבל את הקשר עבור פוטונים הוא m0=0. ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 23:07, 25 באוקטובר 2023 (IDT)

ראשית, תודה על הרחבת דבריך הקודמים.

שנית: אתה משתמש בצירוף, של הנוסחה $,E=pc$ ושל משוואת מינקובסקי $E={\sqrt {p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}}}$ (שהיא למעשה הנורמה היחסותית של וקטור ה־4־תנע במרחב מינקובסקי), כדי להסיק את התאפסות מסת המנוחה של הפוטון. אבל אל תשכח, שהדרך להגיע למשוואת מינקובסקי עצמה - עוברת דרך טרנספורמציית לורנץ (שאותה הציג לורנץ עוד בשנת 1899): $,m=\gamma m_{0}$ כמובן אחרי שמצרפים אליה את המשוואה שהתגלתה כבר ב-1905 על ידי אינשטיין $E=mc^{2}$ ושממנה גם נובעת המשוואה הראשונה שבה השתמשת: $E=pc$. למעשה, מבחינה היסטורית, טרנספורמציית לורנץ ומשוואת אינשטיין - היותר פשוטות הנ"ל - קדמו למשוואת מינקובסקי: מינקובסקי עצמו יכל "להמציא" - מאוחר יותר - את וקטור ה־4־תנע בעל הנורמה הנ"ל, רק אחרי שמינקובסקי התוודע לטרנספורמציית לורנץ ולמשוואת אינשטיין, לא קודם לכן.

הירחבתי על כך יותר (אלגברית), בתוך הערך E=mc², בפרק שימוש ב-m כמסמנת מסה יחסית (אגב, לא אני הייתי זה שהוסיף שם את פיסקאותיו האחרונות של הפרק, שמופיעות אחרי מילותיי האחרונות שם: "ולא קודם לכן").

2A06:C701:7458:A500:4DF9:F6D3:76C5:FCA5‏ 10:51, 26 באוקטובר 2023 (IDT)

היי, תודה על ההערות.

אעיר שהקשר E=pc בין אנרגיה לתנע של קרינה אלקטרומגנטית (מבוטא בד"כ ע"י הקשר בין הגדלים הנ"ל ליחידת זמן וליחידת שטח, כלומר בין שטף האנרגיה ללחץ הקרינה) היה ידוע עוד אי שם מהמאה ה-19 (אני מתכוון לקשר P=I/c שמתואר כאן), כשעדיין לא היה מקובל לדבר על פוטונים בודדים אלא על גלים. כאשר ייחסו לפוטונים בודדים אנרגיה ותנע בהתאם לתדירות שלהם, $E=h\nu ,p=h/\lambda$, הקשר הנ"ל עדיין נשמר (לנקודה הזו התייחסתי בתשובה הקודמת כשדיברתי על E=pc).

לגבי טרנספורמציית לורנץ (תודה רבה על המקור!), שים לב שזה לא בדיוק מה שהוא אמר. קודם כל, מדובר שם במסה כפי שהיא מופיעה בהקשר מסוים מאוד (השפעת כוח על תנועת גוף, וכיצד ההשפעה הזו משתנה בין מערכות ייחוס). בנוסף, הוא שם לב לכך שהמסה עוברת טרנספורמציה שונה בצירים השונים (בהקשר הנ"ל, של השפעת כוח) - הקשר הפשוט עם פקטור לורנץ הוא חלק קטן מאוד מהתמונה המלאה, וקצת מוצא מההקשר.

בין השאר מהסיבה הזו (שהמסה לא עוברת טרנספורמציה טריויאלית בדיוק בהקשר הזה) לא מקובל היום להשתמש במושג של מסה יחסותית (כלומר מסה שתלויה במערכת ייחוס) למעט בספרי לימוד, על אחת כמה וכמה כשהמשוואה המפורסמת E=m_rel*c2 מייתרת את המושג של מסה יחסותית במקביל לקיום מושג של אנרגיה כוללת, שכולם כבר "רגילים" לכך שהיא (האנרגיה) משתנה בין מערכות ייחוס גם במכניקה קלאסית.

כך או כך, טרנספורמציית לורנץ היא לא על המסה, אלא על הקואורדינטות. הדברים שקורים למסה, בכל הגדרה של מסה שבוחרים להשתמש בה ובכל תרחיש, הם תוצאה של הטרנספורמציה, ולא ההגדרה שלה.

לגבי הנורמה של ה-4-תנע מבחינה היסטורית, אתה צודק (אם כי, שים לב שפלאנק הקדים את מינקובסקי בפיתוח טרנספורמציית לורנץ עבור ה-4-תנע; אבל למיטב הבנתי גם הפיתוח שלו מניח מסה חיובית). אבל בימינו מקובל להגדיר את המסה בתור הנורמה של ה-4-תנע (עד כדי מהירות האור כמובן): m2c4=E2-p2c2, ועבור פוטונים, אצלם אגף ימין מתאפס בגלל E=pc, המסה המתקבלת היא אפס. אני מקווה שהצלחתי להסביר יותר טוב הפעם, סליחה אם לא הייתי מספיק ברור קודם.

לגבי הערך E=mc2, לצערי לא יצא לי להסתכל עליו, למרות שאני רוצה לעשות את זה כבר כמה חודשים, בעקבות הערות שהתקבלו לגביו (לגבי ניסוח למיטב זכרוני, לא לגבי התוכן; אני לא יודע אם זה היה לפני או אחרי התוספת שלך, אבל תודה רבה שהשקעת בערך! כנראה שהוא היה זקוק לזה). לאחרונה יש לי עוד פחות זמן מהרגיל, ולכן גם לקח לי זמן לכתוב את התשובה הזו, ואני לא יודע כמה קשב יהיה לי להמשך הדיון (במידה וימשיך). בכל אופן היה לי מעניין. תודה רבה! ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 23:17, 29 באוקטובר 2023 (IST)

א. לגבי הקשר E=pc: מעולם לא טענתי שהוא התגלה רק אחרי שהתגלתה נוסחת אינשטיין. רק טענתי: 1. שהוא נובע מנוסחת אינשטיין. 2. שוקטור ה-4-תנע התגלה רק אחרי שהתגלו, הן נוסחת אינשטיין, והן הזהות - שבין המסה היחסותית - לבין מכפלת מסת המנוחה בגורם גאמא.

ב. לגבי הערותיך על דבריי על המאמר של לורנץ שאליו הפניתי: למעשה שגיתי בהפניה, והתכוונתי למאמרו על "התופעות האלקטרומגנטיות" שפורסם בשנת 1904 (דהיינו שנה לפני פירסום נוסחת אינשטיין). אכן, באותה תקופה, הבחינו בין "מסה אורכית" לבין "מסה רוחבית", ולכן המסה היחסותית זוהתה בתור מכפלת מסת המנוחה בוקטור תלוי-מהירות בעל שלושה רכיבים. אבל אם נתעלם לרגע מההבדל הקונצפטואלי הזה, ונתחשב רק ברכיב של "המסה הרוחבית" שהיא הרלוונטית לענייננו, אז שים לב שבנוסחה 3 שם, הוא משתמש באות k עבור גורם גאמא. בנוסחה שאחרי נוסחה 33, הוא מציג משוואה, שבה באגף שמאל מופיעה המסה היחסותית, בעוד שבאגף ימין - מסת המנוחה מוכפלת בוקטור בעל שלושה רכיבים (כי כאמור באותה תקופה הבחינו בין "מסה אורכית" לבין "מסה רוחבית"), בעל "רכיב רוחבי" שהנו מכפלת ערך האות k הנ"ל (שהנו גורם גאמא כאמור) בערך של האות l שלגביה מוסק בהמשך (בשלוש השורות הראשונות של תחילת עמוד 824) כי: l=1. למעשה, מי שייחס למאמרו הנ"ל של לורנץ את החלוציות במציאת הזהות - שבין המסה היחסותית - לבין מכפלת מסת המנוחה בגורם גאמא, לא היה אני כמובן, אלא היה זה לא אחר מאשר מאקס בורן, בספרו "תורת היחסות של אינשטיין" משנת 1920 (תורגם לאנגלית בשנת 1922) עמוד 229.

ג. לגבי דבריך על מה שמקובל היום: יש להבחין בין הסיפרות המקצועית שעוסקת בחלקיקים אלמנטאריים, לבין הסיפרות המקצועית שעוסקת ביסודות תורת היחסות. הסיפרות המקצועית שעוסקת בחלקיקים אלמנטאריים, אינה מזכירה כלל את המסה היחסותית m, וכתחליף לכך - מסתפקת בהגדרה מסורבלת של התנע היחסותי בתור מכפלת המהירות במסת המנוחה m0 ובגורם גאמא, שזה בעצם היינו הך - מבחינת עומק הדברים - בהינתן ההגדרה הפשוטה של התנע הניוטוני: p=mv. אבל בסיפרות המקצועית שעוסקת ביסודות של תורת היחסות, ההצגה המסורבלת הקודמת - זו של התנע היחסותי - אינה מוצגת בתור הגדרה, אלא היא מוצגת בתור תוצאה - של הזהות שבין המסה היחסותית לבין מכפלת מסת המנוחה בגורם גאמא, ולכן בסיפרות זו שומרים על הגדרת התנע הניוטוני p=mv אבל מציבים בתור m את המסה היחסותית.

ד. לגבי דבריך "שטנרנספורמציית לורנץ היא לא על המסה, אלא על הקואורדינטות. הדברים שקורים למסה, בכל הגדרה של מסה שבוחרים להשתמש בה ובכל תרחיש, הם תוצאה של הטרנספורמציה, ולא ההגדרה שלה". נכון, אבל הטענה העיקרית שלי בתגובתי הקודמת היתה, שמינקובסקי ופלאנק לא היו יכולים להגיע לנוסחת ה-4-תנע, לולי היו מודעים, הן לנוסחת אינשטיין, והן אל הזהות - שבין המסה היחסותית לבין מכפלת מסת המנוחה בגורם גאמא - כפי שהתגלתה באופן ריגורוזי שנים רבות לפני שהועלתה נוסחת ה-4-תנע. אבל הואיל וזהות זו - שבין המסה היחסותית לבין מכפלת מסת המנוחה בגורם גאמא - אינה ניתנת להוכחה ריגורוזית כשמדובר בפוטונים, אז גם נוסחת ה-4 תנע - שבסך הכול רק נובעת-ריגורוזית מתוך הזהות הנ"ל (בצירוף נוסחת אינשטיין) - אינה ניתנת להוכחה ריגורוזית עבור פוטונים. לכן לא ניתן להשתמש בנוסחת ה-4-תנע כדי להוכיח שמסת המנוחה של הפוטון מאופסת. זה היה שורש הטענה שלי בתגובתי הקודמת.

אגב: כשלעצמי אני סבור, שהתאפסות מסת המנוחה של הפוטון, נובעת מכך שלפוטון אין מנוחה. פשוט, מכך שאין לו מנוחה, נובע לוגית שגם אין לו מסת מנוחה. לכן, לוגית, מסת המנוחה שלו מאופסת.

לגבי הערתך על הערך E=MC^2. כן גם אני שמתי לב לבעיות ניסוח חמורות, במיוחד בתוך הפרק הספציפי שלתחילתו הוספתי את תוספותיי - האלגבריות-גרידא יש לציין.

2A06:C701:7458:A500:9581:9B26:DB0F:2327‏ 22:18, 30 באוקטובר 2023 (IST)