משתמש:Avneref/מדע/פיזיקה/מודרנית

משתמש:Avneref/מדע/פיסיקה/משוואות; משתמש:Avneref/הנדסה/חשמל

בסוף המאה ה-19[עריכת קוד מקור | עריכה]

Quantum Theory Made Easy, סרטון באתר יוטיוב

מכניקה: תוכננה לנבא את התנועה של גופים מסיביים - דברים שמושפעים מכבידה
תרמודינמיקה: הקשר בין טמפרטורה וחום לבין אנרגיה וכוחות
אלקטרומגנטיות: אינטראקציות בין חלקיקים טעונים.

אופרטורים[עריכת קוד מקור | עריכה]

אופרטור הגזירה (דֶל)[עריכת קוד מקור | עריכה]

{\vec {\nabla }}\equiv {\hat {x}}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\hat {y}}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\hat {z}}{\frac {\partial }{\partial z}}\equiv \left(\ \partial _{x}\,\ \partial _{y}\,\ \partial _{z}\right)

${\nabla }$ : נבלה (סימן)

גרדיאנט[עריכת קוד מקור | עריכה]

גרדיאנט של שדה סקלרי הוא שדה וקטורי, כך שוקטור הגרדיאנט מצביע אל הכיוון בו השינוי בשדה הסקלרי מירבי; גודל וקטור הגרדיאנט כשיעור השינוי המירבי.

\operatorname {grad} \psi ={\vec {\nabla }}\psi \equiv {\frac {\partial \psi }{\partial x}}{\hat {x}}+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\hat {y}}+{\frac {\partial \psi }{\partial z}}{\hat {z}}

למשל: הפוטנציאל הוא שדה סקלרי $\ U({\vec {r}})$ , והכוח שפועל על חלקיק שנמצא בהשראת אנרגיה פוטנציאלית, הוא הגרדיאנט של האנרגיה הפוטנציאלית $\ {\vec {F}}({\vec {r}})=-{\nabla }U({\vec {r}})$ ; משמעות: הכח הפועל על הגוף מושך לכיוון בו הפוטנציאל קטֵן במידה המירבית.

דיברגנץ[עריכת קוד מקור | עריכה]

דיברגנץ של שדה וקטורי הוא שדה סקלרי, שמבטא את "כמות" (צפיפות) המקורות של השדה בכל נקודה; זאת ע"י סיכום של התוספות לוקטור בשלושת הממדים:

\operatorname {div} {\vec {F}}={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {F}}={\frac {\partial {F}_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial {F}_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial {F}_{z}}{\partial z}}

מודד את המידה שבה השדה "מתפזר" (diverges) מהנקודה - ובפיזיקה: כתוצאה ממקור שיוצר שדה של וקטורים ש"יוצאים" מהמקור; לכן, אם שדה הוקטורים "מצביע" על הנקודה מכל הכיוונים - השדה "מתכנס" אליה, והדיברגנץ שלילי חזק. מסוסקינד

משפט הדיברגנץ (גאוס):

$\iiint \limits _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {E} \right)dV=\iint \limits _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {S}$

משוואות מקסוול[עריכת קוד מקור | עריכה]

משוואה 1[עריכת קוד מקור | עריכה]

הדיברגנץ של צפיפות-השטף של השדה חשמלי בנקודה, הוא צפיפות המטען שם:

{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\mathbf {D} }}=\rho

(ובחלל חופשי, צפיפות-השטף של השדה:

{\vec {\mathbf {D} }}=\epsilon _{0}{\vec {\mathbf {E} }}

)

זהו חוק קולון; או בהכללה חוק גאוס: אחד המקורות של השדה החשמלי הוא המטען החשמלי.
משמעות: קיום מטען בנקודה יוצר שדה (חשמלי) של וקטורים ש"יוצא" מהנקודה; במדויק: צפיפות המטען יוצרת תוספת לשטף של השדה החשמלי בנקודה.

אנלוגיה: הדיברגנץ של שדה הכבידה בנקודה, שווה לצפיפות המסה: ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}=-4\pi \rho G$ (ו-A היא תאוצת הכבידה בכל נקודה)

במקרה הפשוט של חוק קולון למטען "נקודתי" Q (או אפילו למטען נפחי שגודלו הכולל Q) - השדה במרחק r מ"מרכז" המטען: $E={\frac {Q}{r^{2}}}$ .
במקרה הכללי של שדה: ${\vec {E}}=E_{x}{\hat {x}}+E_{y}{\hat {y}}+E_{z}{\hat {z}}$ רכיבי השדה של מטען כזה: $E_{x}={x \over r}\cdot {Q \over r^{2}}={xQ \over r^{3}};\,\,r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}};\,\,{\partial E_{x} \over \partial x}={y^{2}+z^{2}-2x^{2} \over {(x^{2}+y^{2}+z^{2})}^{5/2}}\cdot Q?$ ,^[1]

ומהגדרת הדיברגנץ:
$\operatorname {div} {\vec {E}}=Q\cdot {y^{2}+z^{2}-2x^{2}+x^{2}+z^{2}-2y^{2}+x^{2}+y^{2}-2z^{2} \over {(x^{2}+y^{2}+z^{2})}^{5/2}}=0$ , ואכן, מחוץ לכדור אין מטען.

בתוך הכדור:
$E_{x}={x \over r}\cdot {Q_{in-r} \over r^{2}}={x \over r}\cdot {{{4\pi \over 3}\rho r^{3}} \over r^{2}}={4\pi \over 3}\rho \cdot x;\,\,{\partial E_{x} \over \partial x}={4\pi \over 3}\rho$ ^[1]

$\operatorname {div} {\vec {E}}={4\pi \over 3}\rho (1+1+1)=4\pi \rho$ , בהתאם לצפיפות המטען בתוך הכדור.

בקואורדינטות כדוריות: מחוץ לכדור, $E_{r}={Q \over r^{2}}{\hat {r}},E_{\theta }=0,E_{\phi }=0$
$\operatorname {div} {\vec {E}}={1 \over r^{2}}{\partial (r^{2}E_{r}) \over \partial r}={1 \over r^{2}}\cdot 0$
ובתוך הכדור:
$E_{r}={{{4\pi \over 3}\rho \cdot r^{3}} \over r^{2}};\,\,\operatorname {div} {\vec {E}}={1 \over r^{2}}{\partial (r^{2}r{4\pi \over 3}\rho ) \over \partial r}={1 \over r^{2}}\cdot {4\pi \over 3}\rho \cdot 3r^{2}=4\pi \rho$

השדה החשמלי בתוך טבעת טעונה, סרטון באתר יוטיוב

משוואה 2[עריכת קוד מקור | עריכה]

הדיברגנץ של צפיפות-שטף של השדה מגנטי הוא אפס:

{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\mathbf {B} }}=0

(ובחלל חופשי, צפיפות-השטף של השדה:

{\vec {\mathbf {B} }}=\mu _{0}{\vec {\mathbf {H} }}

)

משמעות:

לשדה מגנטי אין מקורות חוץ מזרם חשמלי. ^[2]
סך השטף המגנטי דרך כל נפח סגור הוא 0 - זהו חוק גאוס למגנטיות. שקול לכך: "קו שדה" מגנטי לעולם לא מתחיל או מסתיים בנקודה (בניגוד לחשמלי) - הם תמיד יוצרים עקומות סגורות; ולכן לא יתכן גוף סגור, אפילו אינפניטסימלי, שסך השטף דרכו, יוצא ונכנס, אינו 0.
השדה המגנטי אי-דחיס Solenoidal.
אין בעולם (כנראה) מונופול מגנטי - כל המגנטים באים בזוגות. ^[3]

רוטור[עריכת קוד מקור | עריכה]

רוטור של שדה וקטורי הוא שדה וקטורי, שמבטא (לכל נקודה במרחב) את המידה שבה השדה "מסובב מגנט-בוחן" (במרחב, לא בזמן) סביב הנקודה; כיוון וקטור הרוטור הוא בניצב למישור הסיבוב.

הרוטור של שדה מגנטי B במרחק מתיל נושא-זרם I הוא 0; רק בנקודה בה יש זרם, הרוטור שווה לצפיפות הזרם J. ^[2]
"מבחן" לכך שהרוטור [למשל: של B] אינו 0: שמים כדור קטן בנקודה בשדה [B]; אם יש "זרימה" של מקור [J], שהוא שדה וקטורי שיוצר את השדה [B], אז השדה [B] יסובב את הכדור על ציר שפונה בכיוון המקור [J] [כי בהשפעת J, השדה B גדול בכיוון של קוי השדה החיצוניים יותר מאשר בכיוון הפנימיים; למשל, אם במוליך בעל חתך מעגלי יש J אחיד, אז בתוך המוליך B גדל כלפי חוץ בשיעור r, ומחוץ לו B קטֵן בשיעור r. ^[4]]. באזור שבו [J] הוא 0, הכדור לא יסתובב, למרות ש-[B] קיים (ואפילו נראה כמסתובב; הסיבה כנראה: אמנם בכיוון רחוק מהמוליך השדה קטֵן בשיעור r, אבל המנוף שלו גדל באותו שיעור, כך שממונט הסיבוב נשמר). [1]

\!\,curl\ {\vec {F}}_{x}={\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}_{x}=\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right){\hat {x}}

.

אם רוטור שווה 0 בכל נקודה, אז הוא בהכרח גרדיאנט של שדה פוטנציאל. הסיבה: לפי חוק סטוקס לוקטורים, אינטגרל משטחי של הרוטור של F שווה לאינטגרל הקוי של F על שפת המשטח; אם הרוטור זהותית 0, כך גם הקוי על כל מסילה סגורה במרחב; מכאן שפונקציה סקלרית φ שמוגדרת כאינטגרל קוי על F לאורך מסילה: $\phi ({\vec {x}})=\int _{0}^{\vec {x}}{\vec {F}}\cdot {\vec {d}}l$ - אינה תלויה במסילה (ולכן היא מוגדרת היטב), ולכן F משמר, הוא גרדיאנט של φ (כי להיפך: φ האינטגרל של F), ו-φ הוא שדה פוטנציאל. [2]

משוואה 3[עריכת קוד מקור | עריכה]

1. הרוטור של השדה האלקטרוסטטי הוא 0.
משמעות: שדה אלקטרוסטטי לא "מסתובב" סביב כיוון השדה (אין קשר לכך ש"קווי השדה" עשויים להתעקם - בדומה לשדה מגנטי בנקודה ללא זרם, שמסתובב אך הרוטור הוא 0). בניגוד לשדה מגנטי שמסתובב "ממש" כתוצאה מזרם בנקודה - לשדה חשמלי אין כל מקור "זורם" ש"מסובב אותו"; ולשדה מגנטי אין מקור פרט לזרמים (#משוואה (2)).
2. כללית: הרוטור של השדה החשמלי (כולל השדה שנובע משינוי השדה המגנטי בזמן), שווה לקצב השינוי (של צפיפות שטף) השדה המגנטי:

{\vec {\nabla }}\times {\vec {\mathbf {E} }}=-{\frac {\partial {\vec {\mathbf {B} }}}{\partial t}}

זהו חוק פאראדיי. משמעות: שינוי בשדה המגנטי משרה שדה חשמלי חדש; אם השינוי הוא מחזורי (בפרט: סינוסי), אז גם השדה החשמלי משתנה כסינוס, ונוצר גל אלקטרומגנטי.

משוואה 4[עריכת קוד מקור | עריכה]

{\vec {\nabla }}\times {\vec {\mathbf {B} }}=\mu _{0}{\vec {\mathbf {J} }}+\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {\mathbf {E} }}}{\partial t}}

או:

{\vec {\nabla }}\times {\vec {\mathbf {H} }}={\vec {\mathbf {J} }}+{\frac {\partial {\vec {\mathbf {D} }}}{\partial t}}

זהו חוק אמפר עם תיקון מקסוול.
משמעות: מקורות השדה המגנטי הם שינוי (צפיפות שטף) השדה החשמלי, וזרם חשמלי. ^[2]

הקבלה[עריכת קוד מקור | עריכה]

שדה B הוא רוטור של פוטנציאל וקטורי A (כפי ששדה E שהוא גרדיאנט של פוטנציאל סקלרי φ). זה נובע מ:

{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0

(לשדה המגנטי אין מקורות);

לכל וקטור A: $\operatorname {div} \operatorname {curl} {\vec {A}}=0$ ^[5] ומכאן שניתן למצוא שדה וקטורי ${\vec {A}}$ כך ש ${\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}$ . שדה זה הוא הפוטנציאל הווקטורי.

כוח לורנץ[עריכת קוד מקור | עריכה]

\ {\vec {F}}=q\left({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right)

המשוואות בתוספת הכוח מאפשרות לבנות את משוואות התנועה של כל חלקיק.

גל אלקטרומגנטי[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהרצאות פיינמן

המקור האמיתי של גלים אלקטרומגנטיים, סרטון באתר יוטיוב, בערוץ של Atoms and Sporks
תפיסות שגויות:
- שדה חשמלי נוצר ע"י מטען, שדה מגנטי - ע"י זרם; לא - השדה האלקטרומגנטי (כולו) בנקודה מסויימת הוא המידע (הלא-מעודכן) על מיקומו, מהירותו ותאוצתו של מטען בעבר (מבלי תאוצה - יש רק שדה חשמלי).
- השדות החשמלי והמגנטי יוצרים זה את זה; לא - הם לא משפיעים זה על זה, שניהם נוצרים ביחד ברגע שהגל הגיע מהמקור שלהם.
- הם נעים כגל בעל צורה סינוסית קבועה; לא - צורת הגל תלויה בהתנהגות המקור.

קרינת גוף שחור[עריכת קוד מקור | עריכה]

גוף שבולע את כל הקרינה; בקירוב טוב: השמש, היקום, נורת להט, גוף חי - לא פולטים כמעט קרינה שהם סופגים. לכן הקרינה שלהם היא קרינה תרמית?, ולה יש תכונות:

הספקטרום תלוי רק בטמפרטורה - לא בחומר
תדירות שיא הקרינה: לינארי בטמפרטורה
פלאנק הצליח לנסח את ההתפלגות כפונקציה של התדירות, אבל רק בהנחה שהקרינה נפלטת במנות של h*υ. ללא הנחה זו: חוק ריילי-ג'ינס נכון רק לתדירויות נמוכות, וסוטה מתוצאות ניסוי באזור האולטרה-סגול - "הקטסטרופה של העל-סגול". לתדירויות גבוהות: חוק וין - פשוט ואמפירי, אבל לא מסביר.

קרני רנטגן[עריכת קוד מקור | עריכה]

הספטרום מורכב משתי תופעות:

רציף, כתוצאה מקרינת בלימה (Bremsstrahlung): בלימת אלקטרונים מהירים שנתקעים בחומר, מוסבר בפיזיקה קלאסית ע"י קרינה שנוצרת מהאטת האלקטרונים; אך לא מוסבר: הספקטרום מסתיים באורך-גל מינימלי, שלא תלוי בחומר, אבל תלוי-הפוך במתח ההאצה. הסיבה: כדי לפלוט פוטון באורך גל λ, אלקטרון חייב אנרגיה מינימלית h*c/λ; אבל האנרגיה שלו היא eV באלקטרון-וולטים, ואם היא לא מספיק גדולה, אז λ יהיה קטן מ-h*c/eV ולא ייפלט פוטון. הוכחה לחלקיקיות של קרינת-X.
קווי, שאורך-הגל שבו הקו מופיע תלוי בחומר. ???

אפקט קומפטון[עריכת קוד מקור | עריכה]

קרני X מתפזרות אחרי פגיעה במוצק (למשל: גרפיט, פרפין). תדירות הקרינה המופזרת קטנה יותר, והפרש אורך-הגל קשור לזווית הפיזור: λ(θ)-λ0=0.0243Å*(1-cosθ)z.

הוכיח סופית שלפוטון יש תנע ואנרגיה, ולכן לקרינה גם אופי חלקיקי (פרס נובל לפיזיקה, 1927).

יש גם קרינה חוזרת ללא שינוי תדירות: פיזור תומפסון, כתוצאה מפגיעה באטומים (למעשה, באלקטרון קשור בתוך האטום), שהם כבדים בהרבה והאלקטרון כמעט לא מזיז אותם ולכן לא מעביר להם אנרגיה.

אלקטרודינמיקה קוונטית[עריכת קוד מקור | עריכה]

למשל, מסבירה כח חשמלי זעיר בין 2 מולכים לא-טעונים.

תורת היחסות הכללית[עריכת קוד מקור | עריכה]

בעיה דו-גופית[עריכת קוד מקור | עריכה]

במכניקה קלאסית, ללא כוחות נוספים, קיים פתרון אנליטי פשוט: בעיית קפלר.
הפתרון הקלאסי לא מסביר, למשל, את מידת הנקיפה של פלנטות, למשל "כוכב חמה", שהנקיפה שלו מוסברת באופן קלאסי עד כדי שגיאה של 43 שניות-קשת (מתוך 532) למאה שנים. לאחר שאורבן לה-ורייה וניוקום מדדו בדיוק, אלברט איינשטיין היה הראשון להראות שהיחסות הכללית מסבירה.
- אם מניחים שאחד הגופים מסיבי בהרבה מהשני - יש פתרון אנליטי יחסותי: פתרון שוורצשילד.
- ללא הנחה זו (קיים במקרה של מערכות בינאריות של כוכב נייטרונים או חור שחור), אין פתרון אנליטי; ניתן לפתור ע"י:
  - איטרציות של פוסט-ניוטונית (אנ')
  - בשיטות נומריות מודרניות; בהינתן מספיק כוח חישוב (החל מ-1990), הפתרון מדויק יותר מפוסט-ניוטון. בעיית קפלר לגופים מסיביים מתמזגים - קשה מאד לפתרון, בגלל הפתרון ב-4 ממדים, אבל כיום אפשרית (ושימשה לחישוב תגלית גלי הכבידה).
(Two-body problem in general relativity)

משוואת איינשטיין:

G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{g_{\mu \nu }R \over 2}+\Lambda g_{\mu \nu }

חשמל[עריכת קוד מקור | עריכה]

מודל דרודה (Drude, 1900): נושאי זרם חשמלי: גז אלקטרונים; ההתנגדות בגלל פיזור מגרעיני האטומים של המוליך; האמת:

נושאים: האלקטרונים הבלתי-מקומיים (Delocalized או bloch), שדרושה מעט אנרגיה כדי להביאם להולכה.
התנגדות: בגלל (1) פגמים בשריג (חוסר באטום או אילוח); (2) גלי-שריג, (גלים אקוסטיים, פונוןים), תנודות הרמוניות קטנות בין האטומים.

זאת הסיבה שחלק מהבדדים שקופים - הפוטונים אינם נבלעים, כי דרושה אנרגיה רבה כדי לעקור אלקטרון ממצב קשור, ולבלוע פוטון.

מכניקת הקוונטים ומיתוסים של בי"ס תיכון, סרטון באתר יוטיוב

המחשות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מכניקה קוונטית, סרטון באתר יוטיוב; מכניקה קוונטית
מכניקה קוונטית (ניסוי 2 הסדקים, עם חתול), סרטון באתר יוטיוב

טנזור[עריכת קוד מקור | עריכה]

tensors for beginners, סרטון באתר יוטיוב
טנזורים באופן אינטואיטיבי, סרטון באתר יוטיוב

הערות[עריכת קוד מקור | עריכה]

^ ¹ ² כך במקרה הכללי, שהשדה נמדד בנקודה כלשהי, ולאו-דוקא על אחד הצירים הקרטזיאניים. אך גם במקרה פרטי שהנקודה על ציר ה-x: אמנם, $E_{x}={Q \over x^{2}}={4\pi \over 3}\rho \cdot x$ , וזה נכון לכל x, ולכן: ${\partial E_{x} \over \partial x}={4\pi \over 3}\rho$ ; אבל גם בצירים האחרים: אמנם, $E_{y}|_{y=0}=0;\,\,E_{z}|_{z=0}=0$ , אבל ${\partial E_{y} \over \partial y}={4\pi \over 3}\rho$ (כי $E_{y}={y \over r}\cdot {Q \over r^{2}}$ ).
^ ¹ ² ³ זרם כולל I דרך משטח, ובמקרה הכללי: צפיפות הזרם J בנקודה, גורם לכך שהרוטור של שדה מגנטי בנקודה (=מידת ה"סיבוב" של השדה המגנטי בנקודה), שווה לצפיפות הזרם בנקודה (בהתאמה לכך, שהאינטגרל המשטחי על הרוטור של וקטור כלשהו, שווה לאינטגרל הקוי על הוקטור לאורך שפת המשטח - זהו משפט סטוקס#חוק סטוקס.)
^ יש תאוריות שמניחות קיומם של מונופולים - זה יוצר סימטריה יפה במשוואות מקסוול עצמן! - ? הם מסבירים את הקוונטיזציה של מטען חשמלי. בתורת המיתרים הם הכרחיים.
^ $B_{in}={\frac {\mu _{0}}{2\pi }}\cdot {\frac {I}{r}};B_{out}={\frac {\mu _{0}}{2\pi a^{2}}}I\cdot r$
^ ${\frac {\delta }{\delta x}}({\frac {\delta }{\delta y}}A_{z})={\frac {\delta }{\delta y}}({\frac {\delta }{\delta x}}A_{z})\implies \operatorname {div} \operatorname {curl} {\vec {A}}={\frac {\delta }{\delta x}}({\frac {\delta }{\delta y}}A_{z}-{\frac {\delta }{\delta z}}A_{y})+{\frac {\delta }{\delta y}}({\frac {\delta }{\delta z}}A_{x}-{\frac {\delta }{\delta x}}A_{z})+{\frac {\delta }{\delta z}}({\frac {\delta }{\delta x}}A_{y}-{\frac {\delta }{\delta y}}A_{x})=0$

[שדה_חשמלי-1] ¹ ² כך במקרה הכללי, שהשדה נמדד בנקודה כלשהי, ולאו-דוקא על אחד הצירים הקרטזיאניים. אך גם במקרה פרטי שהנקודה על ציר ה-x: אמנם, $E_{x}={Q \over x^{2}}={4\pi \over 3}\rho \cdot x$ , וזה נכון לכל x, ולכן: ${\partial E_{x} \over \partial x}={4\pi \over 3}\rho$ ; אבל גם בצירים האחרים: אמנם, $E_{y}|_{y=0}=0;\,\,E_{z}|_{z=0}=0$ , אבל ${\partial E_{y} \over \partial y}={4\pi \over 3}\rho$ (כי $E_{y}={y \over r}\cdot {Q \over r^{2}}$ ).

[רוטור_של_שדה_מגנטי-2] ¹ ² ³ זרם כולל I דרך משטח, ובמקרה הכללי: צפיפות הזרם J בנקודה, גורם לכך שהרוטור של שדה מגנטי בנקודה (=מידת ה"סיבוב" של השדה המגנטי בנקודה), שווה לצפיפות הזרם בנקודה (בהתאמה לכך, שהאינטגרל המשטחי על הרוטור של וקטור כלשהו, שווה לאינטגרל הקוי על הוקטור לאורך שפת המשטח - זהו משפט סטוקס#חוק סטוקס.)

[3] יש תאוריות שמניחות קיומם של מונופולים - זה יוצר סימטריה יפה במשוואות מקסוול עצמן! - ? הם מסבירים את הקוונטיזציה של מטען חשמלי. בתורת המיתרים הם הכרחיים.

[4] $B_{in}={\frac {\mu _{0}}{2\pi }}\cdot {\frac {I}{r}};B_{out}={\frac {\mu _{0}}{2\pi a^{2}}}I\cdot r$

[5] ${\frac {\delta }{\delta x}}({\frac {\delta }{\delta y}}A_{z})={\frac {\delta }{\delta y}}({\frac {\delta }{\delta x}}A_{z})\implies \operatorname {div} \operatorname {curl} {\vec {A}}={\frac {\delta }{\delta x}}({\frac {\delta }{\delta y}}A_{z}-{\frac {\delta }{\delta z}}A_{y})+{\frac {\delta }{\delta y}}({\frac {\delta }{\delta z}}A_{x}-{\frac {\delta }{\delta x}}A_{z})+{\frac {\delta }{\delta z}}({\frac {\delta }{\delta x}}A_{y}-{\frac {\delta }{\delta y}}A_{x})=0$

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

	דף זה אינו ערך אנציקלופדי
	דף זה הוא טיוטה של Avneref.

דף זה אינו ערך אנציקלופדי
דף זה הוא טיוטה של Avneref.