פאון משוכלל

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
חמשת הפאונים המשוכללים בגן המדע במכון ויצמן

בגאומטריה של המרחב, פֵּאוֹן משוכלל הוא גוף קמור המוגבל על ידי מצולעים משוכללים, כך שבכל קודקוד שלו נפגש מספר שווה של מקצועות ולכל פאה מספר שווה של פאות שצמודות לה.

במרחב התלת-ממדי קיימים חמישה פאונים משוכללים: ארבעון, קובייה, תמניון, תריסרון ועשרימון.

במרחב הארבע-ממדי קיימים שישה פאונים משוכללים: חמישה מהם הם המקבילים הארבע-ממדיים של הפאונים המשוכללים התלת-ממדיים, ואילו השישי הוא האוֹקְטַפְּלֶקְס. לאוקטפלקס 96 פאות משולשות, 96 צלעות ו-24 קודקודים.

במרחבים n-ממדיים כאשר n גדול מ-4, קיימים רק שלושה פאונים משוכללים: סימפלקס n-ממדי, קובייה n-ממדית ותמניון n-ממדי, המקבילים ה-n-ממדיים לפאונים התלת-ממדיים ארבעון, קובייה ותמניון בהתאמה.

פאונים משוכללים תלת ממדיים[עריכת קוד מקור | עריכה]

חמשת הפאונים המשוכללים במרחב התלת-ממדי הם:

  • ארבעון (טטרהדרון) - פאון משוכלל בעל 4 פאות שכל אחת מהן היא משולש שווה-צלעות (פירמידה משולשת).
  • קובייה (הקסהדרון) - פאון משוכלל בעל 6 פאות שכל אחת מהן היא ריבוע.
  • תמניון (אוקטהדרון) - פאון משוכלל בעל 8 פאות שכל אחת מהן היא משולש שווה-צלעות (שווה ערך לשתי פירמידות ריבועיות המחוברות בבסיסן).
  • תריסרון (דודקהדרון) - פאון משוכלל בעל 12 פאות, שכל אחת מהן היא מחומש שווה-צלעות.
  • עשרימון (איקוסהדרון) - פאון בעל 20 פאות שכל אחת מהן היא משולש שווה-צלעות.

גופים אלו מכונים גם "הגופים האפלטוניים" או "הגופים המשוכללים של אפלטון", וזאת משום שהם מוזכרים בדיאלוג האפלטוני "טימאוס", אם כי הם היו ידועים עוד לפני זמנו של אפלטון. התריסרון התגלה על ידי הפיתגוראים, שהכירו גם את יתר הגופים.

אוקלידס הראה בספרו "יסודות" איך לבנות את הגופים האלה והוכיח שאלה הפאונים המשוכללים היחידים בשלושה ממדים.

במרחב התלת ממדי, לא ניתן לצור פאון ממשושים משוכללים, כי הצמדתם יוצרת בהכרח מישור

הסיבה לכך שחמשת אלו בלבד הם הפאונים המשוכללים האפשריים במרחב התלת ממדי, היא העובדה שכל קודקוד של פאון כזה צריך להפגיש יותר משני קודקודים של מצולע משוכלל וליצור מהם משטח לא מישורי. קודקוד כזה של פאון, אפשר ליצור בחמש דרכים: הצמדת קודקודים של שלושה משולשים שווי צלעות (כמו בארבעון), הצמדת קודקודים של ארבעה משולשים שווי צלעות (כמו בתמניון), הצמדת קודקודיהם של חמישה משולשים שווי צלעות (כמו בעשרימון), הצמדת קודקודיהם של שלושה ריבועים (כמו בקובייה) והצמדת קודקודיהם של שלושה מחומשים (כמו בתריסרון). יצירת פאון שבכול קודקוד שלו יש יותר מחמישה קודקודים של משולשים שווי צלעות, אינה אפשרית כי שישה קודקודים כאלו יוצרים משטח מישורי לחלוטין ויותר משישה אינם ניתנים להצמדה. אותו הדין לגבי קודקודים של יותר משלושה ריבועים ויותר משלושה מחומשים משוכללים. לגבי מצולעים שיש להם יותר מחמש צלעות, שלושה משושים יוצרים מישור וקודקודיהם של שלושה מצולעים משוכללים עם כל מספר אחר של צלעות אינם ניתנים להצמדה.

חבורות הסימטריה של הפאונים המשוכללים הן \ A_4 (חבורת התמורות הזוגיות מסדר 4) לאוקטהדרון, \ S_4 (החבורה הסימטרית מסדר 4) לארבעון ולקוביה, ו- \ A_5 לדודקהדרון ולאיקוסהדרון.

שימושים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הפאונים המשוכללים כקוביות משחק

בפאונים המשוכללים, בעיקר בקובייה, משתמשים ליצירת קוביות משחק. זאת משום שקוביות כאלה תהיינה הוגנות - לכל פאה יהיה אותו סיכוי להופיע בהטלת הקוביה.

הקוביות הסטנדרטיות של משחק התפקידים מבוכים ודרקונים הן חמשת הגופים המשוכללים בתוספת גוף אחד שאינו משוכלל, אף כי הוא מורכב מעשר פאות זהות: פאותיו מהוות דלתונים, ולא מצולעים משוכללים.

סימבוליזם[עריכת קוד מקור | עריכה]

טימאוס מלוקרי, מראשוני הפיתגוראים, ערך התאמה מיסטית בין ארבעת הפאונים הראשונים ובין ארבעת היסודות שהיו מקובלים ביוון העתיקה (אש, אוויר, מים ואדמה)‏‏‏[1]. אפלטון, בדיאלוג טימאוס העוסק בקוסמולוגיה, אימץ התאמה שונה מעט: הוא שייך את הארבעון לאש, את הקוביה לאדמה, את התמניון לאוויר ואת העשרימון למים, וקישר את התריסרון לגלגל המזלות - כשם שלתריסרון יש 12 פאות, כך בשמים יש 12 מזלות. להשלמת ההקבלה הוסיף מאוחר יותר אריסטו יסוד חמישי לרשימה, אתר.

פאצ'ולי, בחיבורו על הפרופורציה האלוהית, קישר את התריסרון ליסוד החמישי, וקישר בינו לבין יחס הזהב, הלא הוא "הפרופורציה האלוהית".

כמעט אלפיים שנה מאוחר יותר, בסוף המאה ה-16, קישר יוהנס קפלר את הגופים המשוכללים לכוכבי הלכת שהיו ידועים אז (מלבד כדור הארץ): כוכב חמה, נוגה, מאדים, צדק ושבתאי, כשהציע שהיחסים בין הגופים המשוכללים החוסמים את אותו כדור, קובעים את המרחקים היחסיים של כוכבי הלכת אל השמש.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

חמשת הפאונים האפלטוניים
Tetrahedron.jpg Hexahedron.jpg Octahedron.jpg Dodecahedron.jpg Icosahedron.jpg
טטרהדרון
(ארבעון - 4 פאות)
הקסהדרון
(קובייה - 6 פאות)
אוקטהדרון
(תמניון - 8 פאות)
דודקהדרון
(תריסרון - 12 פאות)
איקוסהדרון
(עשרימון - 20 פאות)


קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ ‏Regular Polytopes, H.S.M. Coxeter, עמ' 13‏