שבר משולב

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

שבר משולב הוא ביטוי מהצורה $x = a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\frac{1}{\,\cdots+\frac{1}{a_n}}}}}$, כאשר המספרים $\ a_0,a_1,\dots,a_n$ הם בדרך כלל מספרים טבעיים, או ביטוי אינסופי בעל מבנה דומה.

שברים משולבים מופיעים בתחומים שונים של תורת המספרים: ניתוח האלגוריתם של אוקלידס לחישוב מחלק משותף מקסימלי, פתרון משוואת פל, ובעיקר קירובים רציונליים למספרים ממשיים. למעשה, נתן להראות כי הקירובים המתקבלים על ידי שברים משולבים הם הקירובים הרציונליים הטובים ביותר. לשברים משולבים יש חשיבות רבה גם באנליזה נומרית, לצורך קירוב של קבועים ופונקציות שונות, לרבות פונקציות לא אלמנטריות.

סימונים והכללות

לשם הקיצור, מקובל לסמן את השבר המשולב המופיע במבוא בסימון $\ x=[a_0;a_1,\dots,a_n]$. שבר כזה, שבו כל המונים שווים ל-1, קרוי לפעמים שבר משולב פשוט, בעוד ששבר משולב מוכלל הוא ביטוי כללי יותר, מן הצורה $x = a_0+\frac{b_1}{a_1+\frac{b_2}{a_2+\frac{b_3}{a_3+\,\cdots+\frac{b_n}{a_n}}}}$. שברים משולבים כאלה כותבים לפעמים כ- $x=a_0+ \frac{b_1}{a_1+}\, \frac{b_2}{a_2+}\, \frac{b_3}{a_3+}\ldots$.

הרכיבים הסופיים של שבר משולב

את השבר האינסופי $x=a_0+\frac{b_1}{a_1+}\,\frac{b_2}{a_2+}\,\frac{b_3}{a_3+}\ldots$ אפשר לחקור בעזרת המרכיבים הסופיים שלו, $\ x_k=a_0+\frac{b_1}{a_1+}\,\frac{b_2}{a_2+}\,\ldots\,\frac{+b_k}{a_k}\,$, שהם מספרים רציונליים.

הבניה של שבר משולב מן הסדרות $\ a_n$ ו- $\ b_n$ היא תהליך אינסופי, שמלכתחילה לא מובן מאליו שהוא מתכנס למספר כלשהו. התכונה הבסיסית ביותר של שברים משולבים היא העובדה שהתהליך מתכנס כל אימת שהסדרות המגדירות אותו חיוביות.

נגדיר סדרות נסיגה על-פי תנאי ההתחלה $\ p_{-1}=1, q_{-1}=0$; $\ p_0=a_0, q_0=1$, ונוסחת הנסיגה $\!\ q_n=a_nq_{n-1}+b_nq_{n-2}$ ,$\!\ p_n=a_np_{n-1}+b_np_{n-2}$.

מתברר שתחת הגדרה זו, המנות $\ \frac{p_k}{q_k}$ מתארות את השלבים הסופיים בפיתוח השבר המשולב, כלומר, $\!\ x_k=\frac{p_k}{q_k}$ לכל k טבעי.

הוכחה לפיתוח בשלבים הסופיים

נוכיח באינדוקציה ש- $\!\ x_k=\frac{p_k}{q_k}$. כאשר k=1, $\!\ x_1=a_0+\frac{b_1}{a_1}=\frac{a_1a_0+b_1}{a_1}=\frac{a_1p_0+b_1p_{-1}}{a_1q_0+b_1q_{-1}}=\frac{p_1}{q_1}$ נניח שהטענה מתקיימת עבור k=n מסוים, ונוכיח שהיא מתקיימת עבור השלב k=n+1: מההנחה אנו יודעים שמתקיים: $\ x_n=\frac{p_n}{q_n}=\frac{a_np_{n-1}+b_np_{n-2}}{a_nq_{n-1}+b_nq_{n-2}}$ על ידי החלפת $\!\ a_n$ ב-$\!\ a_n+\frac{b_{n+1}}{a_{n+1}}$, נקבל את המנה החלקית $\!\ x_{n+1}$ : $x_{n+1}=\frac{\left(a_n+\frac{b_{n+1}}{a_{n+1}}\right) p_{n-1}+b_np_{n-2}}{\left(a_n+\frac{b_{n+1}}{a_{n+1}}\right)q_{n-1}+b_nq_{n-2}}$ $=\frac{a_{n+1}\left(a_np_{n-1}+b_np_{n-2}\right)+b_{n+1}p_{n-1}} {a_{n+1}\left(a_nq_{n-1}+b_nq_{n-2}\right)+b_{n+1}q_{n-1}}$ $=\frac{a_{n+1}p_n+b_{n+1}p_{n-1}}{a_{n+1}q_n+b_{n+1}q_{n-1}}=\frac{p_{n+1}}{q_{n+1}}$ בכך נשלם שלב האינדוקציה ואיתו ההוכחה כולה.

את נוסחת הנסיגה אפשר לכתוב בעזרת מטריצות, באופן הבא: $\ \begin{pmatrix} p_n & q_n \\ p_{n-1} & q_{n-1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_n & b_n \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p_{n-1} & q_{n-1} \\ p_{n-2} & q_{n-2}\end{pmatrix}$. מהשוואת הדטרמיננטה בשני האגפים, נובע באינדוקציה ש- $\!\ p_kq_{k-1}-p_{k-1}q_k=\left( -1 \right)^{k-1}\prod_{i=1}^k b_i$. זוהי זהות חשובה ביותר, שאפשר להסיק ממנה תכונות רבות של הסדרות המעורבות. לדוגמה, בשבר משולב פשוט מתקיים $\ b_k=1$ לכל k, ואם כך הזהות קובעת שהמספרים $\ p_k$ ו- $\ q_k$ זרים, כך שהשבר $\ x_k$ שהם מציגים הוא שבר מצומצם.

כדי להוכיח את התכנסות התהליך, נחלק את הזהות במכפלה $\ q_kq_{k-1}$, ונקבל $\!\ x_k-x_{k-1} = (-1)^{k-1}\frac{\prod_{i=1}^{k}b_i}{q_kq_{k-1}}$, כלומר $\!\ x_k = x_0 + \sum_{j=1}^k (-1)^{j-1}\frac{\prod_{i=1}^{j}b_i}{q_jq_{j-1}}$. מנוסחת הנסיגה, קל להיווכח כי הסדרה $\!\ \frac{b_1\dots b_k}{q_kq_{k-1}}$ היא סדרה יורדת של מספרים חיוביים, ומשפט לייבניץ מבטיח שהטור המתחלף המגדיר את $\ x_k$ - מתכנס.

למעשה, חישוב בעזרת נוסחת הנסיגה מביא לנוסחה $\!\ p_kq_{k-2}-p_{k-2}q_k=( -1)^{k}a_k\prod_{i=1}^{k-1}b_i$, שממנה מתקבל היחס $\!\ x_k-x_{k-2} = (-1)^{k}\frac{a_k\prod_{i=1}^{k-1}b_i}{q_kq_{k-2}}$. מכאן שסדרת הקירובים הזוגיים היא סדרה עולה, וסדרת הקירובים האיזוגיים היא סדרה יורדת. עוד אפשר להוכיח שאברי הסדרה הזוגית תמיד קטנים מאברי הסדרה היורדת.

הצגה של מספרים ממשיים

הדיון לעיל מראה שאם המספרים $\ a_n$ טבעיים, אז הביטוי $\ x=[a_0;a_1,\dots]$ הוא תמיד מספר ממשי מוגדר היטב (דהיינו, סדרת המספרים $\ x_k$ מתכנסת). מן האלגוריתם של אוקלידס (או באינדוקציה) נובע שלכל מספר רציונלי יש הצגה כשבר משולב סופי. מאידך, אפשר להוכיח שלכל מספר ממשי שאינו רציונלי קיימת הצגה (יחידה) כשבר משולב אינסופי.

את ההצגה של x כשבר משולב אפשר לחשב על ידי הגדרת סדרת עזר, באופן הבא: $\ x_0'=x$, ולכל $\ n\geq 0$, מגדירים $\ a_n=[x_n']$ (החלק השלם) ו- $\ x_{n+1}'=\frac{1}{x_{n}'-a_n}$. השבר המשולב $\ [a_0;a_1,\dots]$ שווה במקרה זה ל- x.

משפט. ההצגה של מספר ממשי כשבר משולב היא מחזורית, אם ורק אם המספר הוא שורש למשוואה ריבועית בעלת מקדמים שלמים.

לדוגמה, השבר המשולב $\ x = [1; \overline{1}] = [1;1,1,\dots]$ מייצג את יחס הזהב $\ \frac{1+\sqrt{5}}{2}$, משום שלפי ההגדרה $\ x=1+\frac{1}{x}$. בדומה לזה, $\ y=[1; \overline{3,1}] = \frac{3+\sqrt{21}}{6}$, כי מ- $\ y = 1+\frac{1}{3+\frac{1}{y}}$ מתקבלת המשוואה $\ 3y^2-3y-1=0$. הפיתוח של $\ \sqrt{D}$ לשבר משולב מחזורי מאפשר לפתור את משוואת פל $\ x^2-Dy^2=1$.

ישנם מספרים אירציונליים יוצאי דופן, עבורם הייצוג כשבר משולב ידוע, למרות שאינו מחזורי. למשל, עבור הקבוע $\ e$ ניתן להוכיח כי $\ e = [2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,\dots]$. אם נתיר לחבר אפסים במכנה, נקבל את הייצוג $\ e = [1;0,1,1,2,1,1,4,1,1,6,1,\dots]$ (שכן $\ 2 = [1;0,1]$) בו החוקיות יותר ניכרת.

קירובים על ידי שברים משולבים

כידוע, כל מספר אי־רציונלי נתן לקרב על ידי סדרת מספרים רציונליים. למשל, נוכל לקרב את $\ \pi$ באופן דצימלי על ידי הסדרה $\ \frac{3}{1},\frac{31}{10},\frac{314}{100},\dots$. ניתן להתקרב למספר אי־רציונלי עד למרחק קטן כרצוננו, אולם לשם כך יהא עלינו להגדיל את המכנה בשבר המקרב. לכן מודדים את טיב הקירוב במרחק של השבר הרציונלי מן היעד, יחסית לגודל המכנה.

בניית שבר משולב נותנת טכניקה לקירוב רציונלי של מספרים אי רציונליים. אפשר להציג את $\ \pi\$ כשבר משולב על ידי $\ [3;7,15,\dots]$. מתוך תחילת הייצוג נוכל לקבל את הקירוב $\ 3+\frac{1}{7 + \frac{1}{15}}=\frac{333}{106}$ למספר $\ \pi$. קירוב זה הוא בעל מכנה דומה לקירוב $\ \frac{314}{100}$ אולם מתקים $\left| \pi\ - \frac{314}{100} \right|=0.00159$, ואילו $\left| \pi\ - \frac{333}{106} \right|=0.000083$, וכך הקירוב שהתקבל מתוך פיתוח השבר המשולב הוא טוב יותר.

יהא $\ \frac{p}{q}$ שבר המתקבל משלב כלשהו בפיתוח השבר המשולב של מספר אי־רציונלי $\ x$. שבר זה הוא מיטבי לקירוב, מהבחינות הבאות:

• אין שבר בעל מכנה קטן יותר המקרב את x טוב יותר. כלומר, עבור, זוג מספרים טבעיים $\ a,b$, המקיימים $\ b\leq\ q$ נקבל $\ |qx-p| \leq\ |bx-a|$.
• כל שבר המקרב היטב את $\ x$ מופיע בשלב כלשהו בפיתוח השבר המשולב שלו. כלומר, אם $\ \frac{p}{q}$ שבר רציונלי מצומצם המקיים $\ \left| x-\frac{p}{q} \right|<\frac{1}{2q^2}$ אז השבר יופיע בשלב כלשהו בפיתוח השבר המשולב של $\ x$.
• בהינתן שלושה שברים משלבים רצופים בפיתוח של $\ x$ כשבר משולב, לפחות אחד מהם יקיים $\ \left| x-\frac{p}{q} \right|<\frac{1}{\sqrt{5} q^2}$. לפי משפט הורוביץ (ראו קירוב דיופנטי), זהו הקירוב המיטבי שניתן להשיג עבור מספר אי־רציונלי כללי.

התנהגות כמעט תמיד

כאשר מתאימים מספר ממשי x לפיתוח $\ x=[a_0; a_1,a_2,\dots]$, אפשר לבחון את התנהגות הסדרה $\ a_n$ עבור ערכים שונים של x. למשל, ידוע שכמעט לכל x, הסדרה אינה חסומה; ליתר דיוק, קבוצת הערכים $\ 0<x<1$ שעבורם הסדרה חסומה היא קבוצה ממידה אפס. המתמטיקאי הרוסי אלכסנדר חינצי'ן (Александр Хинчин) הוכיח בספרו תוצאות רבות מסוג זה, העוסקות בערכים $\ a_n$ ו- $\ q_n$ המתקבלים מהצגת מספר ממשי שנבחר באקראי. להלן כמה מן המשפטים החשובים שהוכיח חינצ'ין.

משפט. תהי $\ h_n$ סדרה כלשהי. אם הטור $\ \sum\frac{1}{h_n}$ מתבדר, אז כמעט תמיד מתקיים אי-השוויון $\ a_n\geq h_n$ עבור אינסוף ערכי n; ואם הטור מתכנס, אז כמעט תמיד מתקיים אי-שוויון זה רק עבור מספר סופי של ערכי n.

(לדוגמה, כמעט לכל x הסדרה $\ a_n/n$ אינה חסומה).

משפט. כמעט לכל x, מתקיים $\ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\log(q_n)}{n} = \frac{\pi^2}{12 \log(2)}$. בפרט, הסדרה $\ q_n$ גדלה במהירות אקספוננציאלית (למעשה, קל לראות מן ההגדרה שהסדרה גדלה מהר לפחות כמו סדרת פיבונאצ'י).

חינצ'ין חקר גם את ההתפלגות של המקדמים $\ a_n$ (עבור x בעל התפלגות אחידה בקטע היחידה), והראה שלכל פונקציה f שאינה גדלה מהר מדי ($\ f(n)<Cn^{1/2-\epsilon}$ עבור קבוע מתאים C ו- $0 < \epsilon$), הערך הממוצע $\ \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f(a_k)$ של המספרים $\ f(a_n)$ שווה, בהסתברות 1, ל- $\ \sum_{k=1}^{\infty}\log_2(1+\frac{1}{k(k+1)})f(k)$. בפרט, שכיחות ההופעה של קבוע N בסדרה היא $\ \log_2(1+\frac{1}{N(N+1)})$.

ראו גם

• אלגוריתם אוקלידס המוכלל
• משוואת פל
• קירוב רציונלי

קישורים חיצוניים

גדי אלכסנדרוביץ', שברים משולבים, ולמה הם מגניבים, באתר "לא מדויק"