תבנית בילינארית

תבנית בילינארית היא פונקציה בשני משתנים, הלינארית בכל אחד ממשתניה. כלומר: בכל משתנה, הפונקציה מהווה טרנספורמציה לינארית.

מבוא

טרנספורמציה לינארית היא פונקציה $\ T : V \to W$, כאשר $\ V$ ו $\ W$ הם מרחבים לינאריים מעל אותו שדה $\ F$, המקיימת את שתי האקסיומות הבאות:

1. $\ T(x+y) = T(x) + T(y)$ לכל זוג וקטורים $\ x,y \in V$.
2. $\ T(\alpha x) = \alpha T(x)$ לכל וקטור $\ x\in V$ וסקלר $\ \alpha \in F$.

אנו נרצה להכליל את התכונות הללו לפונקציה של שני משתנים, $\ B(u,v)$ כך שפונקציה תהיה לינארית בכל אחד ממשתניה, כלומר:

• לינאריות ברכיב ראשון:
  1. $\ B(x+y,u) = B(x,u) + B(y,u)$ .
  2. $\ B(\alpha x , u) = \alpha B(x,u)$ .
• לינאריות ברכיב שני:
  1. $\ B(v,x+y) = B(v,x) + B(v,y)$ .
  2. $\ B(v, \alpha x) = \alpha B(v,x)$ .

דרישת שתי התכונות הללו, וכן ש $\ B$ מוגדרת מעל (מכפלה קרטזית של) מרחבים וקטורים ($\ V \times W$ ) מעל אותו שדה $\ F$ ושולחת את האיברים אל מרחב וקטורי שלישי מעל השדה (או בפרט: השדה עצמו), הן הדרישות הכלליות ביותר שאפשר לדרוש מפונקציה של 2 משתנים $\ B$ כך שנוכל להתייחס אליה כהעתקה לינארית ב 2 משתנים או כהעתקה בילינארית.

משתמשים בשם תבנית בילינארית עבור המקרה הפשוט ביותר: $\ B : V \times V \to F$ , כלומר - שני המשתנים (רכיבים) של $\ B$ באים מאותו מרחב והיא שולחת אותם אל איבר בשדה (סקלר) שמעליו מוגדר המרחב $\ V$. תבנית בילינארית היא שימושית ביותר ולא רק בתחומי האלגברה הלינארית.

מרחב התבניות הבילינאריות על מ"ו V ממימד n, הינו מרחב וקטורי בעצמו ממימד $\ n^2$.

הגדרה מתמטית

פונקציה $\ B:V \times V \rightarrow F$ כאשר $\ V$ הוא מרחב וקטורי מעל שדה $\ F$ שמקיימת את התנאים:

1. הפונקציה $\ v \rightarrow B(u,v)$ היא לינארית עבור כל $\ u\in V$
2. הפונקציה $\ u \rightarrow B(u,v)$ היא לינארית עבור כל $\ v\in V$

נקראת תבנית בילינארית.

הרחבות

פונקציה $\ B:U \times V \rightarrow W$ כאשר $\ U,W$ ו$\ V$ הם מרחבים וקטורים מעל שדה $\ F$ שמקיימת את התנאים:

1. הפונקציה $\ v \rightarrow B(u,v)$ היא לינארית עבור כל $\ u\in U$
2. הפונקציה $\ u \rightarrow B(u,v)$ היא לינארית עבור כל $\ v\in V$

נקראת אופרטור בילינארי.

• אופרטור בילינארי בו $\ W = F$ נקרא גם מיפוי בילינארי.
• מיפוי בילינארי בו $\ V=U$ נקרא כאמור תבנית בילינארית.

סוגי תבניות בילינאריות

• נאמר שתבנית בילינארית B היא תבנית סימטרית אם לכל $\ u,v \in V$ מתקיים:

  $\ B(u,v)=B(v,u)$

• נאמר שתבנית בילינארית B היא תבנית אנטי-סימטרית אם לכל $\ u,v \in V$ מתקיים:

  $\ B(u,v)=-B(v,u)$

דוגמאות כלליות

• יהי $\,V$ מרחב מכפלה פנימית מעל המספרים הממשיים.

התבנית $\ B(u,v)=(u,v)$ הינה תבנית בילינארית.

מתכונות מרחבי מכפלה פנימית נוכל להסיק כי זוהי תבנית סימטרית.

• יהי $\,V$ מרחב וקטורי מממד 2. ותהי $\ \triangle$ פונקציית נפח ב-$\,V$.

התבנית $\ B(u,v)=\triangle (u,v)$ הינה תבנית בילינארית.

מתכונות פונקציית הנפח נוכל להסיק כי זוהי תבנית אנטי-סימטרית.

• יהי $\,V$ מרחב וקטורי של וקטורי עמודה ותהי $\,M$ מטריצה ריבועית.

התבנית $\ B(u,v) = u^T M v$ בכפל מטריצות היא תבנית בילינארית הנקראת הפולינום הבילינארי המתאים למטריצה M.

הסימטריות של התבנית תלויה בסימטריות של המטריצה.

כמו כן, אם $\,V$ הוא מרחב וקטורי מעל השדה $\mathbb{F}$, כאשר $\mathbb{F}$ הוא שדה המספרים הממשיים או שדה המספרים המרוכבים, ואם $\,M$ היא מטריצה חיובית לחלוטין, אז התבנית $\ B(u,v)$ מהווה מכפלה פנימית ב-$\,V$.

• שני פונקציונלים לינארים $\ \phi , \varphi \$ על מרחב וקטורי $\,V$ מגדירים מכפלה טנזורית $\ f(u,v) = u \otimes v = \phi (u) \varphi (v) \$ על V, מכיוון שהפונקציונלים לינארים, מכפלה זו היא תבנית בילינארית.

נושאים באלגברה לינארית

מרחב וקטורי • תלות לינארית • צירוף לינארי • קבוצה פורשת • בסיס • קואורדינטות • מרחב מכפלה פנימית • מטריצה • כפל מטריצות • שחלוף • דטרמיננטה • דרגה • עקבה • מטריצה מצורפת • מטריצה משולשית • העתקה לינארית • טרנספורמציה נורמלית • משוואה לינארית • מערכת משוואות לינאריות • דמיון מטריצות • ערך עצמי • פולינום אופייני • לכסון מטריצות • צורת ז'ורדן • אורתוגונליות • תבנית בילינארית • מכפלה סקלרית • מכפלה וקטורית • אופרטור הרמיטי • יוניטריות • חפיפת מטריצות • טנזור • שדה