תבנית בילינארית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

תבנית בילינארית היא פונקציה בשני משתנים, הלינארית בכל אחד ממשתניה. כלומר: בכל משתנה, הפונקציה מהווה טרנספורמציה לינארית.

מבוא[עריכת קוד מקור | עריכה]

טרנספורמציה לינארית היא פונקציה \ T : V \to W, כאשר \ V ו- \ W הם מרחבים לינאריים מעל אותו שדה \ F, המקיימת את שתי האקסיומות הבאות:

  1. \ T(x+y) = T(x) + T(y) לכל זוג וקטורים \ x,y \in V.
  2. \ T(\alpha x) = \alpha T(x) לכל וקטור \ x\in V וסקלר \ \alpha \in F.

אנו נרצה להכליל את התכונות הללו לפונקציה של שני משתנים, \ B(u,v) כך שהפונקציה תהיה לינארית בכל אחד ממשתניה, כלומר:

  • לינאריות ברכיב ראשון:
    1. \ B(x+y,u) = B(x,u) + B(y,u) .
    2. \ B(\alpha x , u) = \alpha B(x,u) .
  • לינאריות ברכיב שני:
    1. \ B(v,x+y) = B(v,x) + B(v,y) .
    2. \ B(v, \alpha x) = \alpha B(v,x) .

דרישת שתי התכונות הללו, וכן ש- \ B מוגדרת מעל (מכפלה קרטזית של) מרחבים וקטורים (\ V \times W ) מעל אותו שדה \ F ושולחת את האיברים אל מרחב וקטורי שלישי מעל השדה (או בפרט: השדה עצמו), הן הדרישות הכלליות ביותר שאפשר לדרוש מפונקציה של 2 משתנים \ B כך שנוכל להתייחס אליה כהעתקה לינארית ב 2 משתנים או כהעתקה בילינארית.

משתמשים בשם תבנית בילינארית עבור המקרה הפשוט ביותר: \ B : V \times V \to F , כלומר - שני המשתנים (רכיבים) של \ B באים מאותו מרחב והיא שולחת אותם אל איבר בשדה (סקלר) שמעליו מוגדר המרחב \ V. תבנית בילינארית היא שימושית ביותר ולא רק בתחומי האלגברה הלינארית.

מרחב התבניות הבילינאריות על מרחב וקטורי V ממימד n, הינו מרחב וקטורי בעצמו ממימד  \ n^2 .

הגדרה מתמטית[עריכת קוד מקור | עריכה]

פונקציה \ B:V \times V \rightarrow F כאשר \ V הוא מרחב וקטורי מעל שדה \ F שמקיימת את התנאים:

  1. הפונקציה \ v \rightarrow B(u,v) היא לינארית עבור כל \ u\in V
  2. הפונקציה \ u \rightarrow B(u,v) היא לינארית עבור כל \ v\in V

נקראת תבנית בילינארית.

הרחבות[עריכת קוד מקור | עריכה]

פונקציה \ B:U \times V \rightarrow W כאשר \ U,W ו\ V הם מרחבים וקטורים מעל שדה \ F שמקיימת את התנאים:

  1. הפונקציה \ v \rightarrow B(u,v) היא לינארית עבור כל \ u\in U
  2. הפונקציה \ u \rightarrow B(u,v) היא לינארית עבור כל \ v\in V

נקראת אופרטור בילינארי.

  • אופרטור בילינארי בו \ W = F נקרא גם מיפוי בילינארי.
  • מיפוי בילינארי בו \ V=U נקרא כאמור תבנית בילינארית.

סוגי תבניות בילינאריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • נאמר שתבנית בילינארית B היא תבנית סימטרית אם לכל \ u,v \in V מתקיים:
    \ B(u,v)=B(v,u)
  • נאמר שתבנית בילינארית B היא תבנית אנטי-סימטרית אם לכל \ u,v \in V מתקיים:
    \ B(u,v)=-B(v,u)
  • תבנית בילינארית תיקרא סינגולרית אם דרגת המטריצה המתאימה להעתקה בבסיס כלשהו קטנה ממימד V. אחרת, התבנית תקרא רגולרית. בשקילות, תבנית היא רגולרית אם הרדיקל שלה, Rad(B)=\{x \in V : B(x,y)=0 , \forall y\in V \} הוא טרוויאלי.

דוגמאות כלליות[עריכת קוד מקור | עריכה]

התבנית \ B(u,v)=(u,v) הינה תבנית בילינארית.
מתכונות מרחבי מכפלה פנימית נוכל להסיק כי זוהי תבנית סימטרית.
התבנית \ B(u,v)=\triangle (u,v) הינה תבנית בילינארית.
מתכונות פונקציית הנפח נוכל להסיק כי זוהי תבנית אנטי-סימטרית.
התבנית \ B(u,v) = u^T M v בכפל מטריצות היא תבנית בילינארית הנקראת הפולינום הבילינארי המתאים למטריצה M.
הסימטריות של התבנית תלויה בסימטריות של המטריצה.
כמו כן, אם \,V הוא מרחב וקטורי מעל השדה \mathbb{F}, כאשר \mathbb{F} הוא שדה המספרים הממשיים או שדה המספרים המרוכבים, ואם \,M היא מטריצה חיובית לחלוטין, אז התבנית \ B(u,v) מהווה מכפלה פנימית ב-\,V.